1、数列、数学归纳法(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：44，分数：100.00)1.数列 a1，a 2，a n，按如下规则构成：a 1=5，a k=( （分数：3.00）A.B.C.D.2.已知数列 a1，a 2，a 3，a n的通项 （分数：3.00）A.B.C.D.3.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 S2004+S2005=_。A2 B1 C0 D-1（分数：3.00）A.B.C.D.4. （分数：3.00）A.B.C.D.5.若将正偶数(2，4，6，8，10，12，14，16，依次排成一行：246810121416，则从左往右数
2、的第101 个数码是_。A4 B3 C2 D1（分数：3.00）A.B.C.D.6. 的值是_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7. （分数：3.00）A.B.C.D.8.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列。如果数阵中所有数的乘积等于 ，那么a22=_。A1 BC D （分数：3.00）A.B.C.D.9.设 S=3-32+33-34+35-36+37，则 S 被 4 除的余数是_。A3 B2 C1 D0（分数：3.00）A.B.C.D.10.在实验室密闭容器中培育某种细菌，如果该细菌每天的密度增长 1 倍，它在 20 天内密度增长到 4 百万株/m 2，那么该
3、细菌密度增长到 （分数：3.00）A.B.C.D.11.若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12，则这两数之差的绝对值等于_。A18 B10 C9 D7（分数：3.00）A.B.C.D.12. 的值是_。A BC D （分数：3.00）A.B.C.D.13. 的值是_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于_。A （分数：2.00）A.B.C.D.15.三个不相同的非零实数 a，b，c 成等差数列，又 a，c，b 恰成等比数列，则 （分数：2.00）A.
4、B.C.D.16.已知 Cn=2n+3n，常数 P 使 Cn+1-PCn为等比数列，则 P=_。A2 B3 C2 或 3 D6（分数：2.00）A.B.C.D.17.an是等差数列，已知 mk，S m=Sk=b，则 Sm+k=_。A0 Bb C2b D4b（分数：2.00）A.B.C.D.18.设 an是等比数列，a n0(n=1，2，)，记 （分数：2.00）A.B.C.D.19.若 a2，1，b 2成等比数列，而 成等差数列，那么 的值为_。A 或 1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.在等差数列 an中，a 3=2，a 11=6，数列 bn是等比数列，若 b2=a3，
5、，那么满足 （分数：2.00）A.B.C.D.21. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.22.3+232+333+434+n3n=_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.23.设(1+ax) 8=b0+b1x+b2x2+b8x8，若 b3，b 4，b 5成等差数列，则 a 的值为_。A B2 C 或 2 D1 或 （分数：2.00）A.B.C.D.24.在(1+ax) 7的展开式中，使 x，x 2，x 3的系数成等差数列的实数 a 的值为_。A1 B C1 或 （分数：2.00）A.B.C.D.25.在等差数列 an中，已知 a1+a2+a10=p，a n-9+
6、an-8+an=q，则该数列的前 n 项和 Sn等于_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是_。A前 4 项和 B前 5 项和 C前 6 项和 D前 7 项和（分数：2.00）A.B.C.D.27.等差数列 an、b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 ，那么 =_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为_。A3 B4 C5 D6（分数：2.0
7、0）A.B.C.D.29.等比数列 an的公比为 ，前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的值为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.在等比数列 an中，a 11，且前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的取值范围是_。A(1，+) B(1，4) C(1，2) D(1， （分数：2.00）A.B.C.D.31.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：2.00）A.B.C.D.32.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|=_。A1 B C D （分数：2.
8、00）A.B.C.D.33.在等差数列 an中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3等于_。A4 B5 C6 D7（分数：2.00）A.B.C.D.34.等差数列 an中，已知 （分数：2.00）A.B.C.D.35.设数列 an的前 n 项和为 Sn， （分数：2.00）A.B.C.D.36.在数列 an和 bn中，a 1=2，且对任意的正自然数 n，3a n+1-an=0，b n是 an与 an+1的等差中项，则 bn的各项和是_。A1 B2 C4 D5（分数：2.00）A.B.C.D.37.在等差数列 an中，满足 3a4=7a7，且 a10，S n是数列 an前 n 项
9、的和。若 Sn取得最大值，则n=_。A7 B8 C9 D10（分数：2.00）A.B.C.D.38.设 an是首项为 1 的正项数列，且 (n=1，2，3，)，那么它的通项公式是_。A B C （分数：2.00）A.B.C.D.39.设 an是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和。若 Sn是等差数列，则 q=_。A B1 C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.40.设数列 an的通项为 an=2n-7(nN)，则|a 1|+|a2|+|a15|=_。A125 B142 C153 D223（分数：2.00）A.B.C.D.41.等差数列 an中，a 1=2，公差不为零，且 a1
10、，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_。A1 B2 C3 D4（分数：2.00）A.B.C.D.42.设 ，利用等差数列前 n 项和的公式，则 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.43.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，则数列的公比 q 为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.44.设 an为等差数列，S n为数列 an的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75，T n为数列 的前 n 项和，那么Tn=_。A B C D （分数：2.0
11、0）A.B.C.D.数列、数学归纳法(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：44，分数：100.00)1.数列 a1，a 2，a n，按如下规则构成：a 1=5，a k=( （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 按照题设给定的数列通项公式和首项 a1=5，以此计算得到 a2=8，a 3=11 和 a4=5，a 5=8 等等，由此可知，数列a n具有周期性，最小周期为 3。故 a50=a163+2=a2=8，所以正确答案为 B。2.已知数列 a1，a 2，a 3，a n的通项 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 当 n=2k-1 时，
12、 ，当 n=2k 时， ，k 为正整数，因此，a 1=a2=1，a 3=a4=2，a 99=a100=50，a 101=51，所以该数列前 101 项的和3.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 S2004+S2005=_。A2 B1 C0 D-1（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 S2004=-10024. （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 考查的知识点是平方差公式和等差数列求和公式。由题可知，分子为20102008+1=(2009+1)(2009-1)+1=20092-1+1=20092，分母等于 ，故原式=5.若将正偶数(2，4，6，8，10，12，1
13、4，16，依次排成一行：246810121416，则从左往右数的第101 个数码是_。A4 B3 C2 D1（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 从 2 到 100 的偶数列共有 6+108+11=97 位数码，后面紧接着的偶数分别是 102，104，所以第 101 个数码是 104 的百位数字 1。所以正确答案是 D 选项。6. 的值是_。A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 细心观察一下此题很有规律。7. （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 等差数列求和公式分子=分母=-5+11=6原式=8.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列。
14、如果数阵中所有数的乘积等于 ，那么a22=_。A1 BC D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因为数阵中每行、每列的三个数均成等比数列，所以有， ，a 12a32= ，a 13a33=，a 21a23= ，则数阵中所有数的乘积为：，则9.设 S=3-32+33-34+35-36+37，则 S 被 4 除的余数是_。A3 B2 C1 D0（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 10.在实验室密闭容器中培育某种细菌，如果该细菌每天的密度增长 1 倍，它在 20 天内密度增长到 4 百万株/m 2，那么该细菌密度增长到 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 假设初始
15、时该细菌的密度为 a0(百万株/m 3)，依题意得到 220a0=4，则 216a0= ，即该细菌密度增长到11.若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12，则这两数之差的绝对值等于_。A18 B10 C9 D7（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 设这两个正数分别为 a，b，由题可知 a+b=152=30，ab=12 2=144，所以，12. 的值是_。A BC D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 将分子中相邻的两个数两两结合，结果是一个等差数列，利用求和公式得到分子，即 12-22+32-42+52-62+72-82+92-102=-3-7-11-15-19=
16、 5(-3-19)=-55；分母是一个首项为 20=1，公比为2 的等比数列，求和得： =255。题中原等式=13. 的值是_。A BC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 原式=14.设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于_。A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设这 n+2 个数组成的等比数列的公比为 q，数列记为a n，则 an+2=a1qn+1。其中a1=1，a n+2=n+1，故 1+n=qn+1。这 n+2 个数均为正数，则 q0。所插入的 n 个正数之积S=a2a3a4
17、an+1=(a1q)(a1q2)(a1q3)(a1qn)，即 S=qq2q3 ，又 1+n=qn+1，所以15.三个不相同的非零实数 a，b，c 成等差数列，又 a，c，b 恰成等比数列，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 此题可以按等差或按等比将三个数设出来，再根据性质求解方程组，这显然很麻烦。这里我们直接利用等差中项：2b=a+c 等比中项：c 2=ab 联立可得：4b 2+a2-5ab=0 将等式两边同时除以 b2，即 显然得 或16.已知 Cn=2n+3n，常数 P 使 Cn+1-PCn为等比数列，则 P=_。A2 B3 C2 或 3 D6（分数：2.00）A.B.C.
18、 D.解析：解析 C n+1-PCn为等比数列。即 (C n+1-PCn)2=(Cn+2-PCn+1)(Cn-PCn-1)即 2 n+1+3n+1-P(2n+3n)2=2n+2+3n+2-P(2n+1+3n+1)2n+3n-P(2n-1+3n-1)此式可化为17.an是等差数列，已知 mk，S m=Sk=b，则 Sm+k=_。A0 Bb C2b D4b（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由条件得 2(m-k)a1+(m2-m-k2+k)d=0(m-k)2a1+(m+k-1)d=0因为 m-k0，故 2a1+(m+k-1)d=018.设 an是等比数列，a n0(n=1，2，)，记
19、（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 若a n的公比 q=1，则 Sn=na1，得若 q1， ，得由条件可知 q0，所以 。根据对数函数的单调性，上式取对数，有 ln(SnSn+1)19.若 a2，1，b 2成等比数列，而 成等差数列，那么 的值为_。A 或 1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 a2，1，b 2成等比数列，故 a2b2=1，又因为 成等差数列，故 ，得方程组 即分别化为故有得20.在等差数列 an中，a 3=2，a 11=6，数列 bn是等比数列，若 b2=a3， ，那么满足 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 a n是等
20、差数列，由 a3=2，a 11=6 得方程组故 。bn是等比数列，由 b2=a3， 得方程组故 ，从而 可化为 ，即21. =_。A BC D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 原式=22.3+232+333+434+n3n=_。A BC D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设 Sn=3+232+332+434+n3n，则 3S n=32+233+334+435+(n-1)3n+n3n+1。把以上两式相减，得故23.设(1+ax) 8=b0+b1x+b2x2+b8x8，若 b3，b 4，b 5成等差数列，则 a 的值为_。A B2 C 或 2 D1 或 （分数：2
21、.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知，得 即故 2a 2-5a+2=0，(2a-1)(a-2)=0解得24.在(1+ax) 7的展开式中，使 x，x 2，x 3的系数成等差数列的实数 a 的值为_。A1 B C1 或 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 x，x 2，x 3的系数分别为 。即 42a2=7a+35a3，5a2-6a+1=0，得 a=1 或25.在等差数列 an中，已知 a1+a2+a10=p，a n-9+an-8+an=q，则该数列的前 n 项和 Sn等于_。A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 把已知的两式左右两边对应相加，得(a
22、1+an)+(a2+an-1)+(a10+an-9)=p+q，左边共有 10 个括号，在一个共有 n 项的等差数列中，由等差数列的性质知a2+an-1=a3+an-2=a10+an-9=a1+an，故上式可变为 10(a1+an)=p+q，故26.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是_。A前 4 项和 B前 5 项和 C前 6 项和 D前 7 项和（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 S3=S11得，a 4+a5+a11=0，即 (a 1+3d)+(a1+4d)+(a1+10d)=0，8a1+52d=0，a1=-6.5d，
23、可列出前 n 项和的表达式：故当 n=7 时，S n取得最大值27.等差数列 an、b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 ，那么 =_。A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 解法 1：因为 ，所以可设 Sn=kn(5n+1)，T n=kn(3n-1)，则故正确答案为 B。解法 2：28.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为_。A3 B4 C5 D6（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 解法 1：设这个数列的首项为 a1，公差为 d，则有解得 d=5，故正确答案为 C。解法
24、：依题意，得 ，解得又因为 S 偶 -S 奇 =6d，故 d=5，故正确答案为 C。解法 3：因为 ，故 ，故 ，故29.等比数列 an的公比为 ，前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的值为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，得 =1-q，又因为 ，所以 ，得30.在等比数列 an中，a 11，且前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的取值范围是_。A(1，+) B(1，4) C(1，2) D(1， （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，得： ，故 0| -1|1，又因为 a11，所以 1a 131.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始
25、的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设第 n 个月份的需求量超过 1.5 万件，显然 S11.5，则当 n1 时32.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|=_。A1 B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为原方程有四个根，所以方程 x2-2x+m=0 和 x2-2x+n=0 各有两个根，又因为这两个方程的两根之和都等于 2，且这四个根组成等差数列a n，故设这四个根为 a1，a 2，a 3，a 4，有a1+a4=a2+a3=2，因为|m-n|=|
26、n-m|，不妨设上述两个方程的根为 a1，a 4和 a2，a 3，则 a2+a3=a1+a4=2，设公差为 d，故 2a1+3d=2，故 2 ，因此 ，从而得则33.在等差数列 an中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3等于_。A4 B5 C6 D7（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题可运用通项公式，依题意，得a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=20，得 5a1+10d=20，即 a1+2d=4，即 a3=4，故正确答案为 A。34.等差数列 an中，已知 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 a2+a5=4，得
27、2a1+5d=4，因为 ，故 ，由 33=an=a1+(n-1)d，有35.设数列 an的前 n 项和为 Sn， （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 36.在数列 an和 bn中，a 1=2，且对任意的正自然数 n，3a n+1-an=0，b n是 an与 an+1的等差中项，则 bn的各项和是_。A1 B2 C4 D5（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 ，又a n是以 2 为首项， 为公比的等比数列，故37.在等差数列 an中，满足 3a4=7a7，且 a10，S n是数列 an前 n 项的和。若 Sn取得最大值，则n=_。A7 B8 C9 D10（分数：2.00）A
28、.B.C. D.解析：解析 设公差为 d，由题设，3(a 1+3d)=7(a1+6d)，a 10，解得 ，解不等式 an0，即 ，得38.设 an是首项为 1 的正项数列，且 (n=1，2，3，)，那么它的通项公式是_。A B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 an0，将条件等式两边同除以 ，得 ，得 (舍)，故 na n=(n-1)an-1=2a2=a1，因为 a 1=1，故39.设 an是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和。若 Sn是等差数列，则 q=_。A B1 C2 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为a n是公比为 q 的等比
29、数列，故 q0，且数列的前 n 项和为40.设数列 an的通项为 an=2n-7(nN)，则|a 1|+|a2|+|a15|=_。A125 B142 C153 D223（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 an=2n-7，故 a1=-5，a 2=-3，a 3=-1，a 4=1，a 5=3，a 15=23，所以|a 1|+|a2|+|a15|=(5+3+1)+(1+3+5+23)41.等差数列 an中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_。A1 B2 C3 D4（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设
30、a1，a 3，a 11组成的等比数列的公比为 q，故 a3=a1q=2q，a 11=a1q2=2q2。又因为 2q2=a1+5(2q-a1)，故 2q2=2+5(2q-2)，得 q=4，故正确答案为 D。42.设 ，利用等差数列前 n 项和的公式，则 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为_。A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，故 ，故 。设 S=f(-5)+f(-4)+f(6)，则 S=f(6)+f(5)+f(-5)，则 2S=(f(6)+f(-5)+(f(5)+f(-4)+(f(-5)+f(6)= ，故 S=f(-5)+f(-4)+f
31、(0)+f(6)=43.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，则数列的公比 q 为_。A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 若 q=1，则有 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1，但 a10，即得 S3+S62S 9，与题设矛盾，故 q1。又依题意得 S3+S6=2S9，可得整理，得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得方程 2q6-q3-1=0，即(2q 3+1)(q3-1)=0，因为 q1，q 3-10，故 ，故正确答案为 C。注意：(1)要时刻注意公比 q 的取值范围，方能不断地简化计算；(2)复数不能扩展到数列中，而44.设 an为等差数列，S n为数列 an的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75，T n为数列 的前 n 项和，那么Tn=_。A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设等差数列a n的公差为 d，则解得 a1=-2，d=1，故 ，因为 ，故数列 是首项为-2 公差为 的等差数列，故
