1、2013 年浙江省湖州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 3分，共 30分 ) 1.(3 分 )实数 ， ， 0， -1 中，无理数是 ( ) A. B. C. 0 D. -1 解析： A、是无理数； B、是分数，是有理数， 答案： 项错误； C、是整数，是有理数，选项错误； D、是整数，是有理数，选项错误 . 答案： A. 2.(3 分 )计算 6x3 x2的结果是 ( ) A. 6x B. 6x5 C. 6x6 D. 6x9 解析： 6x 3 x2=6x3+2=6x5. 答案： B. 3.(3 分 )若正比例函数 y=kx 的图象经过点 (1， 2)，则 k 的值为
2、( ) A. - B. -2 C. D. 2 解析： 正比例函数 y=kx 的图象经过点 (1， 2)， 2=k ，解得， k=2. 答案： D. 4.(3 分 )如图，已知直线 a， b 被直线 c 所截， ab ， 1=60 ，则 2 的度数为 ( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 解析： ab ， 1=60 ， 3=1=60 ， 2=180 -1=180 -60=120 . 答案： C. 5.(3分 )在开展 “ 爱心捐助雅安灾区 ” 的活动中，某团支部 8名团员捐款分别为 (单位：元 )：6， 5， 3， 5， 6， 10， 5， 5，这组数据的中位数是 ( )
3、A. 3 元 B. 5 元 C. 6 元 D. 10 元 解析： 将数据从小到大排列为： 3， 5， 5， 5， 5， 6， 6， 10，中位数为： 5. 答案： B. 6.(3 分 )在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 矩形 D. 平行四边形 解析： 正三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形 . 答案： C. 7.(3 分 )在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为 2 ，则这
4、个圆锥的侧面积是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 解析： 底面半径为 1，高为 2 ， 母线长 = =3. 底面圆的周长为： 21=2 . 圆锥的侧面积为： S 侧 = 2r l=rl= 23=3 . 答案： B. 8.(3 分 )一个布袋里装有 6 个只有颜色可以不同的球，其中 2 个红球， 4 个白球 .从布袋里任意摸出 1 个球，则摸出的球是红球的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 因为一共有 6 个球，红球有 2 个，所以从布袋里任意摸出 1 个球，摸到红球的概率为：= . 答案： D. 9.(3 分 )如图，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC
5、 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE.若 DE： AC=3： 5，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 解析： 矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处， BAC=EAC ， AE=AB=CD， 矩形 ABCD 的对边 ABCD ， DCA=BAC ， EAC=DCA ， 设 AE 与 CD 相交于 F，则 AF=CF， AE -AF=CD-CF，即 DF=EF， = ， 又 AFC=EFD ， ACFEDF ， = = ， 设 DF=3x， FC=5x，则 AF=5x， 在 RtADF 中， AD= = =4x， 又 AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x ， = = .
6、 答案： A. 10.(3 分 )如图，在 1010 的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点 .若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的 “ 内接格点三角形 ” .以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 ( ) A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 解析： 如图，开口向下，经过点 (0， 0)， (1， 3)， (3， 3)的抛物线的解析式为 y=
7、-x2+4x， 然后向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位一次得到一条抛物线，可平移 6 次， 所以，一共有 7 条抛物线， 同理可得开口向上的抛物线也有 7 条， 所以，满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是： 7+7=14. 答案： C. 二、填空题 (本题有 6 个小题，每小题 4分，共 24分 ) 11.(4 分 )计算： = . 解析： = . 答案 ： 1. 12.(4 分 )把 1530 化成度的形式，则 1530= 度 . 解析： 30=0.5 度， 1530=15.5 度； 答案： 15.5. 13.(4 分 )如图，已知在 RtACB 中， C=90 ， AB
8、=13， AC=12，则 cosB 的值为 . 解析： BC= = =5，则 cosB= = . 14.(4 分 )某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了 20 户家庭某月的用水量，结果如表，则这 20 户家庭这个月的平均用水量是 吨 . 解析： 根据题意得：这 20 户家庭这个月的平均用水量是(43+58+64+85 )20=5.8 (吨 )； 答案： 5.8. 15.(4 分 )将连续正整数按以下规律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是 . 解析： 第一行第一列的数是 1； 第二行第二列的数是 5=1+4； 第三行第三列的数是 13=1+4+8； 第四行第四列的数是
9、25=1+4+8+12； 第 n 行第 n 列的数是 1+4+8+12+4 (n-1)=1+4(1+2+3+ (n-1)=1+2n(n-1)； 第七行第七列的数是 1+27 (7-1)=85； 答案： 85. 16.(4 分 )如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 的一个定点， ACx 轴于点 M，交直线 y=-x 于点 N.若点 P 是线段 ON 上的一个动点， APB=30 ， BAPA ，则点 P 在线段 ON 上运动时， A点不变， B点随之运动 .求当点 P从点 O运动到点 N时，点 B运动的路径长是 . 解析： 由题意可知， OM= ，点 N 在直线 y=-x 上， ACx
10、轴于点 M，则 OMN 为等腰直角三角形， ON= OM= = . 如答图 所示，设动点 P 在 O 点 (起点 )时，点 B 的位置为 B0，动点 P 在 N 点 (终点 )时，点 B的位置为 Bn，连接 B0Bn， AOAB 0， ANAB n， OAC=B 0ABn， 又 AB 0=AO tan30 ， ABn=AN tan30 ， AB 0： AO=ABn： AN=tan30 (此处也可用 30 角的 Rt 三边长的关系来求得 )， AB 0BnAON ，且相似比为 tan30 ， B 0Bn=ON tan30= = . 现在来证明线段 B0Bn就是点 B 运动的路径 (或轨迹 ).
11、如答图 所示，当点 P 运动至 ON 上的任一点时，设其对应的点 B为 Bi，连接 AP， ABi， B0Bi， AOAB 0， APAB i， OAP=B 0ABi， 又 AB 0=AO tan30 ， ABi=AP tan30 ， AB 0： AO=ABi： AP， AB 0BiAOP ， AB 0Bi=AOP . 又 AB 0BnAON ， AB 0Bn=AOP ， AB 0Bi=AB 0Bn， 点 Bi在线段 B0Bn上，即线段 B0Bn就是点 B运动的路径 (或轨迹 ). 综上所述，点 B 运动的路径 (或轨迹 )是线段 B0Bn，其长度为 . 答案： . 三、解答题 (本题共 8
12、小题，共 66 分 ) 17.(6 分 )因式分解： mx2-my2. 解析： 先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 . 答案： mx2-my2=m(x2-y2)=m(x+y)(x-y). 18.(6 分 )解不等式组： . 解析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 . 答案： ，由 得， x ；由 得， x 5， 故此不等式组的解集为： x 5. 19.(6 分 )已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(3， 0)， B(-1， 0). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标 . 解析： (1)根据抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(3
13、， 0)， B(-1， 0)，直接得出抛物线的解析式为；y=-(x-3)(x+1)，再整理即可， (2)根据抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，即可得出答案 . 答案： (1) 抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(3， 0)， B(-1， 0). 抛物线的解析式为； y=-(x-3)(x+1)， 即 y=-x2+2x+3， (2) 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 抛物线的顶点坐标为： (1， 4). 20.(8 分 )如图，已知 P 是 O 外一点， PO 交圆 O 于点 C， OC=CP=2，弦 ABOC ，劣弧 AB 的度数为 1
14、20 ，连接 PB. (1)求 BC 的长； (2)求证： PB 是 O 的切线 . 解析： (1)首先连接 OB，由弦 ABOC ，劣弧 AB 的度数为 120 ，易证得 OBC 是等边三角形，则可求得 BC 的长； (2)由 OC=CP=2， OBC 是等边三角形，可求得 BC=CP，即可得 P=CBP ，又由等边三角形的性质， OBC=60 ， CBP=30 ，则可证得 OBBP ，继而证得 PB 是 O 的切线 . 答案： (1)连接 OB， 弦 ABOC ，劣弧 AB 的度数为 120 ， 弧 BC 与弧 AC的度数为： 60 ， BOC=60 ， OB=OC ， OBC 是等边三角
15、形， BC=OC=2 ； (2)OC=CP ， BC=OC， BC=CP ， CBP=CPB ， OBC 是等边三角形， OBC=OCB=60 ， CBP=30 ， OBP=CBP+OBC=90 ，OBBP ， 点 B 在 O 上， PB 是 O 的切线 . 21.(8 分 )为激励教师爱岗敬业，某市开展了 “ 我最喜爱的老师 ” 评选活动 .某中学确定如下评选方案：有学生和教师代表对 4 名候选教师进行投票，每票选 1 名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的 5 倍与学生票数的和作为该教师的总票数 .以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图 (不完整 ). 学生投票结果统计
16、表 (1)若共有 25 位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图 .(画在答案卷相对应的图上 ) (2)王老师与李老师得到的学生总票数是 500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的 3 倍多 20 票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？ (3)在 (1)、 (2)的条件下，若总得票数较高的 2 名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？ 解析： (1)根据共有 25 位教师代表参加投票，结合条形图得出李老师得到的教师票数即可； (2)根据 “ 王老师与李老师得到的学生总票数是 500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的
17、3 倍多 20 票， ” 分别得出方程组求出即可； (3)求出每位老师的得票总数，进而得出答案 . 答案： (1)李老师得到的教师票数是： 25-(7+6+8)=4，如图所示： (2)设王老师与李老师得到的学生票数分别是 x 和 y， 由题意得出： ，解得： ， 答：王老师与李老师得到的学生票数分别是 380 和 120； (3)总得票数情况如下：王老师： 380+57=415 ， 赵老师： 200+56=230 ， 李老师： 120+54=140 ， 陈老师： 300+58=340 ， 推选到市里的是王老师和陈老师 . 22.(10 分 )某农庄计划在 30 亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农
18、小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务 .小张种植每亩蔬菜的工资 y(元 )与种植面积 m(亩 )之间的函数如图 所示，小李种植水果所得报酬 z(元 )与种植面积 n(亩 )之间函数关系如图 所示 . (1)如果种植蔬菜 20 亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 元，小张应得的工资总额是 元，此时，小李种植水果 亩，小李应得的报酬是 元； (2)当 10 n30 时，求 z 与 n 之间的函数关系式； (3)设农庄支付给小张和小李的总费用为 w(元 )，当 10 m30 时，求 w 与 m 之间的函数关系式 . 解析： (1)根据图象数据解答即可； (2)设 z=kn+b(k0 )，然后利用
19、待定系数法求一次函数解析式即可； (3)先求出 20 m30 时 y与 m的函数关系式，再分 10 m20 时， 10 n20 ； 20 m30时， 0 n10 两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解 . 答案： (1)由图可知，如果种植蔬菜 20 亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 (160+120)=140元， 小张应得的工资总额是： 14020=2800 元，此时，小李种植水果： 30-20=10 亩， 小李应得的报酬是 1500 元； 故答案为： 140； 2800； 10； 1500； (2)当 10 n30 时，设 z=kn+b(k0 )， 函数图象经过点 (10， 1
20、500)， (30， 3900)， ，解得 ， 所以， z=120n+300(10 n30 )； (3)当 10 m30 时，设 y=km+b， 函数图象经过点 (10， 160)， (30， 120)， ，解得 ， y= -2m+180， m+n=30 ， n=30 -m， 当 10 m20 时， 10n 20， w=m(-2m+180)+120n+300， =m(-2m+180)+120(30-m)+300， =-2m2+60m+3900， 当 20 m30 时， 0 n10 ， w=m(-2m+180)+150n， =m(-2m+180)+150(30-m)， =-2m2+30m+450
21、0， 所以， w 与 m 之间的函数关系式为 w= . 23.(10 分 )一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在 RtABC 中， AB=BC， ABC=90 ， BOAC 于点 O，点 P、 D 分别在 AO和 BC上， PB=PD， DEAC 于点 E，求证： BPOPD E. (1)理清思路，完成解答 (2)本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程 . (2)特殊位置，证明结论 若 PB 平分 ABO ，其余条件不变 .求证： AP=CD. (3)知识迁移，探索新知 若点 P 是一个动点，点 P 运动到 OC 的中点 P 时，满足题中
22、条件的点 D 也随之在直线 BC 上运动到点 D ，请直接写出 CD 与 AP 的数量关系 .(不必写解答过程 ) 解析： (1)求出 3=4 ， BOP=PED=90 ，根据 AAS 证 BPOPDE 即可； (2)求出 ABP=4 ，求出 ABPCPD ，即可得出答案； (3)设 OP=CP=x，求出 AP=3x， CD= x，即可得出答案 . 答案： (1)PB=PD ， 2=PBD ， AB=BC ， ABC=90 ， C=45 ， BOAC ， 1=45 ， 1=C=45 ， 3=PBC -1 ， 4=2 -C ， 3=4 ， BOAC ， DEAC ， BOP=PED=90 ， 在
23、 BPO 和 PDE 中 ， ， BPOPDE (AAS)； (2)由 (1)可得： 3=4 ， BP 平分 ABO ， ABP=3 ， ABP=4 ， 在 ABP 和 CPD 中 ， ， ABPCPD (AAS)， AP=CD . (3)CD 与 AP 的数量关系是 CD= AP . 理由是：设 OP=PC=x，则 AO=OC=2x=BO，则 AP=2x+x=3x， 由 OBPEPD ，得 BO=PE， PE=2x， CE=2x-x=x， E=90 ， ECD=ACB=45 ， DE=x ，由勾股定理得： CD= x，即 AP=3x， CD= x， CD 与 AP 的数量关系是 CD= AP
24、 24.(12 分 )如图 ， O 为坐标原点，点 B 在 x 轴的正半轴上，四边形 OACB是平行四边形，sinAOB= ，反比例函数 y= (k 0)在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F. (1)若 OA=10，求反比例函数解析式； (2)若点 F 为 BC 的中点，且 AOF 的面积 S=12，求 OA的长和点 C的坐标； (3)在 (2)中的条件下，过点 F 作 EFOB ，交 OA 于点 E(如图 )，点 P 为直线 EF 上的一个动点，连接 PA， PO.是否存在这样的点 P，使以 P、 O、 A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不
25、存在，请说明理由 . 解析： (1)先过点 A作 AHOB ，根据 sinAOB= ， OA=10，求出 AH和 OH 的值，从而得出 A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出 k 的值，即可求出反比例函数的解析式； (2)先设 OA=a(a 0)，过点 F 作 FMx 轴于 M，根据 sinAOB= ，得出 AH= a， OH= a，求出 SAOH 的值，根据 SAOF =12，求出平行四边形 AOBC的面积，根据 F为 BC的中点，求出 SOBF =6， 根据 BF= a， FBM=AOB ，得出 SBMF = BM FM， SFOM =6+ a2，再根据点 A， F 都在 y= 的图象上，
26、 SAOH = k，求出 a，最后根据 S 平行四边形 AOBC=OB AH，得出 OB=AC=3 ，即可求出点 C的坐标； (3)分别根据当 APO=90 时，在 OA 的两侧各有一点 P，得出 P1， P2；当 PAO=90 时，求出 P3；当 POA=90 时，求出 P4即可 . 答案： (1)过点 A 作 AHOB 于 H， sinAOB= ， OA=10， AH=8 ， OH=6， A 点坐标为 (6， 8)，根据题意得： 8= ，可得： k=48， 反比例函数解析式： y= (x 0)； (2)设 OA=a(a 0)，过点 F 作 FMx 轴于 M， sinAOB= ， AH= a
27、， OH= a， S AOH = a a= a2， S AOF =12， S 平行四边形 AOBC=24， F 为 BC 的中点， S OBF =6， BF= a， FBM=AOB ， FM= a， BM= a， S BMF = BM FM= a a= a2， S FOM =SOBF +SBMF =6+ a2， 点 A， F 都在 y= 的图象上， S AOH = k， a2=6+ a2， a= ， OA= ， AH= ， OH=2 ， S 平行四边形 AOBC=OB AH=24， OB=AC=3 ， C (5 ， )； (3)存在三种情况： 当 APO=90 时，在 OA 的两侧各有一点 P，分别为： P1( ， )， P2(- ， )， 当 PAO=90 时， P3( ， )， 当 POA=90 时， P4(- ， ).
