1、2013 年浙江省舟山市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )-2 的相反数是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. 解析 ： -2 的相反数是 2， 答案： A. 2.(3 分 )如图，由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从上面看可得到两个相邻的正方形， 答案： A. 3.(3 分 )据舟山市旅游局统计， 2012 年舟山市接待境内外游客约 2771 万人次 .数据 2771万用科学记数法表示为 ( ) A. 277110 7 B. 2.77110 7 C. 2.77110 4 D. 2.
2、77110 5 解析 ： 2771 万 =27710000=2.77110 7. 答案： B. 4.(3分 )在某次体育测试中，九 (1)班 6位同学的立定跳远成绩 (单位： m)分别为： 1.71， 1.85，1.85， 1.95， 2.10， 2.31，则这组数据的众数是 ( ) A. 1.71 B. 1.85 C. 1.90 D. 2.31 解析 ： 数据 1.85 出现 2 次，次数最多，所以众数是 1.85. 答案： B. 5.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x2+x3=x5 B. 2x2-x2=1 C. x2x 3=x6 D. x6x 3=x3 解析 ： A、 x2与
3、x3不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误； B、 2x2-x2=x2，原式计算错误，故本选项正确； C、 x2x 3=x5，原式计算错误，故本选项错误； D、 x6x 3=x3，原式计算正确，故本选项正确； 答案： D. 6.(3 分 )如图，某厂生产横截面直径为 7cm 的圆柱形罐头盒，需将 “ 蘑菇罐头 ” 字样贴在罐头侧面 .为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为 90 ，则 “ 蘑菇罐头 ” 字样的长度为 ( ) A. cm B. cm C. cm D. 7cm 解析 ： 字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90 ， 此弧所对的圆心角为 90 ， 由题意
4、可得， R= cm，则 “ 蘑菇罐头 ” 字样的长 = = (cm). 答案： B. 7.(3 分 )下列说法正确的是 ( ) A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B. 若一个游戏的中奖率是 1%，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 C. 甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差 =0.1， =0.2，则甲组数据比乙组数据稳定 D. “ 掷一枚硬币，正面朝上 ” 是必然事件 解析 ： A、要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故本选项错误； B、若一个游戏的中奖率是 1%，则做 100 次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误； C、若方差 =0.1， =0.2
5、，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，故本选项正确； D、 “ 掷一枚硬币，正面朝上 ” 是随机事件，故本选项错误； 答案： C. 8.(3 分 )若一次函数 y=ax+b(a0 )的图象与 x 轴的交点坐标为 (-2， 0)，则抛物线 y=ax2+bx的对称轴为 ( ) A. 直线 x=1 B. 直线 x=-2 C. 直线 x=-1 D. 直线 x=-4 解析 ： 一次函数 y=ax+b(a0) 的图象与 x 轴的交点坐标为 (-2， 0)， -2a+b=0，即 b=2a， 抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为直线 x=- =- =-1. 答案： C. 9.(3 分 )如图， O 的半径 O
6、D 弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交 O 于点 E，连结 EC.若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为 ( ) A. 2 B. 8 C. 2 D. 2 解析 ： O 的半径 OD 弦 AB 于点 C， AB=8， AC= AB=4， 设 O 的半径为 r，则 OC=r-2， 在 RtAOC 中， AC=4 ， OC=r-2， OA 2=AC2+OC2，即 r2=42+(r-2)2，解得 r=5， AE=2r=10 ， 连接 BE， AE 是 O 的直径， ABE=90 ， 在 RtABE 中， AE=10 ， AB=8， BE= = =6， 在 RtBCE 中， BE=6 ， BC=
7、4， CE= = =2 . 答案： D. 10.(3 分 )对于点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，定义一种运算： AB= (x1+x2)+(y1+y2).例如， A(-5，4)， B(2， -3)， AB= (-5+2)+(4-3)=-2.若互不重合的四点 C， D， E， F，满足CD=DE=EF=FD ，则 C， D， E， F 四点 ( ) A. 在同一条直线上 B. 在同一条抛物线上 C. 在同一反比例函数图象上 D. 是同一个正方形的四个顶点 解析 ： 对于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB=(x 1+x2)+(y1+y2)， 如果设 C(x3， y3)
8、， D(x4， y4)， E(x5， y5)， F(x6， y6)， 那么 CD=(x 3+x4)+(y3+y4)， DE=(x 4+x5)+(y4+y5)， EF=(x 5+x6)+(y5+y6)， FD=(x 4+x6)+(y4+y6)， 又 CD=DE=EF=FD ， (x 3+x4)+(y3+y4)=(x4+x5)+(y4+y5)=(x5+x6)+(y5+y6)=(x4+x6)+(y4+y6)， x 3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6， 令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k， 则 C(x3， y3)， D(x4， y4)， E(x5， y5)， F(x6，
9、y6)都在直线 y=-x+k上， 互不重合的四点 C， D， E， F 在同一条直线上 . 答案： A. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分 ) 11.(4 分 )二次根式 中， x 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得： x-30 ，解得： x3. 答案： x3. 12.(4 分 )一个布袋中装有 3 个红球和 4 个白球，这些除颜色外其它都相同 .从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 . 解析 ： 布袋中装有 3 个红球和 4 个白球， 从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为： = . 答案： . 13.(4 分 )因式分解： ab2-a= . 解析
10、： ab2-a=a(b2-1)=. 答案： a(b+1)(b-1) 14.(4 分 )在同一平面内，已知线段 AO=2， A 的半径为 1，将 A 绕点 O 按逆时针方向旋转60 得到的像为 B ，则 A 与 B 的位置关系为 . 解析 ： A 绕点 O 按逆时针方向旋转 60 得到的 B ， OAB 为等边三角形， AB=OA=2 ， A 、 B 的半径都为 1， AB 等于两圆半径之和， A 与 B 外切 . 答案： 外切 . 15.(4 分 )杭州到北京的铁路长 1487 千米 .火车的原平均速度为 x 千米 /时，提速后平均速度增加了 70 千米 /时，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3
11、 小时，则可列方程为 . 解析 ： 根据题意得： - =3； 答案： - =3. 16.(4 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E， F 分别在边 AB、 BC上， AE=BF=1，小球 P从点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角 .当小球 P 第一次碰到点 E 时，小球 P 所经过的路程为 . 解析 ： 根据已知中的点 E， F 的位置，可知入射角的正切值为 ，第一次碰撞点为 F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为 G，在DA 上，且 DG= DA，第三次碰撞点为 H，在 DC 上，且 DH
12、= DC，第四次碰撞点为 M，在 CB上，且 CM= BC，第五次碰撞点为 N，在 DA 上，且 AN= AD，第六次回到 E 点， AE= AB. 由勾股定理可以得出 EF= ， FG= ， GH= ， HM= ， MN= ， NE= ， 故小球经过的路程为： + + + + + =6 . 答案： 6 . 三、解答题 (共 8 小题，第 1719 题每题 6 分，第 20、 21 题每题 8 分，第 22、 23 题每题 10分，第 24题 12 分，共 66 分 ) 17.(6 分 ) (1)计算： |-4|- +(-2)0； (2)化简： a(b+1)-ab-1. 解析 ： (1)原式第
13、一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第二项利用平方根的定义化简，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； (2)原式去括号合并即可得到结果 . 答案： (1)原式 =4-3+1=2； (2)原式 =ab+a-ab-1=a-1. 18.(6 分 )如图， ABC 与 DCB 中， AC 与 BD 交于点 E，且 A=D ， AB=DC. (1)求证： ABEDCE ； (2)当 AEB=50 ，求 EBC 的度数？ 解析 ： (1)根据 AAS 即可推出 ABE 和 DCE 全等； (2)根据三角形全等得出 EB=EC，推出 EBC=ECB ，根据三角形的外角性质得出AEB=2EBC ，
14、代入求出即可 . 答案： (1) 在 ABE 和 DCE 中 ， ， ABEDCE(AAS) ； (2)ABEDCE ， BE=EC ， EBC=ECB ， EBC+ECB=AEB=50 ， EBC=25. 19.(6 分 )如图，一次函数 y=kx+1(k0 )与反比例函数 y= (m0 )的图象有公共点 A(1， 2).直线 lx 轴于点 N(3， 0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点 B， C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求 ABC 的面积？ 解析 ： (1)将 A 坐标代入一次函数解析式中求出 k 的值，确定出一次函数解析式，将 A 坐标代入反比例函数解析式
15、中求出 m 的值，即可确定出反比例解析式； (2)直接求出 BN， CN 的长，进而求出 BC 的长，即可求出 ABC 的面积 . 答案： (1)将 A(1， 2)代入一次函数解析式得： k+1=2，即 k=1， 一次函数解析式为 y=x+1； 将 A(1， 2)代入反比例解析式得： m=2， 反比例解析式为 y= ； (2)N(3 ， 0)， 点 B 横坐标为 3，将 x=3 代入一次函数得： y=4，将 x=3 代入反比例解析式得： y= ， 即 CN= ， BC=4- = ， A 到 BC 的距离为： 2，则 SABC = 2= . 20.(8 分 )为了解学生零花钱的使用情况，校团委随
16、机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图 (部分未完成 ).请根据图中信息，回答下列问题： (1)校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图； (2)表示 “50 元 ” 的扇形的圆心角是多少度？被调查的学生每人一周零花钱数的中位数是多少元？ (3)四川雅安地震后，全校 1000 名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区建设 .请估算全校学生共捐款多 少元？ 解析 ： (1)零用钱是 40 元的是 10 人，占 25%，据此即可求得总人数，总人数乘以所占的比例即可求得零用钱是 20 元的人数，则统计图可以作出； (2)求出零用钱是 50 元的所占的
17、比例，乘以 360 度即可求得对应的扇形的圆心角，根据中位数的定义可以求得中位数； (3)首先求得抽取的学生的零用钱的平均数，平均数的一半乘以 1000 即可求解 . 答案： (1)随机调查的学生数是： 1025%=40( 人 )， 零花钱是 20 元的人数是： 4015%=6( 人 ). (2)50 元的所占的比例是： = ，则圆心角 36 ，中位数是 30 元； (3)学生的零用钱是： =33(元 )， 则全校学生共捐款 331000=16500 元 . 21.(8 分 )某学校的校门是伸缩门 (如图 1)，伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为 30 厘米 .校门关闭时，每个菱
18、形的锐角度数为 60 (如图 2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60 缩小为 10 (如图 3).问：校门打开了多少米？ (结果精确到 1 米，参考数据：sin50.0872 ， cos50.9962 ， sin100.1736 ， cos100.9848 ). 解析 ： 先求出校门关闭时， 20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时， 20 个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可 . 答案： 如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD. 根据题意，得 BAD=60 ， AB=0.3 米 . 在菱形 ABCD 中， AB=AD， BAD 是等边三角形， BD=AB=0.3 米， 大
19、门的宽是： 0.3206( 米 )； 校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1. 根据题意，得 B 1A1D1=10 ， A1B1=0.3 米 . 在菱形 A1B1C1D1中， A1C1B 1D1， B 1A1O1=5 ， 在 RtA 1B1O1中， B1O1=sinB 1A1O1A 1B1=sin50.3=0.02616( 米 )， B 1D1=2B1O1=0.05232 米， 伸缩门的宽是： 0.0523220=1.0464 米； 校门打开的宽度为： 6-1.0464=4.95365( 米 ). 故校门打开了 5 米 . 22.(10 分 )小明在做课本 “ 目标与评定 ” 中的一道题
20、：如图 1，直线 a、 b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？ (1) 请帮小明在图 2 的画板内画出你的测量方案图 (简要说 明画法过程 )； 说出该画法依据的定理 . (2)小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作： 在图 3 的画板内，在直线 a 与直线 b 上各取一点，使这两点与直线 a、 b的交点构成等腰三角形 (其中交点为顶角的顶点 )，画出该等腰三角形在画板内的部分 . 在图 3 的画板内，作出 “ 直线 a、 b 所成的跑到画板外面去的角 ” 的平分线 (在画板内的部分 )，只要求作出图形，并保留作图痕迹 . 请你帮小明完成上面两个操作过
21、程 .(必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内 ) 解析 ： (1)方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理； (2)首先作等腰三角形 PBD ，然后延长 BD 交直线 a 于点 A，则四边形 ABPQ 就是所求作的图形 .作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质； (3)作出线段 AB 的垂直平分线 EF，由等腰三角形的性质可知， EF 是顶角的平分线，故 EF即为所求作的图形 . 答案： (1)方法一： 如图 2，画 PCa ，量出直线 b 与 PC 的夹角度数，即为直线 a， b所成角的度数， 依据：两直线平行，同位角相等， (2) 如图 3，画 PCa ，
22、以 P 为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线 b、 PC 于点 B、 D，连接 BD 并延长交直线 a 于点 A，则四边形 ABPQ 就是所求等腰三角形在画板内的部分； 如图 3，作线段 AB 的垂直平分线 EF，则 EF 就是所求作的线 . 23.(10 分 )某镇水库的可用水量为 12000 万 m3，假设年降水量不变，能维持该镇 16 万人 20年的用水量 .为实施城镇化建设，新迁入了 4 万人后，水库只能够维持居民 15 年的用水量 . (1)问：年降水量为多少万 m3？每人年平均用水量多少 m3？ (2)政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到 25 年 .则该镇居民人均每年需节
23、约多少 m3水才能实现目标？ (3)某企业投入 1000 万元设备，每天能淡化 5000m3海水，淡化率为 70%.每淡化 1m3海水所需的费用为 1.5 元，政府补贴 0.3 元 .企业将淡化水以 3.2 元 /m3的价格出售，每年还需各项支出 40 万元 .按每年实际生产 300 天计算，该企业至少几年后能收回成本 (结果精确到个位 )？ 解析 ： (1)设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 ym3，根据题意等量关系可得出方程组，解出即可； (2)设该镇人均每年用水量为 zm3水才能实现目标，由等量关系得出方程，解出即可； (3)该企业 n 年后能收回成本，根据投入 1000 万
24、元设备，可得出不等式，解出即可 . 答案： (1)设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 ym3， 由题意得， ，解得： . 答：年降水量为 200 万 m3，每人年平均用水量为 50m3. (2)设该镇居民人均每年用水量为 zm3水才能实现目标， 由题意得， 12000+25200=2025z ，解得： z=34， 50-34=16m3. 答：该镇居民人均每年需节约 16m3水才能实现目标 . (3)该企业 n 年后能收回成本， 由题意得， 3.2500070% -(1.5-0.3)5000 300n -400000n10000000 ，解得： n8 . 答：至少 9 年后企业能收回
25、成本 . 24.(12 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= (x-m)2- m2+m 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，连结 AB， ACAB ，交 y 轴于点 C，延长 CA 到点 D，使 AD=AC，连结 BD.作 AEx轴， DEy 轴 . (1)当 m=2 时，求点 B 的坐标； (2)求 DE 的长？ (3) 设点 D的坐标为 (x， y)，求 y关于 x的函数关系式？ 过点 D作 AB的平行线，与第 (3)题确定的函数图象的另一个交点为 P，当 m 为何值时，以 A， B， D， P 为顶点的四边形是平行四边形？ 解析 ： (1)将 m=2 代入原式，得到二
26、次函数的顶点式，据此即可求出 B 点的坐标； (2)延长 EA，交 y 轴于点 F，证出 AFCAED ，进而证出 ABFDAE ，利用相似三角形的性质，求出 DE=4； (3) 根据点 A 和点 B 的坐标，得到 x=2m， y=- m2+m+4，将 m= 代入 y=- m2+m+4，即可求出二次函数的表达式； 作 PQDE 于点 Q，则 DPQBAF ，然后分 (如图 1)和 (图 2)两种情况解答 . 答案： (1)当 m=2 时， y= (x-2)2+1， 把 x=0 代入 y= (x-2)2+1，得： y=2， 点 B 的坐标为 (0， 2). (2)延长 EA，交 y 轴于点 F，
27、 AD=AC ， AFC=AED=90 ， CAF=DAE ， AFCAED ， AF=AE ， 点 A(m， - m2+m)，点 B(0， m)， AF=AE=|m| ， BF=m-(- m2+m)= m2， ABF=90 -BAF=DAE ， AFB=DEA=9 0 ， ABFDAE ， = ，即： = ， DE=4. (3) 点 A 的坐标为 (m， - m2+m)， 点 D 的坐标为 (2m， - m2+m+4)， x=2m ， y=- m2+m+4， y= - + +4， 所求函数的解析式为： y=- x2+ x+4， 作 PQDE 于点 Q，则 DPQBAF ， () 当四边形 A
28、BDP 为平行四边形时 (如图 1)， 点 P 的横坐标为 3m， 点 P 的纵坐标为： (- m2+m+4)-( m2)=- m2+m+4， 把 P(3m， - m2+m+4)的坐标代入 y=- x2+ x+4 得： - m2+m+4=- (3m) 2+ (3m)+4 ， 解得： m=0(此时 A， B， D， P 在同一直线上，舍去 )或 m=8. () 当四边形 ABPD 为平行四边形时 (如图 2)， 点 P 的横坐标为 m， 点 P 的纵坐标为： (- m2+m+4)+( m2)=m+4， 把 P(m， m+4)的坐标代入 y=- x2+ x+4 得： m+4=- m2+ m+4， 解得： m=0(此时 A， B， D， P 在同一直线上，舍去 )或 m=-8， 综上所述： m 的值为 8 或 -8.
