1、2013 年辽宁省葫芦岛市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 2 分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案选上。 ) 1.(2 分 )计算： 2 (-3)=( ) A. -6 B. -5 C. -1 D. 6 解析 ： 2 (-3)=-6. 答案： A. 2.(2 分 )下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 .故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故此选项正确； D、不是轴
2、对称图形，是中心对称图形 .故此选项错误 . 答案： C. 3.(2 分 )下列运算中，正确的是 ( ) A. x3 x2=x5 B. 2x-x=2 C. x+y=xy D. (x3)2=x9 解析 ： A、 x3 x2=x5，此选项正确； B、 2x-x=x，故此选项错误； C、 x+y 无法计算，故此选项错误； D、 (x3)2=x6，故此选项错误 . 答案 ： A. 4.(2 分 )已知 |a+1|+ =0，则 a+b=( ) A. 8 B. 0 C. -8 D. 6 解析 ： 根据题意得， a+1=0， 7-b=0，解得 a=-1， b=7，所以， a+b=-1+7=6. 答案： D.
3、 5.(2 分 )如图， AB 是半圆的直径， AB=2， B=30 ，则 的长为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 连接 CO， AB=2 ， OB=1 ， AB 是半圆的直径， ACB=90 ， B=30 ， A=60 ， COB=120 ， = = ， 答案 ： B. 6.(2 分 )如图是反比例函数 y= 的图象，下列说法正确的是 ( ) A. 常数 m -1 B. 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 C. 若 A(-1， h)， B(2， k)在图象上，则 h k D. 若 P(x， y)在图象上，则 P (-x， y)也在图象上 解析 ： A、常数 0，故此选项错误；
4、 B、在每个象限内， y 随 x 的增大而减小，故此选项错误； C、若 A(-1， h)， B(2， k)在图象上，则 h k.故此选项正确； D、若 P(x， y)在图象上，则 P (-x， -y)也在图象上，故此选项错误； 答案 ： C. 7.(2 分 )甲车行驶 30km 与乙车行驶 40km 所用时间相同 .已知乙车比甲车每小时多行驶 15km，设甲车的速度为 xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：设甲车的速度为 xkm/h，则乙车的速度为 (x+15)km/h，由题意得： = ， 答案 ： D. 8.(2 分 )如图，四边形 ABCD 中，
5、点 M， N 分别在 AB， BC 上，将 BMN 沿 MN 翻折，得 FMN ，若 MFAD ， FNDC ，则 B= ( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 解析 ： MFAD ， FNDC ， A=110 ， C=90 ， FMB=110 ， FNB=C=90 ， BMN 沿 MN 翻折，得 FMN ， BMNFMN ， BMN=FMN= FMB= 110=55 ， BNM=FNM= FNM=45 ， B=180 -BMN -BNM=80 ， 答案： C. 9.(2 分 )装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液体的深度为 6，其正面如图 1 所示，将容器倾斜
6、，其正面如图 2 所示 .已知液体部分正面的面积保持不变，当 AA1=4 时， BB1=( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 解析 ： 设 A1B1=a，则根据面积公式得出： 6a= (4+BB1) a， BB1=8， 答案： B. 10.(2 分 )如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O， BOC=60 ， AD=3，动点 P 从点 A出发，沿折线 AD-DO以每秒 1 个单位长的速度运动到点 O 停止 .设运动时间为 x 秒， y=SPOC ，则 y 与 x 的函数关系大致为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 作 OEDC ，作 OFAD ，作 CGDB ， 矩形 A
7、BCD， AD=3， BC=3 ， 矩形 ABCD 的对角线交于点 O， BOC=60 ， BOC 是等边三角形， OB=OC=BC=3， BOCAOD ， ADO=AOD=60 ， DO=AO=3， 在 RtOAF 中， AOF=30 ， OA=3， AF= ， 由勾股定理得 OF= ， 在 RtDOE 中， ODE=30 ， OD=3， OE= ， 由勾股定理得 DE= ， DC=2DE=3 ， 在 RtDCG 中， CDG=30 ， DC=3 ， CG= ， 当 0x 3 时， y=SPOC= SACD -SAPO -SPDC= 3 - x- (3-x) = x， 即 y 是 x 的正比
8、例函数， 当 3 x6 时， y=SPOC = (x-3) ，即 y 是 x的一次函数， 答案 ： A. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 11.(3 分 )计算： (2 -4)0= . 解析 ： (2 -4)0=1， 答案 ： 1. 12.(3 分 )若 =70 ，则 的补角为 . 解析 ： =70 ， 的补角的度数 =180 -70=110 . 答案 ： 110. 13.(3 分 )分解因式： a2-2ab= . 解析 ： a2-2ab=a(a-2b)， 答案 ： a(a-2b). 14.(3 分 )三个等边三角形的位置如图所示，若 3=50 ，则 1+2= .
9、 解析 ： 图中是三个等边三角形， 3=50 ， ABC=180 -60 -50=70 ， ACB=180 -60 -2=120 -2 ， BAC=180 -60 -1=120 -1 ， ABC+ACB+BAC=180 ， 70+ (120 -2 )+(120 -1 )=180 ， 1+2=130 . 答案 ： 130. 15.(3 分 )如图， RtABC 中， ACB=90 ， AC=4，将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 至 AB ，连接 BC ，则 ABC 的面积为 . 解析 ： 根据题意得出旋转后图形， ACAC ，过点 BDAC 于点 D， CAC=ACB=ADB ， 四边形
10、 CADB 是矩形， AC=BD=AC=4 ， ABC 的面积为： ACBD= 44=8 . 答案 ： 8. 16.(3 分 )如图，一段抛物线 C1： y=-x(x-3)(0x3 )与 x 轴交于点 O， A1；将 C1向右平移得第 2 段抛物线C2，交 x 轴于点 A1， A2；再将 C2向右平移得第 3 段抛物线 C3，交 x 轴于点 A2， A3；又将 C3向右平移得第 4段抛物线 C4，交 x 轴于点 A3， A4，若 P(11， m)在 C4上，则 m 的值是 . 解析 ： 令 y=0，则 -x(x-3)=0，解得 x1=0， x2=3， 点 A1(3， 0)， 由题意得，平移到
11、C4的平移距离为 33=9 ， y= -x(x-3)=-(x- )2+ ， C 4的解析式为： y=-(x- -9)2+ ， P (11， m)在 C4上， m= -(11- -9)2+ =- + =2. 答案 ： 2. 三、解答题 (共 9 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(8 分 )定义新运算：对于任意实数 a， b，都有 a b=a-2b，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：3 2=3-22= -1.若 3 x 的值小于 1，求 x 的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来 . 解析 ： 根据题目所给的运算方式，列出不等式，解不等式 . 答案 ：由
12、题意得， 3 x=3-2x 1，解得： x 1. 在数轴上表示为： . 18.(8 分 )关于 x， y 的二元一次方程 ax+by=10(ab0 )的一个解为 .求 (a- ) 的值 . 解析 ： 根据二元一次方程解的定义将 x=1， y=2 代入方程得到 a 与 b 的关系式，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将得出的关系式代入计算即可求出值 . 答案 ：将 x=1， y=-2 代入方程得： a-2b=10， 则原式 = = = =25. 19.(8 分 )袋子中装有 3 个带号码的球，球号分别是 2， 3， 5，这些球除号码不同外其
13、他均相同 . (1)从袋中随机摸出一个球，求恰好是 3 号球的概率； (2)从袋中随机摸出一个球，再从剩下的球中随机摸出一个球，用树形图列出所有可能出现的结果，并求两次摸出球的号码之和为 5 的概率 . 解析 ： (1)由袋子中装有 3 个带号码的球，球号分别是 2， 3， 5，这些球除号码不同外其他均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出球的号码之和为 5的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案 ： (1) 袋子中装有 3 个带号码的球，球号分别是 2， 3， 5，这些球除号码不同外其他均相同， 从袋中随机摸出一
14、个球，求恰好是 3 号球的概率为： ； (2)画树形图得： 共有 6 种等可能的结果，两次摸出球的号码之和为 5 的有 2 种情况， 两次摸出球的号码之和为 5 的概率为： = . 20.(8 分 )如图，四边形 ABCD 中， ADBC ， BAAD ， BC=DC， BECD 于点 E. (1)求证： ABDEBD ； (2)过点 E 作 EFDA ，交 BD 于点 F，连接 AF.求证：四边形 AFED 是菱形 . 解析 ： (1)首先证明 1=2 .再由 BAAD ， BECD 可得 BAD=BED=90 ，然后再加上公共边 BD=BD 可得ABDEBD ； (2)首先证明四边形 AF
15、ED 是平行四边形，再有 AD=ED，可得四边形 AFED 是菱形 . 答案 ： (1)如图， ADBC ， 1=DBC . BC=DC ， 2=DBC .1=2 . BAAD ， BECDBAD=BED=90 ， 在 ABD 和 EBD 中 ， ABDEBD (AAS)； (2)由 (1)得， AD=ED， 1=2 . EFDA ， 1=3 .2=3 .EF=ED .EF=AD . 四边形 AFED 是平行四边形 . 又 AD=ED ， 四边形 AFED 是菱形 . 21.(10 分 )某校要求 340 名学生进行社会调查，每人须完成 3-6 份报告 .调查结束后随机抽查了 20 名学生每人
16、完成报告的份数，并分为四类， A： 3 份； B： 4 份； C： 5 份； D： 6 份 .将各类的人数绘制成扇形图 (如图 1)和条形图 (如图 2)，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误 . 回答问题： (1)写出条形图中存在的错误，并说明理由； (2)写出这 20 名学生每人完成报告份数的众数、中位数； (3)在求这 20 名学生每人完成报告份数的平均数时，小静是这样分析的： 第一步求平均数的公式是 = ； 第二步在该问题中， n=4， x1=3， x2=4， x3=5， x4=6； 第三步： = =4.5(份 ) 小静的分析是从哪一步开始出现错误的？ 请你帮她计算出正确的平均数
17、，并估计这 340 名学生共完成报告多少份 . 解析 ： (1)条形统计图中 B 的人数错误，应为 2030% ； (2)根据中位数、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案； (3) 小静的分析是从第二步开始出现错误的； 根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以 340即可得出答案 . 答案 ： (1)B 错误，理由为： 2030%=67 ； (2)众数为 5 份，中位数为 5 份； (3) 第二步； = =4.65(份 )， 估计这 340 名学生共完成报告 4.65340=1581 (份 ). 22.(9 分 )如图，一热气球在距地面 90 米高的 P 处，观测
18、地面上点 A 的俯角为 60 ，气球以每秒 9 米的速度沿 AB 方向移动， 5 秒到达 Q 处，此时观测地面上点 B 的俯角为 45 .(点 P， Q， A， B 在同一铅直面上 ). (1)若气球从 Q 处继续向前移动，方向不变，再过几秒位于 B 点正上方？ (2)求 AB 的长 (结果保留根号 ). 解析 ： (1)首先过点 B 作 BHPQ ，垂足为 H，即可得出 QH=HB=90m，进而利用平移速度得出答案； (2)首先过点 P 作 PEAB ，垂足为 E，利用 tan60= = = ，进而得出 AE 的长，再利用 PH=BE 进而得出 AB 的长 . 答案 ： (1)过点 B 作
19、BHPQ ，垂足为 H， 一热气球在距地面 90 米高的 P 处， HB=90m ， HQB=45 ， 2=45 ， QH=HB=90m ， 909=10 (秒 )， 答：气球从 Q 处继续向前移动，方向不变，再过 10 秒位于 B 点正上方； (2)过点 P 作 PEAB ，垂足为 E， 一热气球在距地面 90 米高的 P 处， PE=90m ， QPA=60 ， 1=60 ， tan60= = = ， AE= =30 ， 气球以每秒 9 米的速度沿 AB 方向移动， 5 秒到达 Q 处， PQ=59=45 (m)， PH=45+90=135 (m)， BE=135 (m)， AB=BE -
20、AE=(135-30 )m， 答： AB 的长为 (135-30 )m. 23.(9 分 )如图， A(1， 0)， B(4， 0)， M(5， 3).动点 P 从点 A 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向右移动，且过点 P 的直线 l： y=-x+b 也随之移动 .设移动时间为 t 秒 . (1)当 t=1 时，求 l 的解析式； (2)若 l 与线段 BM 有公共点，确定 t 的取值范围； (3)直接写出 t 为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在 y轴上 . 解析 ： (1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； (2)分别求出直线 l 经过点 B、点 M 时
21、的 t 值，即可得到 t 的取值范围； (3)找出点 M 关于直线 l 在 y 轴上的对称点 C，如 答案 图所示 .求出点 C 的坐标，然后求出 MC 中点坐标，最后求出 t 的值 . 答案 ： (1)直线 y=-x+b 交 x 轴于点 P(1+t， 0)， 由题意，得 b 0， t0 ， . 当 t=1 时， -2+b=0，解得 b=2，故 y=-x+2. (2)当直线 y=-x+b 过点 B(4， 0)时， 0=-4+b，解得： b=4， 0=-(1+t)+4，解得 t=3. 当直线 y=-x+b 过点 M(5， 3)时， 3=-5+b，解得： b=8， 0=-(1+t)+8，解得 t=
22、7. 故若 l 与线段 BM 有公共点， t 的取值范围是： 3t7 . (3)如 图，过点 M 作 MC 直线 l，交 y 轴于点 C，交直线 l 于点 D，则点 C为点 M在坐标轴上的对称点 . 设直线 MC 的解析式为 y=x+m，则 3=5+m，解得 m=-2， 故直线 MC 的解析式为 y=x-2. 当 x=0 时， y=0-2=-2，则 C 点坐标为 (0， -2)， (0+5)2=2.5 ， (3-2)2=0.5 ， D 点坐标为 (2.5， 0.5)， 当直线 y=-x+b 过点 D(2.5， 0.5)时， 0.5=-2.5+b，解得： b=3， 0=-(1+t)+3，解得 t
23、=2.t 为 2 时，点 M 关于 l的对称点落在 y轴上 . 24.(10 分 )如图， ABC 中， C=90 ， BC=3， AC=4，点 O 在 CB 的延长线上，且 OB=4，以 O 为圆心， 2 为半径的半圆交 CB 的延长线于点 D， E.点 T 在半圆上，连接 TB 并延长，交 AC 于点 P. (1)若 PT 与半圆相切，求 BPC 的度数； (2)当 TOB 的面积最大时，求 PC 的长； (3)直接写出点 T 到 DE 的距离为多少时，恰有 AP=3. 解析 ： (1)根据切线的性质得 OTB=90 ，由 OT=2， OB=4 得到 OBT=30 ，根据对顶角相等得 CB
24、P=30 ，所以 BPC=60 ； (2)要使 OBT 的面积最大，则 OTOB ，再证明 RtOBTRtCBP ，然后利用相似比可计算出 PC 的长； (3)作 THBE 于 H，连结 OT，证明 RtHBTRtCBP ，根据相似比得到 BH=3TH，设 TH=x，则 BH=3x， OH=3x-4，在 RtOHT 中，根据勾股定理可计算出 x. 答案 ： (1)如图， PT 与半圆相切， OTTB ， OTB=90 ， OT=2 ， OB=4， OBT=30 ， CBP=30 ， BPC=60 ； (2)如图 2， 当 OTOB 时，点 T 到 OB 的距离最大，最大值 为 2，此时 OBT
25、 的面积最大， OBT=CBP ， RtOBTRtCBP ， = ，即 = ， PC= ； (3)如图 3，作 THBE 于 H，连结 OT， AP=3 ， CP=CA -AP=4-3=1， OBT=CBP ， RtHBTRtCBP ， = ，即 = ， BH=3TH ， 设 TH=x，则 BH=3x， OH=3x-4， 在 RtOHT 中， OT 2=OH2+TH2， (3x-4)2+x2=22， x= ， TH= ， TH= ， 点 T 到 DE 的距离为 或 时，恰有 AP=3. 25.(12 分 )为衡量某特种车辆的性能，研究制定了行驶指数 P， P=K+1000，而 K 的大小与平均
26、速度 v(km/h)和行驶路程 s(km)有关 (不考虑其他因素 )， K 由两部分的和组成，一部分与 v2成正比，另一部分与 sv 成正比 .在实验中得到了表中的数据： (1)用含 v 和 s 的式子表示 P； (2)当 P=500，而 v=50 时，求 s 的值； (3)当 s=180 时，若 P 值最大，求 v 的值 . 参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )的顶点坐标是 (- ， ) 解析 ： (1)根据题目所给的信息，设 K=k1v2+k2sv，然后根据 P=K+1000，列出用含 v 和 s的式子表示 P； (2)将 P=500， v=50，代入求 s 的值即可； (3)把 s=180 代入，确定函数关系式，然后求 P 最大值时 v 的值即可 . 答案 ： (1)设 K=k1v2+k2sv，则 P=k1v2+k2sv+1000， 由表中数据，得： ，解得： ， P= -v2+sv+1000； (2)当 P=500，而 v=50 时，则 500=-502+50s+1000，解得： s=40，故 s 的值为 40； (3)当 s=180 时， P=-v2+180v+1000=-(v-90)2+9100， -1 0， 函数图象开口向下，有最大值，则当 v=90 时， P 有最大值，即要使 P 最大， v=90.
