1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分 ,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回 . 注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 .，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答 ;不能写在试题卷上 ; 如需改
2、动，先画掉原来的答案 ,然后再写上新的答案 ;不能使用涂改液、胶带纸 ,修正带 ,不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案 ,解答题应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 .。 参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积， h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V=13Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。 如果事件 A,B 互斥 ,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件 A,B 独立 ,那么 P(AB)=P(A)P(B). 事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 : ( ) (1
3、) ( 0,1, 2, , )kk nknnPk Cp p k n=L . 第卷 (共 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）集合 0, 2,A a= , 21,B a= ,若 0,1, 2, 4,16AB=U ,则 a的值为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 【解析】 : 0, 2,A a= , 21,B a= , 0,1, 2, 4,16AB=U 2164aa = 4a = ,故选 D. 答案 :D 【命题立意】 :本题考查了集合的并集运算 ,并用观察法得到相对应的元
4、素 ,从而求得答案 ,本题属于容易题 . （ 2）复数31ii等于 （ A） i21+ B） 12i C） 2 i+ D） 2 i 【解析】 : 223(3)(1)32 4221(1)(1)1 2iii ii iiiii i+=+ ,故选 C. 答案 :C 【命题立意】 :本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算 . （ 3）将函数 sin 2y x= 的图象向左平移4个单位 , 再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式是 （ A） cos 2y x= （ B）22cosy x= （ C） )42sin(1+= xy （ D）2
5、2siny x= 【解析】 :将函数 sin 2y x= 的图象向左平移4个单位 ,得到函数 sin 2( )4yx=+即sin(2 ) cos 22yx x=+=的图象 ,再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式为21 cos 2 2siny xx=+ = ,故选 D. 答案 :D 【命题立意】 :本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能 ,学会公式的变形 . （ 4） 一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 （ A） 223 + （ B） 423 + （ C） 2323 + （ D） 2343 + 【解析】 :该空间几何体为
6、一圆柱和一四棱锥组成的 , 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ,四棱锥的底面 边长为 2 ，高为 3 ，所以体积为()21232333= 2 2 侧 (左 )视图 2 2 2 正 (主 )视图 俯视图 所以该几何体的体积为2323 + . 答案 :C 【命题立意】 :本题考查了立体几何中的空间想象能力 ,由三视图能够想象得到空间的立体图 ,并能准确地 计算出 .几何体的体积 . （ 5） 已知， 表示两个不同的平面， m 为平面内的一条直线， 则 “ ” 是 “ m ”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【解析】 :由平
7、面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面内的 一条直线 ,m ,则 ,反过来则不一定 .所以“ ”是“ m ”的必要不充分条件 . 答案 :B. 【命题立意】 :本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 . （ 6） 函数x xx xeeyee+=的图像大致为 【解析】 :函数有意义 , 需使 0xxee , 其定义域为 0| xx ,排除 C,D,又因为22212111xx xxx x xee eyee e e+=+,所以当 0x 时函数为减函数 ,故选 A 答案 :A. 【命题立意】 :本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质 .本题的难点1x y 1O
8、A xyO11B xyO 1 1 C x y 1 1 D OB 在于给出的函数比较复杂 ,需要对其先变形 ,再在定义域内对其进行考察其余的性质 . (7）设 P 是 ABC 所在平面内的一点， 2BCBA BP+=uuur uuuruur，则 (A） 0PA PB+=uuuruurr(B） 0PC PA+ =uuur uuurr(C） 0PB PC+=uuur uuur r(D） 0PA PB PC+ +=uuuruur uuur r【解析】 :因为 2BCBA BP+=uuur uuuruur，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 C。 答案： C。 【命题立意】 :本题考查了向量的
9、加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。 (）某工厂对一批产品进行了抽样检测 .有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 96， 106，样本数据分组为 96， 98） ， 98， 100), 100， 102)， 102， 104),104， 106,已知样本中产品净重小于 100克的个数是 36， 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 (A） 90 (B） 75 (C） 60 (D） 45 【解析】 :产品净重小于 100克的概率为 (0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100
10、克的个数是 36,设样本容量为 n ,则 300.036=n,所以 120=n ,净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的概率为 (0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 1200.75=90.故选A. 答案:A 【命题立意】 :本题考查了统计与概率的知识 ,读懂频率分布直方图 ,会计算概率以及样本中有关的数据 . (9） 设双曲线 12222=byax的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 (A） 45(B） 5 (C） 25(D） 5 96 98 100 102 10
11、4 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率 /组距 第 8 题图 【解析】 :双曲线 12222=byax的一条渐近线为 xaby = ,由方程组21by xayx= +,消去 y,得210bxxa+=有唯一解 ,所以 =2() 4 0ba = , 所以 2ba= ,2221() 5cab beaa a+= =+ = ,故选 D. 答案 :D. 【命题立意】 :本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 ,以及直线与抛物线的位置关系 ,只有一个公共点 ,则解方程组有唯一解 .本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 . (10） 定义在 R 上的函数
12、f(x)满足 f(x)= 0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则 f（ 2009）的值为 (A） -1 (B） 0 (C） 1 (D） 2 【解析】 :由已知得2(1) log2 1f = =, (0) 0f = , (1) (0) ( 1) 1fff= =, (2) (1) (0) 1fff=, (3) (2) (1) 1 ( 1) 0fff=, (4) (3) (2) 0 ( 1) 1fff=, (5) (4) (3) 1fff= =, (6) (5) (4) 0fff= =, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现 .,所以 f（ 2009） = f（ 5） =1,
13、故选 C. 答案 :C. 【命题立意】 :本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 . （ 11）在区间 -1， 1上随机取一个数 x， cos2x的值介于 0 到21之间的概率为 ( ). （ A）31（ B）2（ C）21（ D）32【解析】 :在区间 -1， 1上随机取一个数 x,即 1,1x 时 ,222x , 0cos 12x 区间长度为 1, 而 cos2x的值介于 0 到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选 C 答案 :C 【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 ,由自变量 x 的取值范围 ,得到函数值 cos2x的范围 ,再由长度型几何概型求得 （
14、 12） 设 x， y 满足约束条件+0,002063yxyxyx， 若目标函数 z=ax+by（ a0， b0）的是最大值为 12，则23ab+ 的最小值为 ( ). （ A）625（ B）38（ C） 311（ D） 4 【解析】 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax+by= z（ a0， b0）过直线 x-y+2=0 与直线3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时，目标函数 z=ax+by（ a0，b0）取得最大 12，即 4a+6b=12,即 2a+3b=6，而23ab+ =2 3 2 3 13 13 25() () 266 6 6ab baab ab+=+=,故选 A.
15、 答案 :A 【命题立意】 :本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 .要求能准确地画出不等式表示的平面区域 ,并且能够求得目标函数的最值 ,对于形如已知 2a+3b=6,求23ab+ 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 . 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （ 13）不等式 0212 0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】 : 设函数 (0,xyaa= 且 1a 和函数 yxa= + ,则函数 f(x)=ax-x-a(a0 且 a 1)有两个零点 , 就是函数 (0,xyaa=且 1a 与函
16、数 yxa= + 有两个交点 ,由图象可知当10 a 时 ,因为函数 (1)xyaa= 的图象过点(0,1),而直线 yxa=+所过的点一定在点 (0,1)的上方 ,所以一定有两个交点 .所以实数 a 的取值范围是 1a 答案 : 1a 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 ,隐含着对指数函数的性质的考查 ,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答 . （ 15）执行右边的程序框图，输入的 T= . 【解析】 :按照程序框图依次执行为 S=5， n=2， T=2； S=10，n=4， T=2+4=6； S=15， n=6， T=6+6=12； S=20， n=8，T
17、=12+8=20； S=25， n=10， T=20+10=30S，输出 T=30 答案 :30 【命题立意】 :本题主要考查了循环结构的程序框图 ,一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束 ,本题中涉及到三个变量 ,注意每个变量的运行结果和执行情况 . （ 16）已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ，满足 (4) ()f xfx = ,且在区间 0,2上是增函数 ,若方程 f(x)=m(m0) 在区间 8,8 上有四个不同的根1234,x xxx, 则1234_.xxxx+= 【解析】 :因为定义在 R 上的奇函数，满足 (4) ()f xfx = ,所以 (4) ()f xfx =,所以
18、 , 由 )(xf 为奇函数 ,所以函数图象关于直线 2x = 对称且 (0) 0f = ,由 (4) ()f xfx= 知(8) ()f xfx= ,所以函数是以 8 为周期的周期函数 ,又因为 )(xf 在区间 0,2上是增函数 ,所开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 以 )(xf 在区间 -2,0上也是增函数 .如图所示 ,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 8,8 上有四个不同的根1234,x xxx , 不妨设1234x xxx0) EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 解法一： （ 1）在直四棱柱 ABCD
19、-A1B1C1D1中，取 A1B1的中点 F1， 连接 A1D， C1F1， CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD， 所以 CD=/A1F1， A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D， 又因为 E、 E1分别是棱 AD、 AA1的中点，所以 EE1/A1D， 所以 CF1/EE1，又因为1EE 平面 FCC1，1CF 平面 FCC1， 所以直线 EE1/平面 FCC1. （ 2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是棱 AB 的中点 ,所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形 ,取 CF的中点 O,则 OB CF,又因为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中
20、 ,CC1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F,垂足为 P,连接 BP,则 OPB 为二面角 B-FC1-C 的一个平面角 , 在 BCF 为正三角形中 , 3OB = ,在 Rt CC1F 中 , OPFCC1F,11OP OFCC C F= 221222OP =+, 在 Rt OPF 中 ,22114322BP OP OB=+=+=,272cos7142OPOPBBP=,所以二面角 B-FC1-C 的余弦值为77. 解法二 :（ 1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点 , 所以 BF=BC=CF,
21、BCF 为正三角形 , 因为 ABCD 为 等腰梯形 ,所以 BAC= ABC=60 ,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM AB,所以 DM CD, 以 DM 为 x 轴 ,DC 为 y 轴 ,DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 , ,则 D（ 0,0,0） ,A（ 3 ,-1,0） ,F（ 3 ,1,0） ,C（ 0,2,0） , C1（ 0,2,2 ） ,E （32,12 ,0 ） ,E1（ 3 ,-1,1 ） , 所以131(,1)22EE =uuur, (3,1,0)CF =uuur,1(0,0,2)CC =uuuur1(3,1,2)FC =uuuur设平面 CC1F 的法E
22、A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 向量为 (, ,)nxyz=r则100nCFnCC=ruuurr uuuur 所以300xyz =取 (1, 3, 0)n=r, 则1311310022nEE=+=r uuur,所以1nEEr uuur,所以直线 EE1/平面 FCC1. （ 2 ） (0,2,0)FB =uuur, 设平面 BFC1的法向量为1111(, ,)nxyz=ur, 则11100nFBnFC=ur uuurur uuuur 所以111 10320yxy z=+=,取1(2,0, 3)n =u
23、r,则121 3 0 0 3 2nn = + =r ur, 2| 1(3) 2n =+ =r,221| 2 0(3) 7n =+ =ur, 所以11127cos ,7|2 7nnnnnn= = =r urrurruur ,由图可知二面角 B-FC1-C 为锐角 ,所以二面角B-FC1-C 的余弦值为77. 【命题立意】 :本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算 .考查空间想象能力和推理运算能力 ,以及应用向量知识解答问题的能力 . (19)(本小题满分 12 分 ) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得3 分， 在 B 处每投进
24、一球得 2 分； 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮， 否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1P2 P3 P4 （ 1） 求 q2的值； （ 2） 求随机变量 的数学期望 E ; （ 3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。 解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立 ,且P(A)=0.
25、25, ( ) 0.75PA= , P(B)= q2,2() 1PB q= . 根据分布列知 : =0 时22( ) ()()() 0.75(1 )PABB PAPBPB q=0.03,所以210.2q= ，q2=0.2. （ 2）当 =2 时 , P1= )()()( BBAPBBAPBBABBAP +=+ )()()()()()( BPBPAPBPBPAP += =0.75 q2( 21 q )2=1.5 q2( 21 q )=0.24 当 =3 时 , P2 =22( ) ()()() 0.25(1 )PABB PAPBPB q=0.01, 当 =4 时 , P3=22( ) ()()(
26、) 0.75PABB PAPBPB q=0.48, 当 =5 时 , P4= ()()()P ABB AB P ABB P AB+= + 22 2()()() ()() 0.25 (1 ) 0.25PAPBPB PAPB q q q=+=+=0.24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.010.480.24随机变量 的数学期望 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63E = + + + + = （ 3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 ()P BBB BBB BB+ ()()()PBBB PBBB P
27、BB=+2222 22(1 ) 0.896qq q= += ; 该同学选择（ 1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 . 【命题立意】 :本题主要考查了互斥事件的概率 ,相互独立事件的概率和数学期望 ,以及运用概率知识解决问题的能力 . （ 20） （本小题满分 12 分） 等比数列 na 的前 n 项和为nS ，已知对任意的 nN+ ，点 (, )nnS ，均在函数(0xyb rb=+ 且 1, ,bbr 均为常数 )的图像上 . （ 1）求 r 的值； （ 11）当 b=2 时，记 22(log 1
28、)( )nnbanN+=+ 证明：对任意的 nN+ ，不等式1212111 1nnbbbnbb b+ +成立 解 :因为对任意的 nN+ ,点 (, )nnS ， 均在函数 (0xyb rb= +且 1, ,bbr 均为常数的图像上 . 所以得nnSbr=+ , 当 1n= 时 ,11aSbr= =+ , 当 2n时 ,1111() (1)nn nn nnnnaSS brb rbb bb= =+ += = ,又因为 na 为等比数列 ,所以1r = ,公比为 b ,1(1)nnabb= （ 2）当 b=2 时，11(1) 2nnnabb= = , 1222(log 1) 2(log 2 1)
29、2nnnba n= += += 则1 212nnb nbn+ += ,所以1212111 35721 246 2nnbbb nbb b n+ +=L 下面用数学归纳法证明不等式1212111 35721 1246 2nnbbb nnbb b n+ += +L 成立 . 当 1n= 时 ,左边 =32,右边 = 2 ,因为322 ,所以不等式成立 . 假设当 nk= 时不等式成立 ,即1212111 35721 1246 2kkbbb kkbb b k+ += +L 成立 .则当 1nk=+时 ,左边 =11212 11111 3572123 246 2 2 2kkkkbbbb k kbb bb
30、 kk+ + + += +L 2223 (23) 4(1)4(1)1 11 ( 1) 1 ( 1) 12 2 4( 1) 4( 1) 4( 1)kk kkk+ + = = = + +所以当 1nk=+时 ,不等式也成立 . 由、可得不等式恒成立 . 【命题立意】 :本题主要考查了等比数列的定义 ,通项公式 ,以及已知nS 求na 的基本题型 ,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题 ,以及放缩法证明不等式 . （ 21） （本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距
31、离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. （ I）将 y 表示成 x 的函数； （）讨论（ I）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A
32、 的距离 ;若不存在，说明理由。 解 :（ 1）如图 ,由题意知 AC BC,22400BCx= ,224(0 20)400kyxxx=+ 4240240 9 m1m2, 所以12122112 1 24(400 )(400 ) 9() 0(400 )(400 )mmmmmmm m m即12y y 函数49400ymm=+在(0,160)上为减函数 . 同理 , 函数49400ymm=+在 (160,400) 上为增函数 , 设 1609160160 所以121212 1 24(400 )(400 ) 90(400 )(400 )mmmmm m m0）过 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)
33、两点， O 为坐标原点， （ I）求椭圆 E 的方程； （ II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OBuuur uuur？若存在，写出该圆的方程，并求| AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解 :（ 1）因为椭圆 E: 22221xyab+=（ a,b0）过 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)两点 , 所以2222421611abab+=+=解得22118114ab=所以2284ab =椭圆 E 的方程为22184xy+ = （ 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA OBu
34、uur uuur, 设该圆的切线方程为 ykxm= + 解方程组22184xyy kx m+=+得222( ) 8xkxm+=,即22 2(1 2 ) 4 2 8 0kx kmx m+=, 则 =22 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0km k m k m +=+,即22840km + 12221224122812kmxxkmxxk+= +=+, 22 22 2 22212 1 2 12 1 222(2 8) 4 8()() ()12 12 12km km m kyy kx m kx m kxx kmx x m mkk=+ += + += +=+ +要使 OA OB
35、uuur uuur,需使12 120xx yy+=,即22228 8012 12mmkkk+ =+,所以223880mk=, 所以223808mk=又22840km+, 所以22238mm ,所以283m , 即263m 或263m , 因为直线 ykxm=+为圆心在原点的圆的一条切线 ,所以圆的半径为21mrk=+，222228381318mmrmk= =+，263r = ， 所求的圆为2283xy+=，此时圆的切线 y kx m= + 都满足263m 或263m ，而当切线的斜率不存在时切线为263x = 与椭圆22184xy+ = 的两个交点为26 26(, )33 或26 26(,)33满足 OA OBuuur uuur，综上，存在圆心在原点的圆2283xy+ = ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA OBuuur uuur. 【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题 ,主要考查了椭圆的标准方程的确定 ,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 ,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系
