1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试 用时 120 分钟第卷 1 至 2 页第卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和 答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公
2、式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）已知集合 12Sx x= +R ， 21012T =， ， ， ，则 ST= （ ） A 2 B 12， C 012， ， D 1012 ， ， ， （ 2）设变量 x y， 满足约束条件 1 4 2 xy xy y + ， ， 则目标函数 24zxy= + 的最大值为（ ） 10 12 13 14 （ 3） “ 2a = ”是 “直线 20ax y+=平行于直线
3、 1x y+ = ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 （ 4）设 1 2 log 3a = ， 0.2 1 3 b = ， 1 3 2c= ，则（ ） A abc B cba C cab D bac的反函数是（ ） A 24( 2) x yx=+ B 24( 0) x yx= + C 24( 2) x yx= D 24( 0) x yx= （ 6）设 ab， 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A若 ab， 与 所成的角相等，则 ab B若 a ， b ， ，则 ab C若 a ， b ， ab ，则 D若
4、a ， b ， ，则 ab （ 7）设双曲线 22 22 1( 0 0) xy ab ab = ， 的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线 2 4y x= 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） 22 1 12 24 xy = 22 1 48 96 xy = 22 2 1 33 xy = 22 1 36 xy = （ 8） 设等差数列 n a 的公差 d 不为 0， 1 9ad= 若 k a 是 1 a 与 2k a 的等比中项， 则 k =（ ） 2 4 6 8 （ 9）设函数 () sin ( ) 3 fx x x =+ R ，则 ()f x （ ） A在区间 27 36 ， 上是增函数
5、B在区间 2 ， 上是减函数 C在区间 84 ， 上是增函数 D在区间 5 36 ， 上是减函数 （ 10）设 ()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0 x 时， 2 ()f xx= ，若对任意的 2xtt+， ，不等式 ()2()f xt fx+ 恒成立，则实数 t的取值范围是（ ） A ) 2 + ， B ) 2 +， C ( 02， D 21 20 ， 第卷 注意事项： 1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3本卷共 12 小题，共 100 分 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分把答案填在题中横线上 （ 11）从一堆苹果中任取了
6、 20 只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 )90 100， )100 110， )110 120， )120 130， )130 140， )140 150， 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的 （ 12） 9 2 1 x x + 的二项展开式中常数项是 （用数字作答） （ 13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2 ， 3，则此球的表面积为 （ 14）已知两圆 22 10 xy+ = 和 22 (1)( 3) 20 xy + =相交于 AB， 两点，则直线 AB 的方 程是 （
7、 15）在 ABC 中， 2AB= ， 3AC = ， D是边 BC 的中点，则 AD BC = nullnullnullnull nullnullnullnull i （ 16）如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子 涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色 也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，已知 2AC = ， 3BC = ， 4 cos 5 A= （）求 sin B 的值； （）求 sin 2 6
8、B + 的值 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球， 乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球 现 从甲、乙两个盒内各任取 2 个球 （）求取出的 4 个球均为红球的概率； （）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD AC CD ， 60ABC= ， PA AB BC=， E 是 PC 的中点 （）求 PB和平面 PAD 所成的角的大小； （）证明 AE 平面 PCD； （）求二面角 APDC 的大小 A B C D P E （
9、 20） （本小题满分 12 分） 在数列 n a 中， 1 2a = ， 1 431 nn aan + =+， n * N （）证明数列 n an 是等比数列； （）求数列 n a 的前 n项和 n S ； （）证明不等式 1 4 nn SS + ，对任意 n * N 皆成立 （ 21） （本小题满分 14 分） 设函数 2 () ( )f xxxa= （ xR ） ，其中 aR （）当 1a = 时，求曲线 ()yfx= 在点 (2 (2)f， 处的切线方程； （）当 0a 时，求函数 ()f x 的极大值和极小值； （）当 3a 时，证明存在 10k， ，使得不等式 22 (cos) (
10、 cos)f kxfk x 对任意 的 xR 恒成立 （ 22） （本小题满分 14 分） 设椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +=的左、右焦点分别为 12 FFA， 是椭圆上的一点， 212 AF FF ，原点 O到直线 1 AF 的距离为 1 1 3 OF （）证明 2ab= ； （）求 (0 )tb ， 使得下述命题成立：设圆 222 x yt+ = 上任意点 00 ()M xy， 处的切线交 椭圆于 1 Q ， 2 Q 两点，则 12 OQ OQ 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5
11、分，满分 50 分 （ 1） B （ 2） C （ 3） C （ 4） A （ 5） C （ 6） D （ 7） D （ 8） B （ 9） A （ 10） A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 （ 11） 70 （ 12） 84 （ 13） 14 （ 14） 30 xy+= （ 15） 5 2 （ 16） 630 三、解答题 （ 17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识， 考查基本运算能力满分 12 分 （）解：在 ABC 中， 2 2 43 sin 1 cos 1 55 AA = = = ，由正弦定理， sin s
12、in BCAC A B = 所以 23 2 sin sin 35 5 AC BA BC = （）解：因为 4 cos 5 A= ，所以角 A为钝角，从而角 B 为锐角，于是 2 2 221 cos 1 sin 1 55 BB = = = ， 2 21 17 cos 2 2cos 1 2 1 525 BB=， 221421 sin 2 2sin cos 2 55 15 BBB= sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 666 BB B += + 421 3 17 1 25 2 25 2 =+ 12 7 17 50 + = （ 18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识
13、，考查运用概率知识解决 实际问题的能力满分 12 分 （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A， “从乙盒内取出的 2 个球均为 红球”为事件 B 由于事件 A B， 相互独立，且 2 3 2 7 C 1 () C7 PA=， 2 3 2 9 C 5 () C18 PB=， 故取出的 4 个球均为红球的概率是 15 5 ( ) () () 7 18 126 PAB PAPB=ii （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个 红球为黑球”为事件 C ， “从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红
14、球， 1 个是黑球”为事件 D由于事件 CD， 互斥，且 11 2 34 4 22 79 CC C 2 () CC 21 PC =i ， 112 524 22 75 CCC 10 () CC 63 PD=i 故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为 21016 ()()() 21 63 63 PC D PC PD+= + =+= （ 19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识考查空间想 象能力、记忆能力和推理论证能力满分 12 分 （） 解： 在四棱锥 P ABCD 中， 因 PA底面 ABCD， AB平面 ABCD， 故 PA AB 又 AB AD ， PA
15、AD A= ， 从而 AB 平面 PAD 故 PB在平面 PAD 内的射影为 PA， 从而 APB 为 PB和平面 PAD 所成的角 在 Rt PAB 中， AB PA= ，故 45APB = null 所以 PB和平面 PAD 所成的角的大小为 45 null （）证明：在四棱锥 P ABCD 中， 因 PA底面 ABCD， CD平面 ABCD，故 CD PA 由条件 CD PC ， PA AC A= ， CD 面 PAC 又 AE 面 PAC ， AECD 由 PA AB BC=i ， 60ABC = null ，可得 AC PA= E 是 PC 的中点， AEPC ， PC CD C =
16、 综上得 AE 平面 PCD （）解：过点 E 作 EMPD ，垂足为 M ，连结 AM 由（）知， AE 平面 PCD， AM 在平面 PCD内的射影是 EM ，则 AMPD 因此 AME 是二面角 A PD C的平面角 由已知，可得 30CAD= null 设 AC a= ，可得 PA a= ， 23 3 AD a= ， 21 3 PD a= ， 2 2 AE a= 在 Rt ADP 中， AMPD ， AMPD PAAD =ii，则 A B C D P E M 23 27 3 7 21 3 aa PA AD AM a PD a = i i 在 Rt AEM 中， 14 sin 4 AE
17、AME AM = 所以二面角 APDC的大小 14 arcsin 4 （ 20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式 及前 n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力满分 12 分 （）证明：由题设 1 431 nn aan + =+，得 1 (1)4( ) nn an an + += ， n * N 又 1 11a =，所以数列 n an 是首项为 1，且公比为 4 的等比数列 （）解：由（）可知 1 4 n n an = ，于是数列 n a 的通项公式为 1 4 n n an =+ 所以数列 n a 的前 n项和 41 (1) 32
18、 n n nn S + =+ （）证明：对任意的 n * N ， 1 1 41(1)(2) 41(1) 44 32 32 nn nn nn nn SS + + + + = + + 2 1 (3 4) 0 2 nn= + 所以不等式 1 4 nn SS + ，对任意 n * N 皆成立 （ 21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式 等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分 14 分 （）解：当 1a = 时， 232 () ( 1) 2f xxx xxx= = + ，得 (2) 2f = ，且 2 () 3 4 1f xxx = +
19、 ， (2) 5f = 所以，曲线 2 (1)yxx= 在点 (2 2)， 处的切线方程是 25(2)yx+ = ，整理得 580 xy+= （）解： 23 22 () ( ) 2f xxxa xaxax= = + 22 ( ) 3 4 (3 )( )f xxaxa xaxa = + = 令 () 0fx = ，解得 3 a x= 或 x a= 由于 0a ，以下分两种情况讨论 （ 1）若 0a ，当 x变化时， ()f x 的正负如下表： x 3 a ， 3 a 3 a a ， a ()a +， ()f x 0 + 0 因此，函数 ()f x 在 3 a x= 处取得极小值 3 a f ，且
20、 3 4 327 a f a = ； 函数 ()f x 在 x a= 处取得极大值 ()f a ，且 () 0fa= （ 2）若 0a ，得 1 3 a ，当 10k， 时， cos 1kx ， 22 cos 1kx 由（）知， ()f x 在 ( 1， 上是减函数，要使 22 (cos) ( cos)f kxfk x ， xR 只要 22 cos cos ( )kxk xR 即 22 cos cos ( )xxkkxR 设 2 2 11 () cos cos cos 24 gx x x x = ，则函数 ()gx在 R 上的最大值为 2 要使式恒成立，必须 2 2kk ，即 2k 或 1k
21、所以，在区间 10 ， 上存在 1k = ，使得 22 (cos) ( cos)f kxfk x 对任意的 xR 恒 成立 （ 22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等 基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分 （）证法一：由题设 212 AF FF 及 1 (0)Fc ， ， 2 (0)Fc， ，不妨设点 ()A cy， ，其中 0y ，由于点 A在椭圆上，有 22 22 1 cy ab + = ， 22 2 22 1 ab y ab +=， 解得 2 b y a = ，从而得到 2 b Ac a ， ， 直
22、线 2 AF 的方程为 2 () 2 b y xc ac =+，整理得 22 20bx acy bc+= 由题设，原点 O到直线 1 AF 的距离为 1 1 3 OF ，即 2 422 3 4 cbc bac = + ， 将 222 cab=代入原式并化简得 22 2ab= ，即 2ab= 证法二：同证法一，得到点 A的坐标为 2 b c a ， ， 过点 O作 1 OB AF ，垂足为 H ，易知 112 FBC FFA ，故 2 11 BOFA OF F A = 由椭圆定义得 12 2AF AF a+ = ，又 1 1 3 BOOF= ，所以 22 12 1 32 FA FA FA a F
23、A = ， 解得 2 2 a FA= ，而 2 2 b FA a = ，得 2 2 ba a = ，即 2ab= （）解法一：圆 222 x yt+=上的任意点 00 ()M xy， 处的切线方程为 2 00 x xyyt+= 当 (0 )tb ， 时，圆 222 x yt+=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A处的切线必交椭圆 于两个不同的点 1 Q 和 2 Q ，因此点 11 1 ()Qx y， ， 22 2 ()Qx y， 的坐标是方程组 2 00 222 22 xx yy t xyb += += 的解当 0 0y 时，由式得 2 0 0 txx y y = 代入式，得 2 2 220
24、0 txx x b y += ，即 222 2 4 22 00 0 0 (2 ) 4 2 2 0 xyx txxt by+=， 于是 2 0 12 22 00 4 2 tx xx x y += + ， 422 0 12 22 00 22 2 tby xx x y = + 2 2 01 12 12 01 txxtxx yy yy = i 42 2 012 0122 0 1 ()txtxx xxx y =+ 242 42 200 00222 00000 421 22 tx t by txt x yxyx = + + A O 1 F 2 F H x y 422 0 22 00 2 2 tbx x y
25、 = + 若 12 OQ OQ ，则 4224224222 00 00 12 12 22 22 22 00 00 00 22 2 32( ) 0 tbytbxtbxy xx yy xy xy xy + += + = = + 所以， 4222 00 32( )0tbxy+=由 222 00 x yt+ = ，得 422 32 0tbt = 在区间 (0 )b， 内此方 程的解为 6 3 tb= 当 0 0y = 时，必有 0 0 x ，同理求得在区间 (0 )b， 内的解为 6 3 tb= 另一方面，当 6 3 tb= 时，可推出 12 12 0 xx yy+ = ，从而 12 OQ OQ 综上所述， 6 (0 ) 3 tbb=， 使得所述命题成立
