1、1 引言中华人民共和国国家标准数据的统计处理和解释r分布（皮尔逊Ill型分布）的参数估计Statistical interpretation of data Parameter estimation for gamma distnbution (Pearson Ill distribu“。n)1- 1 适用范围及用途UDC 519. 28 GB 8 0 5 5 8 7 本标准适用于服从分布的各种随机变量。本标准规定了根据样本值估计I分布的参数的方法。1. 2 应用条件对测量、试验、调查得到的数据，要进行理论分析经验判断或统计检验如果服从r分布.jitJ段本标准确定其参数的点估计和区间估汁。2
2、名词术语本标准所用统计学名词术语见GB3358一82统计学名词术语及符弓，除此之外还规定名词术语如下2. 1 偏态系数coefficient of skewn四S总体的三阶中心矩与标准差的立方之比。f二E(XH(X）（飞！（，E(.) ) 2.2 串串本的几何均值geometric mean of sample n个抽样单位乘积的？次幕。i= (ll z七2 3 甲函数111 !unction 函数的导数与r函数之比。I di（响）I 甲（in)（nO是尺度参数u吗，.，.x沟样本观测值时，本节给出参数响，b的点估计。4, 1. 1 照估计nllJ)升精度要求不高时口rm此烛。实施步骤. 计算
3、样本均值豆_ I II - . . ( l ) b. 计算样本方差S = ;i芒I2_; Cx ilh川c. 计算仰的炬估计111 = x /S . ( l ) d. 计算b的矩估计b0-8/i (1) 4. 1. 2 极大似然估计（nIO)寻求极大似然估汁有两种方法，近似公式法和牛顿迭代法。具中近似公式法给出的极大似然估叶计算误差可达l0 .牛顿迭代法叮给出更高的计算精度，实际E作中可根据需要选用其中之。4.1.2.1 近似公式法实施步骤：. 汁算统计蛙ff=ln.c lnx . ( 5 ) 其中正是悴本的几何均值。b. 计算m的极大似然估计当OO：是形状参数，b O是尺度参数、是位置参数。
4、当矶山，为样本观测值时，本节给出参数m, b，和三参数分布的期望，变异系数c. 偏态系数的点估计。x s言之4, 2. 1 参数m,b，与，C,C，的关系c.工、lm/(m十的. ( I们C、2/ m ( 1 7) 四1/C; . . ( 18) b工，c,C,/2（I 9) （！ 2C,/C,) ，门的4, 2. 2 适线法（n注20)实施步骤z. 样本从大到小排列成z；二注x，二2二兰x.b. 用公式p, = ，二（i= l 2,n) n十l. ( 21 ) 计算p, c. 计算x士2._;x,(22) d. 计算c，和巳的初始值和飞。C,. = S/x 叭。2xC,./(x .x.) (
5、23) . ( 24) e. 查附录川的表A2，由c,. p，查得对应的，（i=l,2，川。i计算x(p,)x(p,) = x(C，呐十1) .(25) g. 计算目标函数值Q三；x,x(p,ll . . . . . . ( 26) . 2S5 GB 8 0 5 5 8 7 h. 用模哩搜索法逐步求出使Q达到最小的飞。） l，具体步骤！附成ll（补充件）中的B.2. I +- Jl , 取p:玉，札c, ，（九二孔、框图反程序见附录B（补充件）。5 二参数r分布的区间估计当x, x，h为样本观测值时，给定在言水平l一本节给出二参数分布参数.b的机侧置信区间。5. 1 参数m的置信区间（m I)
6、 实施步骤：. 计算统计量Hnx nx口hb. 查GB1086. 2 83统计分布数值表X分布中！2“X分布分位数表”得g,=X(n1),g,=Xc(n l) c. 计算m的置信下限 = (3g，十飞;gg:平12(n-FflgJl)/(12nH) d. i算阳的背f言J二限mu= (3g，十、匀!if亨丁去；11日7JIZ50时实施步骤b,. = 2nx/X；子（2nm)( 3 (I) bu= Znx/X旨（2霄由） ( 3 I ) a. 查Gil4086. 1 83统计分布数值表正态分布中点，3“正态分布分jtL数表飞得u】.， . ii；到7,，手二4n1nX n，子寸2川n(32) Z
7、号二、4钮，nXu号十2nm.(33) b. 汁算b的f,信F限b,. = 2nx/ 7,，立 ( 3 I、c. 计）：b的进信上限bcc=Znilz干(3G) L Jll虫的数达到j极小时的扎，凡。; i. 1 三参数r分布密度函数图若随机变量z的密度函数形如GB 8 0 5 5 8 7 附录A图与附表（补充件）f(x；隅，b，）工证t；）（王）c干X,a 。其中，O,bO,=.:o O. !l ll 19 .o 19.56 13 .95 36.69 31.34 26422 .43 1日，5714 .90 I0 .59 7. 714 5.661 2. 764 晶。.252 o. 154 0.
8、0319 o. 0524 o. 052 20 .o 5l.2B 45 .39 37 .77 32 .16 Zfi.72 22.84 19 .85 l4 .臼HlO .52 7. 557 5.461 55 l l. il.2 0.)77 o. 0945 。，0)36。.0663 (). ()日(). 258 口，285。，：ll50.33() 1).3328 o. J3:l3 。.3333 o. 3;133 (). 3333 。，.333(J. 3:J 33 0. 3333 fJ. 3333 o. 3333 o. 33臼- o. 3333 口，扭扭 。，111o.2 l l . 262 o. 2
9、81_1 一o.主白白(). 31J6 11.3(17刷。.1177 I). :l!J77 ll.;(;77 .；-1071 () . IJ fl (I. 30 77 。.3J 7 o. 3077 o. 3077 D 牛TUMa aZrm + g s u p m +mJ- 262 GB 8055 87 且1.2 程序2, dimension x( 100) 3, open(2,!ilc=prn) 4, write（铃，8)i6500 301A433528000 012241lll4151 f4 90EE1豆1页。323322322222232ZZE-323gt-2:- 223012345678
10、9012345878901234567890123 567891111111111222222222233333333334444 format( Ix, write（棒，1I ) format( Ix ,input sample numble n ￥format z据拌并善）read（祷，lO)nformat(i4) format( Ix, do44i=!,n write（怜，13)write（善，20);format(lx,sample x(. i1，￥format 椅骨始讲替祷）read（祷，21)x(i) format(f7. 2) continue write(2, 136) for
11、mat( Ix, SAMPLES x, /) write(2, 135) (x(i) ,i = 1, n) !ormat(lx,5(f8. 2,3x)/) format( lx,format z祷祷钟祷拎娇挤write（替，15)write（势，12)format( Ix, read（拌，14)epsformat(!8. 6) writc(2,!6)eps format( Ix ,eps=,f9. 7) eps￥） a=O 0 xb= 0. 0 xh= O. 0 do 500 i=1,n xb=xb十x(i)xh=xh十alog(x(i)-a) xb=xb/n-a xh=xh/n al=alo
12、g(xb)-xh write(2, 510)al format(lx,al=fl4. 9) zO=O. 5/al if(zO. ge 9. O)goto 200 x0=9 0十zO263 GB 8 0 5 5- 8 7 11. 15, 16 l 7 . 18 19 50 300 P二pusi(xO)pl=pusil(xO) do 300 i=0,8 xO=i+zO pp J. O/xO pl= pl十I.0/xO/xO continue ., I Ra goto 210 P二pusi(zO)pl=pusil(zO) z=zO- (alog(zO)-p al)/(! O/zO pl) write
13、(2, 201 )zO, z, eps format( Jx ，mO，f12.7,2x,m门1127,2x,eps =,!9 7) write(2, 205)a format( lx,a= ,114. 9) if(abs(zO-z). gt. eps) goto 550 b=xb/z write(2,!00)z,b format( Ix,m z ,115. 9,Sx,b=,fl 5. 9。1501000 2222EE l5善:2222ZEE-32,-V-2-2 9qA吨民UPO巧400Qdnu19hqOA1FUnbmJ。QA1。LqOAq丰ZdnbRJaOOQUA555555556668666
14、66677777777778 stop zO=z goto 400 end function pusi(z) s=O 1 . 0/21. O/z/z s= 1. 0 s/z/z s= . 0十s/6.O/z pusi=alog(z)-s骨0.5/z return end function pus1 1 (z) s=O 2-J 0/7 0/z/z s= I 0 s/z/z s=l 0十s/3.O/z pus1 l=(l. 0十S拷0.5/z)/z return end 睡EB. 2 用适线法估计参敏 c , c, B.2. 1 搜索法的步骤a，令Q。Q, = Q(C叫，l,)c., =l, c，
15、、t仁、261 GB 8055 87 b. 可，（飞厅臼lt的Jj:长11cO. I .Jt I式求：I ; 飞！叫、) I l工J、斗（！（I 0. Ii，矿、）. I/ Hf、，.0.1飞Ji ( 当时.- O. II、（.，）-. (,!, l时、白二二minCVC飞l O.IC,.r,).1/(1. 0.11、.1,)lll、I飞II (., o. （们。lf、l （、令Qi（l. .,.I、) c.取（、Jiiii) f的！b(:A 20.1，按FJ; .J己II:I., 飞（I,I, I 0. 11,) ，Hf 、1扒IIi I(.,) V,flJ .飞Jl) ) 叮v门l（( 、
16、.（0.11.,).lll、二f / 叶斗lI/, （！（、.I,)d li ,. ，人fl. (., f气zc, （.，同时成kil!IJ /j ( 八.c. (,!, L二fli g 1i则转h缆线搜索飞f，川 ) c. 兑轧.I ( P品阳叩I f 268 GB 8055 87 求经验频率p所对应的值Z(30, N 0）（即求.表幢图I !1 I II二1I Pl !OJ YOI II），1p1111lYOi!lJ)/ IYU I= C+ 1 三EB日今x( l ) 茹元BJiN 丁-!a,y I = 1 E=E+IXllliAMX 1 FA FA+rXN y FXII0FREAD（铃，
17、JO)N,NX,C,LFORMAT(413) NO=NX+C一LWRITE（善，20)N,NX,C,L,NOFORMAT(JX ,2HN= ,14, lOX, 3HNX二，13,!OX, 2HC=, 13, l OX, 2HL=, 13, 1 OX,3HNO二，14)FORMAT( IX，FORMAT.祷祷赞普普普）DO 30 l=l,NO WRITE（棒，22)WRITE（椅，35)1FORMAT(JX,X（，14，）￥） READ（祷，25)X(I) f。rmat(f7.2) CALL SUMI (NO ,x, p, z, xp, fx, n, nx, c, I) STOP END 23
18、$storage, 2 24. 25, 26, 27, 28, 29. 30, 31 32, 33 34, I 01 35, SUBROUTINE SUM l (NO ,x, p, z, xp, fx, n ,nx, c, I) DIMENSION XO (30), Y0(38) ,Z0(30,38) DIMENSION X(nO) ,P(nO) ,Z(3日，nO),XP( nO), FX(nO) INTEGER C Jogcal 11,12 open ( 2, file=prn) open刊，f】le工for06.dat) open口，filefor07dat) open忡，filefor0
19、8dat) rcad(6, I 01) (xO(i) ,i= 1, 30) fonnat(lx,f6. 3) read(7, 102) (yO(i) ,i = J, 38) 271 36 1 02 37, 38 103 39. 40, 105 41 . 42: 13 110 44 45 130 46. 4 7 48, 19, 50, 51 . 52, 53. 51, 150 55, 56 155 57, 58 160 59, 60, 6 I , 1 62 170 63, 64, 175 65, 66 180 67, 68, 69, 70 190 71, 72 200 73 210 7 4 .
20、75, 76. 220 76, GB 8 0 5 5 8 7 format(lx,f7. 2) read忡，103)(zO(i,j) ,j= 1,38) ,i=J ,30) format(lx,f8. 4) WRITE（椅，105)format( 1 x,xO, value of c) WRITE（势，180)(XO(!) ,I=J ,30) WRITE（势，110) FORMAT(! x ,YO,VALUE OF P) WRITE（样，180)(0(1),I=J ,38) CONTJNUE NI =NO l DO 150 I= I ,NI II =I+ l DO 150 J=ll ,NO I
21、F(X(I). GE. X(J) GOTO 150 W=X(l) X(l) =X(J) X(J)=W CONTINUE WRITE(2,!5日FORMAT(JX,PARAMETER X,) WRITE(2, 160) (X(I), I= 1 , NO) FORMAT(7(10X,5FJ2. 5/) DO 170 !=!,NO P(I) =FLOAT(!) /FLOAT(N + 1) IF(!. GT. C)P(l) =FLOAT(C)/FLOAT(N十I）十FLOAT(NC十I）誉（！C) /FLOAT( (N + 1）祷（NX-L十1) ) CONTINUE WRITE(2, 175) FO
22、RMAT(JX,TABEL OF FREQUENCYWRITE(2, 180) (P(I), I= 1, N的FORMAT( OX,5Fl2. 7) DO 250 IO=! ,NO DO 200 11=I,37 IF( (P(l的一YO（！）锈（P(IO)-YO(ll + 1) 190, 190,200 K=I GOTO 210 CONTINUE !F(K. NE. 1. AND. ABS(P(IOYO(K). LT. ABS(P(IQ)-YO(K+l)K=K-1 DO 220 JO=l,30 Z(JO,IO) =0. 0 CONTINUE Kl=K十2275 77, 78, 79, 80 8
23、1 230 82, 83, 3,J,250 8且，86, 87, 88, 89 280 90 290 91 92, 93, 91, 300 95, 9日97, 98, 99, 100, 310 101, 320 I OZ, I 03, IO,J,330 1 05 J 06 107, 108, I 09, JI0,335 1 J 1 I I 2 , 113, 310 I I 1 , I I 5 , I I 6 , I I 7 , I l且e119 i6 DO 250 IK,Kl H一J0 DO 230 J=K.Kl GB 8 0 5 5 8 7 IP(J, Nl)H=H祷（P(IO)-YO(J)
24、/(YO(l) YO(J) CONTINUE DO 250 .10二I, 30 Z(JO,IO)=Z(J0,10）十f！普ZO(JO,I)CONTINUE A 0. 0 IF(C. EQ. 0) GOTO 290 DO 280 I= I ,C A=A卡X(J)CONTINUE B二。NI =C l DO 300 l=Nl ,NO B=B十X(!)CONTINUE AMX（八FLOAT(NC)/FLOAT(NX一L）费B)/FLOAT(N)E=O. 0 IF (C.EQ.0) GOTO 320 DO 310 l=l,C e=e十（x(i)/amxl. 0）替誓2CONTJNUE fa= 0. 0
25、 DO 330 l=Nl ,NO fa=fa+(x(i)/amx 1. 0）祷筑2CONTINUE VO二SQRT(E斗FLOAT(NC)/FLOAT(NX L）势Fal/float(nI) SO= (2咽。铃AMX长VO)/(AMXX(n0) ：S=SO FLAG=O GOTO I 300 CV=VO FI =F(X, FX, AMX, CV, NO ,c, xp) WR1TE(2, 340)CV .CS, Fl FO且MA1 (I OX, 3HCV =, F J 2. 6, 5X, 3HCS =, F 12. 6，X,3HF1二，F1 2. 6) v1 vo s1 so A I . 0.
26、I A2= 0 I FOFI A3 0 120, 350 121 . 122, 123. 1 24 125 360 126 127, 128, 129, 130, 131, 370 132, 133, 380 134, 135, 136 390 137 400 138, 139, 140, 141, 405 142, 143, 144, 410 145, 146 14 7 148, 149, 150, 420 151, 152, 430 153. 154, 155, 440 156, 157, 158, 159. 160, I 61, 162 450 GB 8055 87 cvv1+A1祷VI
27、cs=sl F2二F(X,FX,AMX,CV ,NO,c,xp) a3=a3十1WRITE(2 ,360)CV ,CS ,F2 FORMAT(lOX，但1CV=,F12. 6,5X,3HCS= ,F!2.日，5X,3HF2=,Fl2. 6) IF(A3. EQ. 2. AND. Fl. LT. F2) GOTO 380 IF(Fl. LT. F2) GOTO 370 V2=CV S2=CS GOTO 390 Al= Al GOTO 350 V2=Vl S2=Sl F2=FI A3=0 CV=V2 CS=S2+A2骨S2FLAG=! GOTO 1300 F3=F(X,FX,AMX,CV ,NO
28、,c,xp) A3=A3+1 WRITE(2, 410)CV ,CS ,F3 FORMAT(JOX,3HCV= ,FJ2. 6,5X,3HCS= ,Fl2. 6,5X,3HF3= ,F12. 6) IF(A3. EQ. 2. AND. F2. LT. F3)GOTO 430 !F(F2. LT. F3)GOTO 420 V3=CV S3=CS GOTO 440 A2 = A2 GOTO 400 V3=V2 S3=S2 F3=F2 IF(F3. LT. FO) GOTO 460 IF(VJ. EQ. VO. AND. SI. EQ. SO) GOTO 450 Vl=VO SJ =SO Fl=FO
29、 A3=0 GOTO 350 Al=Al/5. 271 16 3 16 4 I 65, 166. 167 460 168 169. 1 70 17 l 1 72 173, l 71 175 1 76 1 77 . 178, 465 179, 1 8 0. 181 182, 470 183, 18,1, 480 185, 186 485 187 490 188 189, 1300 190, 191, 1400 192-193 194, 195, 196, 197, 1410 198, 199, 200, 201, 202, 203 1420 204, 205, 278 GB 8 0 5 5 8
30、7 八2A2/5IF (Al祷VO.LT. 0. 00 l. AND. A2. LT 0. 002)GOTO 480 A30 GOfO 350 v l 2. 0任V3VO s l二2.0椅S3SO IF(Vl. LT. 0 O)Vl = 0. 0 IF(Sl.LT.0.0)S!=O 0 IF(Sl. GT. 19. 5）吕1= 19. 5 VO=V3 SO=S3 FO=F3 CS=Sl FLAG=2 GOTO 1300 CV=Vl Fl =F(X,FX,AMX,CV ,NO,c,xp) A3=0 WRITE(2, 470)CV，因，FlFORMAT( I OX, 3HCV= ,FJ2. 6,
31、5X, 3HCS= ,Fl 2. 6, 5X, 3HFJ =, F 12. 6) GOTO 350 WRITE(2,490)V1 ,SI ,Fl WRITE(2, 485)AMX FORMAT(10X,3HMX= ,FIS. 6/) FORMAT(l0X,3HCV= ,Fl2. 6,5X,3HCS= ,Fl2.日，5X,2HF=,F12.6)GOTO 1460 DO 1400 l=J,29 IF(CS XO（！）提（CSXO（！十！）.LE.O. O)K=l CONTINUE Ll = (K. EQ. 29) L2=(ABS(CS XO(K) LT. ABS( CS-XO（且十l).and.（
32、ne 1) IF(Ll. or. L2)K=K l DO 1410 10= ! ,NO FX(IO)=O.。CONTINUE Kl=K斗2DO 1450 I二K,KlD=l. 0 DO 1420 J=K,KI IF (J. NE. I)D=D *(CS XO(J)/(XO(I) XO(J) CONTINUE DO 1450 10= ! ,NO FX(TO) =FX(TO）十DZ(l,TO)206, 1450 207, 208, 209, 210, 1460 21 I , 212, $storage, 2 213, 21 4 . 215. 216, 217, 218, 219. 220, 221
33、, 222. 300 223 224, 225 226，秘GB 8055 87 -Z , r ( ( Col d. 计算c，和c，的初值：C.o=S/i . （川、c . = 2iC.o/(x x10）（C7) . 以下步骤同4.2. 2的e,f、8、hi 0 具体解法的框图和程序见附录BC补充件）中B.20二而iD. 1 GB 8 0 5 5 8 7 D 附录应用实（参考件）例位1参数0 （即一参数I分布）时，点估计和11：问估计的例例同一批中二主十只雄鼠经过辐射后的生存时间（周）为152、152、115、109、137、88、94、77、160、165、125、40、128、123、136
34、、101、62、153、83、69。D. 1. l 给定显著性水平o. 05 Jjf法计算由，b由本标准4.I . 1 a. b. c. d. 户！)x, = 113.15 20J= J_ ； (x, 113. 45)I280.阳119吉，但x/S = l 2 870. 902 5/1 280. 892 1=l0. 018 1 b = S/x l 280. 892 1/113. 45 = 11. 290 4 D. 1. 2 用极大似然法估计巾，b0.1.2.1 近似公式法计算，元，b由本标准1.1.2.1a. b. c. H二nxlnx二4.731 4 4. 673 5 = o. 057 9
35、. . 。O.057 90. 577 2 ,;, =o. 500 087 6+0. 164 885 2 x 0. 057 9-0. 054 127 4 x (0. 057 9)/0. 057 98.799 I b=x/rn =113. 45/8. 7991=12.893 4 D.1.2.2 用牛顿迭代法汁算巾，b由本标准4.1.2.2的实施步骤按本标准附录以补充件）中B.I. 2的程序算得：m =8. 799 4 b = 12. 893 0 D. 1. 3 确定阳的贯信限由本标准5.1 a.计算H= Jni一lni= 0. 057 9 b.查GB1086. 2 83, g, = Xi.,(19
36、) = 32. 85 g, = x:_,.(19) =a. 907 计算m的置信下限 = (3 x 8. 907 、9x 8. 907十12218.9070.057百）（12x 20 o. 057 9) = .1. 01:i s d. 计算阳的置信上限mu= (3 32. 85十、9x 32. 85斗l2 x 21 32. 85 x 0. 057 9)/(12 x 20 0. OS 7 9) 11. 3且68 282 GB 8 0 5 5 8 7 附加说明24二标准由全国统计方法应用标准化技术委员会提出。本标准由武汉市标准化研究所负责起草。本标准主要起草人戴梁、陈卫华、吴清明、汪海鹰、冯建平、王文军。283
