1、考研数学一（参数估计和假设检验）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 假设总体 X 的方差 DX 存在，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2 的矩估计量是（A）S 2+（B） (n 一 1)S2+（C） nS2+（D）2 设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 2 已知， 未知现从中随机抽取 n 个零件，测得样本均值 ，则当置信度为 090 时，判断 是否大于 0 的接受条件为(u a 满足 dt=)3 已知正态总体 XN(a， 相互独立，其中 4 个分布参数都未知设 X
2、1，X 2，X m 和 Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，样本均值分别为 样本方差相应为 ，则检验假设 H0：ab 使用 t 检验的前提条件是4 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 2 为已知，则当样本容量 n 一定时，总体均值 的置信区间长度 l 增大，其置信度 1 一 的值（A）随之增大（B）随之减小（C）增减不变（D）增减不定5 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，DX= 2， 是样本均值，则 2 的无偏估计量是6 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记 EX=，DX= 2(Xi ，DS 0，则（A）S
3、 是 的无偏估计（B） S2 是 2 的无偏估计（C） 是 2 的无偏估计（D） 是 EX2 的无偏估计7 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） Px=m=(1 一 )m1 ，m=1，2，（D）X 服从0，上均匀分布8 假设总体 X 的方差 DX=2 存在( 0)，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其方差为 S2，且 DS0，则（A）S 是 的矩估计量（B） S 是 的最大似然估计量（C） S 是 的无偏估计量（D）S 是 的相合(一致)估计量二、填空题9 设 XN(，
4、 2)，其中 和 2(0)均为未知参数从总体 X 中抽取样本X1，X 2，X n，样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 =_， =_10 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为f(x；)= (0)，则 的最大似然估计量 =_11 已知总体 X 的概率密度只有两种可能，设对 X 进行一次观测，得样本 X1，规定当 X1 时拒绝 H0，否则就接受 H0，则此检验犯第一、二类错误的概率 和 分别为_12 已知总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 +(23a)S2 是 A 的无偏估计，则a
5、=_13 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，当 2 未知时，Y= (X2iX2i1 )2 为 2 无偏估计，则C=_，DY=_14 已知总体 X 服从参数为 p(0p1)的几何分布： PX=x=(1 一 p)x1 p(x=1，2，)，X 1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的矩估计量为_；最大似然估计量为_15 设总体 X 的概率密度为 其中 0 1 是未知参数，c 是常数X 1，X 2， Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，则 c=_；的矩估计量 =_16 设 X1，X 2，X n 是取自总体
6、X 的简单随机样本，a 是总体方差 2的无偏估计量则 a=_，b=_17 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为 =_， =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 服从参数为(0) 的指数分布 ()试求总体 X 的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量； ( )检验所得估计是否为无偏估计19 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为f(x)= 一x+， 0试求 A 的
7、矩估计量和最大似然估计量20 设总体 X 一 N(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量 ()验证的无偏性；() 求方差 并比较其大小21 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1 一 )2，EX=2(1 一 )( 为未知参数) () 试求 X 的概率分布； ()对 X 抽取容量为 10的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值22 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1，X n 为来自总体X 的简单随机样本，Y=X 2( )求 Y
8、的期望 EY(记 EY 为 b)；()求 的矩估计量和最大似然估计量 ；()利用上述结果求 b 的最大似然估计量23 设总体 XN(， 2)， ， 2 未知，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本( )求使得 f(x；， 2)dx=005 的点 a 的最大似然估计，其中 f(x； ， 2)是 X 的概率密度；() 求 PX2的最大似然估计24 设两总体 X，Y 相互独立，XN( 1，60)，Y N(2，36)，从 X，Y 中分别抽取容量为 n1=75，n 2=50 的样本，且算得 =76，求 1 一 2 的 95的置信区间25 某种内服药有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均
9、值为 0=22 的正态分布现研制出一种新药品，测试了 10 名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下： 18，27，23， 15， 18， 15， 18，20， 17，8 问这组数据能否支持“新药的副作用小 ”这一结论 (=005)?26 已知 x1，x 2，x 10 是取自正态总体 N(，1)的 10 个观测值，统计假设为H0：= 0=0；H 1：0 () 如果检验的显著性水平 =005，且拒绝域R= k，求 k 的值；()若已知 =1，是否可以据此样本推断 =0(=005)?()若 H0：=0 的拒绝域为 R= 08，求检验的显著性水平 27 设总体 X 的概率分布为 ，其中 p(0p
10、1)是未知参数，又设x1，x 2，x n 是总体 X 的一组样本观测值()试求参数 p 的矩估计量和最大似然估计量；() 验证相应两个估计量的无偏性28 设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= 其中 和 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值一 05，03，一 02 ，一 06，一01，04，05，一 08，求 的矩估计值和最大似然估计值29 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?30 接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k1，k
11、 2，k n，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值31 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量32 已知总体 X 的密度函数为 其中 ， 为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量33 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中0 为已知，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量34 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)=其中 0 未知现从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束，此时
12、有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计35 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， X(n)=max(X1，X n)()求 的矩估计量和最大似然估计量；() 求常数 a，b，使 =bX(n)均为 的无偏估计，并比较其有效性；()应用切比雪夫不等式证明： 均为 的一致性(相合性)估计36 设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2()若已知 p=25，求 n 的矩估计值 ；() 若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 ；()在情况( )下，检验员从
13、该批产品中再随机检测 100 个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率(注： =076) 37 假设批量生产的某种配件的内径 X 服从正态分布 N(， 2)，今随机抽取 16 个配件，测得平均内径 =305 毫米，样本标准差 s=04 毫米，试求 和 2 的90置信区间38 在测量反应时间中假设反应时间服从正态分布，一心理学家估计的标准差是005 秒为了以 95的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过 001 秒，应取的样本容量 n 为多少?39 某装置的平均工作温度据制造厂家称低于 190今从一个由 16 台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为 195和 8，
14、根据这些数据能否支持厂家结论? 设 =005，并假定工作温度近似服从正态分布考研数学一（参数估计和假设检验）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 按定义，EX 2 的矩估计量是 ，由于所以 为 EX2 的矩估计量，选(D) 【知识模块】 参数估计和假设检验2 【正确答案】 C【试题解析】 本题假设检验的假设应为 H0： 0； H 1： 0统计量为 N(0，1) ，单侧检验由于 dt=，故拒绝域为因此选(C)【知识模块】 参数估计和假设检验3 【正确答案】 C【试题解析】 应该选(C) 因为 t 检验使用统计量 其
15、中 是两个总体的联合样本方差： 只有当选项(C)即 成立时才能导出统计量 t 的抽样分布t 分布，并且根据 t 分布来构造 t 检验【知识模块】 参数估计和假设检验4 【正确答案】 A【试题解析】 对于一个正态总体方差已知关于 的置信区间公式为其中 =1 一 ，UN(0 ，1)，即 随1 一 增大而增大因此置信区间长度 l= 亦随 1 一 增大而增大，应选(A)【知识模块】 参数估计和假设检验5 【正确答案】 C【试题解析】 应选(C)【知识模块】 参数估计和假设检验6 【正确答案】 B【试题解析】 从上题知 S2 是无偏估计，应选(B)进一步分析【知识模块】 参数估计和假设检验7 【正确答案
16、】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 EX=， 的矩估计为 ，应选(A)若 X服从参数为 的指数分布，则 EX=【知识模块】 参数估计和假设检验8 【正确答案】 D【试题解析】 由各选项中概念的定义及 S2= 知，正确选项是(D) ，这是因为 2=DX 的矩估计量 S2，因而 S 不是 的矩估计量，(A)不成立；题中未对 X 的分布做出假设，因此 的最大似然估计量是否存在不知，(B)不成立如果 S2 是 2 的最大似然估计量，根据最大似然估计的不变性，可以断言 S 是 的最大似然估计量，选项(B)成立，否则选项 (B)不成立如果 S 是 的无偏估计即 ES=，由此得(ES) 2=2，又
17、ES2=2，所以 DS=ES2 一(ES) 2=0，与假设矛盾，所以(C) 不成立，因此选 (D)事实上，由大数定律及依概率收敛性质知故 S ，即 S 是 的相合估计量【知识模块】 参数估计和假设检验二、填空题9 【正确答案】 B2【试题解析】 由于待估计参数有 2 个：， 2，故考虑一阶、二阶矩由于 E(X)=， E(X 2)=D(X)+E(X)2=2+2，令 解得 和 2 的矩估计量分别为【知识模块】 参数估计和假设检验10 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 参数估计和假设检验11 【正确答案】 和【试题解析】 由检验的两类错误概率 和 的意义，知=PX1【知识模块】 参
18、数估计和假设检验12 【正确答案】 【试题解析】 直接由 =求 a依题意 EX=DX=，故+(23a)ES2=a+(23a)=(22a)=，解得 a=【知识模块】 参数估计和假设检验13 【正确答案】 【试题解析】 通过 EY=2 求得 C，为此需先求得 X2iX2i1 分布由于XiN(， 2)，且相互独立，故 X2iX2i1 N(0， 22)，E(X 2iX2i1 )2=D(X2iX2i1 )+E(X2iX2i1 )2=22所以由 EY=C (X2iX2i1 )2=Cn22=2，解得 C=【知识模块】 参数估计和假设检验14 【正确答案】 【试题解析】 由几何分布的期望公式即得 则由上式解得
19、 P 的矩估计量 又样本 X1，X n 的似然函数令故 p 的最大似然估计量【知识模块】 参数估计和假设检验15 【正确答案】 【试题解析】 由即 所以， 的矩估计量【知识模块】 参数估计和假设检验16 【正确答案】 【试题解析】 本方差 S2=是总体方差 2 的无偏估计，所以 a=【知识模块】 参数估计和假设检验17 【正确答案】 【试题解析】 EX= 2，解方程组【知识模块】 参数估计和假设检验三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 () 由题设知，总体 X 的概率密度为而 E(X)= 进行矩估计和最大似然估计首先求矩估计量 ：只有一个参数，用总体矩等于样本矩
20、来解总体一阶矩为 E(X)，样本一阶矩为 再求最大似然估计量 ：似然函数为 由是最大似然估计根据最大似然估计的不变性可知，E(X)的最大似然估计量 由上可知() 由于 E(X)=E均是 E(X)的无偏估计量【知识模块】 参数估计和假设检验19 【正确答案】 ()t2et dt=22又样本的二阶矩为()似然函数 L=lnL=nln2 nln 令x i，故 的最大似然估计量【试题解析】 待估计参数只有 ，但总体 X 的一阶原点矩 E(X)= xf(x)dx=0，故考虑总体 X 的二阶原点矩 E(X2)= x2f(x)dx【知识模块】 参数估计和假设检验20 【正确答案】 () 由于 X1，X 2，
21、X n 相互独立且与总体 X 同分布，故()根据抽样分布有关结论知再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 DY=2n所以计算可知 ，因此 有效【知识模块】 参数估计和假设检验21 【正确答案】 () 设 X 的概率分布为 PX=0=p0，Px=1=p 1，PX=2=p 2，由题设知 p2=(1 一 )2，又 EX=2(1 一 )=0p0+1p1+2p2=p1+2p2=p0+2(1 一 )2，解得p1=2(1 一 )一 2(1 一 )2=2(1 一 )，而 p0+p1+p2=1，所以 p0=1 一 p1p2=2，X 的概率分布为 ()应用定义求矩估计值、最大似然估计值令 =EX=2
22、(1 一 )，解得 =1 一 ，于是 的矩估计量，将样本值代入得 的矩估计值为 1 一= ，即 的矩估计值 又样本值的似然函数 L(x 1， ，x 10；)= PX=xi，=2(1 一 )5(1 一 )64=259(1 一 )11，lnL=5ln2+9ln+11ln(1 一 )，令 =0，解得 最大似然估计值【知识模块】 参数估计和假设检验22 【正确答案】 () 直接应用公式 Eg(X)= g(x)f(x)dx 计算()令 =EX，其中即 =于是 的矩估计量 样本 X1，X n 的似然函数为令()由于 b=2 +2(0)是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计的不变性得 b 的最大
23、似然估计为【知识模块】 参数估计和假设检验23 【正确答案】 已知 ， 的最大似然估计值分别为() f(x；， 2)dx=F(+；， 2)一 F(a；， 2)=1 一 ，其中，F 为 X 的分布函数要使 必须有 =1645，即a=+1645由最大似然估计的不变性，得 a 的最大似然估计为()PX2=1 一 ，由最大似然估计的不变性，知PX2的最大似然估计为【知识模块】 参数估计和假设检验24 【正确答案】 这是在两正态总体方差已知的条件下，求均值差的置信区间，应用公式 由 =u0025 =196，代入各组数值，可以得到置信区间 I=(6242，6+242)=(3 58，842)【知识模块】 参
24、数估计和假设检验25 【正确答案】 H 0： 0=22，H 1：22 选取统计量 T= 当 =0 时，Tt(n 一 1)如果 0，则 T 的值有增大趋势，所以我们应该在 T 取较小的值时拒绝 H0因此 H0 的否定域为 R=T ，其中 满足 PT=005，查 t分布表得到 =t005 (9)=183，R=T 183具体计算可得由于 TR，故应否定 H0 接受H1，即新药对血压的副作用小【试题解析】 如果能够根据观察数据 x1，x 10 拒绝 0=22 的假设，我们便可以支持“新药的副作用小”这一结论【知识模块】 参数估计和假设检验26 【正确答案】 () 对于 H0：= 0=0；H 1：0 ，
25、当 H0 成立时，检验统计量 U=N(0，1)根据 =005，所以 =196，即 PU196=005 该检验的拒绝域为 R=U196=于是 k= 062()由()知拒绝域 R= 062，因此应拒绝 H0，即不能据此样本推断=0() 显著性水平 是在 H0 成立，拒绝 H0 的概率，即 =P(x1，x 2，x 10)R H0 成立=P(x 1，x 2，x 10)R=0=P 08=0由于 =0 时，所以有 =P=21 一 (253)=00114 【试题解析】 方差 2 为已知关于正态总体期望值 的检验 H0：= 0，选取的统计量为 U= 由于 =0 时， ，UN(0，1)，因此拒绝域R= U 与
26、的拒绝域 R= 等价【知识模块】 参数估计和假设检验27 【正确答案】 () 矩估计 最大似然估计：似然函数即相应的估计量均为无偏估计量【试题解析】 由题设知，E(X)=P， xi，不难求出矩估计对最大似然估计，关键是写出似然函数由于 xi 取自总体 X，故 xi 不是取 0 就是取 1因此，Xi 的分布可表示成 ，似然函数为 L(p)=【知识模块】 参数估计和假设检验28 【正确答案】 由 f(x；，)0 和 f(x；，)dx=1，得到 0，0 且+=1于是 () 求矩估计值 由于而令 E(X)=()求最大似然估计值 由于在给定的 8 个样本值中，属(一 1，0)的有 5 个，属0，1)的有
27、 3 个，故似然函数为令 =0，解得 的最大似然估计值(显然这时 L()最大 )【知识模块】 参数估计和假设检验29 【正确答案】 记 EX=，DX= 2，则由等式 =由于样本均值计算可知 是 的有偏估计量【知识模块】 参数估计和假设检验30 【正确答案】 依题意，总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 pX=k=p(1 一 p)k1 ，k=1 ，2 ，由于 EX= 样本(k1，k 2，k n)的似然函数 L 为 L(k1，k 2，k n；p)=PX1=k1，X 2=k2，X n=kn令【知识模块】 参数估计和假设检验31 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x n，则似然函数显然
28、0，且 ba 越小 L 值越大，但是bx i，i=1， ，n=bmax(x i，x n)，同理ax i，i=1，n=a xi时，L 才达到最大值，故a，b 的最大似然估计值分别为 xi，从而可知其最大似然估计量分别是【知识模块】 参数估计和假设检验32 【正确答案】 【知识模块】 参数估计和假设检验33 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是样本 X1， ，X n 的观测值，当xi0(i=1，2，n)时其似然函数为因此 的最大似然估计值为【知识模块】 参数估计和假设检验34 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有nk 只未失效” 的概率记 T 的分
29、布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 一；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0o=1 一 F(T0)= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为 这就是所求的似然函数取对数得于是 的最大似然估计为【知识模块】 参数估计和假设检验35 【正确答案】 () 依题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为令 =EX= ，解得 =2，于是 的矩估计量为 又样本 X1，X n 的似然函数为L()为 的单调减函数，且0xi，即 要取大于 xi 的一切值，因此 的最小取值为 max(x1，x n)， 的最大似
30、然估计量 =max(X1，X n)=X(n)( )由于 EX=为 的无偏估计，且 为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)，由 X(n)=max(X1， ，X n)得从而 为 的一致性估计【知识模块】 参数估计和假设检验36 【正确答案】 记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，p)()由=80()令=2() 在情况()下，X B(100，)，于是【知识模块】 参数估计和假设检验37 【正确答案】 这是一个正态总体的区间估计，由于 2 未知，关于 的置信区间公式为 其中 =01，查表可知t005 (15)=1753，于是置信度为 90关于 的置信
31、区间为 I=(3 05 一1753)=(287，323) 未知关于 2 的置信区间公式为其中=095查 2 分布上分位数表得 =24996，于是置信度为 90关于 2 的置信区间为【知识模块】 参数估计和假设检验38 【正确答案】 对于正态总体方差已知 的置信区间为其中= 196 ，解不等式 因此应取的样本容量n 至少为 97【知识模块】 参数估计和假设检验39 【正确答案】 这是一个正态总体方差未知关于期望值 的假设检验问题H0： 0=190； H 1：190 如果能根据观测数据拒绝 H0，就可以支持“低于190”的结论 选取统计量 T= 当 =0 时 Tt(15)，这是一单边检验，其拒绝域应为 R=rt (15)= ，其中 PT t (15)=2，PTt (15)=， Tt(15)查表得知 t(15)=t005 (15)=1753拒绝域为R=T1753，计算统计量 T 的值 根据样本观测数据不能拒绝 H0，即不能支持厂家所称“平均工作温度低于 190”的结论【知识模块】 参数估计和假设检验
