1、考研数学三（参数估计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 假设总体 X 的方差 DX 存在，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2 的矩估计量是2 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，DX= 2， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是3 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记层 X=，DX= 2，DS0，则4 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果（A）XN(， 2)（B） X
2、服从参数为 的指数分布（C） PX=m=(1-)m-1，m=1 ，2，（D）X 服从0，上均匀分布二、填空题5 设 XN(， 2)，其中 和 2(0)均为未知参数从总体 X 中抽取样本X1，X 2，X n，样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 =_.6 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为=_7 已知总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 的期望为 ，则a=_8 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2N 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，当 2 未知时
3、，Y= 的期望为 2，则C=_，DY=_9 已知总体 X 服从参数为 p(0p1)的几何分布： PX=x=(1-p)x-1p(x=1，2，)，X1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的矩估计量为_；最大似然估计量为_.10 设总体 X 的概率密度为 其中 0 1 是未知参数，c 是常数 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则c=_； 的矩估计量 =_11 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， 的数学期望为2，则 a=_，b=_.12 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未
4、知参数 a，b 的矩估计量为 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 服从参数为(0) 的指数分布试求总体 X 的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量14 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为试求 的矩估计量和最大似然估计量15 设总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量 ()求16 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1-)2，EX
5、=2(1-)( 为未知参数)( )试求 X 的概率分布；()对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值17 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2( )求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)；()求 的矩估计量 ()利用上述结果求 b 的最大似然估计量18 设总体 XN(， 2)， ， 2 未知，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本( )求使得 =005 的点 a 的最大似然估计，其中 f(x；， 2)是 X 的概率密度；() 求 PX2的最大似
6、然估计19 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， ()求 的矩估计量和最大似然估计量；()求常数 a，b，使20 设总体 X 的概率分布为 ，其中 p(0p1)是未知参数，又设x1，x 2，x n 是总体 X 的一组样本观测值试求参数 p 的矩估计量和最大似然估计量21 设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= 其中 和 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 -05，03，-02，-06，-01，04，05，-08， 求 的矩估计值和最大似然估计值22 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1，X n 为取自总体 X 的简单随机样
7、本，求 的矩估计量23 接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k1，k 2，k n，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值24 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量25 已知总体 X 的密度函数为 其中 ， 为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量26 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中0 为已知，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量27 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布
8、，概率密度为 f(t)=未知现从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计28 谩有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品。检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2()若已知 p=25，求 n 的矩估计值 ；()若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 ；()在情况( )下，检验员从该批产品中再随机检测 100 个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率.考研数学三（参数估计）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
9、选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 按定义，EX 2 的矩估计量是 ，由于所以 为EX2 的矩估计量，选(D)【知识模块】 参数估计2 【正确答案】 C【试题解析】 应选(C)【知识模块】 参数估计3 【正确答案】 B【试题解析】 从上题知 ES2=2，应选(B)进一步分析【知识模块】 参数估计4 【正确答案】 C【试题解析】 若 XN(， 2)，则 EX=， 的矩估计为 ，应选(A)若 X服从参数为 的指数分布，则 EX= ，对于选项(C)X服从参数为 的几何分布， EX=【知识模块】 参数估计二、填空题5 【正确答案】 ，B 2【试题解析】 由于待估计参数有 2 个：， 2
10、，故考虑一阶、二阶矩由于 E(X)=， E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2，令【知识模块】 参数估计6 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 参数估计7 【正确答案】 【试题解析】 直接由+(2-3a)ES2=a+(2-3a)=(2-2a)=，解得 a=【知识模块】 参数估计8 【正确答案】 【试题解析】 通过 EY=2 求得 C，为此需先求得 X2i-X2i-1 分布由于XiN(， 2)，且相互独立，故 X2i-X2i-1N(0，2 2)，E(X 2i-X2i-1)2=D(X2i-X2i-1)+E(X2i-X2i-1)2=22【知识模块】 参数估计9 【正确答案】 【试题
11、解析】 由几何分布的期望公式即得 则由上式解得 p 的矩估计量 又样本 X1，X n 的似然函数【知识模块】 参数估计10 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 参数估计11 【正确答案】 【试题解析】 样本方差 S2=由 ES2=2 可得 a=【知识模块】 参数估计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 参数估计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由题设知，总体 X 的概率密度为而 E(X)= 进行矩估计和最大似然估计首先求矩估计量 ：只有一个参数用总体矩等于样本矩来解总体一阶矩为 E(X)，样本一阶矩为 再求最大似然估计量 ：似然函数为根据最
12、大似然估计的不变性可知，E(X)的最大似然估计量 由上可知【知识模块】 参数估计14 【正确答案】 ()又样本的二阶矩为 ()似然函数【试题解析】 待估计参数只有 ，但总体 X 的一阶原点矩 E(X)= ，故考虑总体 X 的二阶原点矩 E(X2)=【知识模块】 参数估计15 【正确答案】 () 由于 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y- 2(n)，则 DY=2n【知识模块】 参数估计16 【正确答案】 () 设 X 的概率分布为 PX=0=p0，PX=1=p 1，PX=2=p 2，由题设知 p2=(1-)2，
13、又 EX=2(1-)=0p0+1p1+2p2=p1+2p2=p1+2(1-)2，解得 p1=2(1-)-2(1-)2=2(1-)，而 p0+p1+p2=1，所以 p0=1-p1-p2=2，X 的概率分布为()应用定义求矩估计值、最大似然估计值令 =EX=2(1-)，解得 =1- ，于是 的矩估计量 ，将样本值代人得 的矩估计值为又样本值的似然函数【知识模块】 参数估计17 【正确答案】 () 直接应用公式 Eg(X)= 计算()令 =EX，其中样本 X1，X n 的似然函数为()由于 是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计的不变性得 b 的最大似然估计为【知识模块】 参数估计18
14、【正确答案】 已知 ， 的最大似然估计值分别为其中，F为 X 的分布函数由最大似然估计的不变性，得 a 的最大似然估计为 ()PX2=，由最大似然估计的不变性，知 PX2的最大似然估计为【知识模块】 参数估计19 【正确答案】 直接应用定义求解()依题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为 令 =EX= ，解得=2，于是 的矩估计量为 又样本 X1，X n 的似然函数为L()为 的单调减函数，且 0xi，即 要取大于 xi 的一切值，因此 的最小取值为 max(x1，x n)，的最大似然估计量 ()由于为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)，由 X(n
15、)=max(X1，X n)得【知识模块】 参数估计20 【正确答案】 矩估计 最大似然估计：似然函数【试题解析】 由题设知，E(X)=p， ，不难求出矩估计对最大似然估计，关键是写出似然函数由于 xi 取自总体 X，故 xi 不是取 0 就是取 1因此，Xi 的分布可表示成 ，似然函数为【知识模块】 参数估计21 【正确答案】 由 f(x；，)0 和 ，得到 0，0 且+=1于是()求最大似然估计值 由于在给定的 8 个样本值中，属(-1，0)的有 5 个，属0，1)的有3 个，故似然函数为【知识模块】 参数估计22 【正确答案】 记 EX=，DX= 2，则【知识模块】 参数估计23 【正确答
16、案】 依题意，总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=k=P(1-p)k-1，k=1 ，2， ，由于样本(k 1，k 2，k n)的似然函数 L 为L(k1，k 2，k n；p)=PX1=k1，X 2=k2，X n=kn【知识模块】 参数估计24 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x n，则似然函数显然 ，且 b-a 越小 L 值越大，但是bx i，i=1， n=bmax(xi，x n)，同理ax i，i=1，n=arain(xi，x n)，所以只有当 b=maxxi，a=minx i时，L 才达到最大值，故 a，b 的最大似然估计值分别为 ，从而可知其最大似然估计量分别是【
17、知识模块】 参数估计25 【正确答案】 因此 与 的矩估计量分别为【知识模块】 参数估计26 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是样本 X1， ，X n 的观测值，当xi0(i=1，2，n)时其似然函数为【知识模块】 参数估计27 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有 n-k只未失效”的概率记 T 的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)= ；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1-F(T0)= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为 这就是所求的似然函数取对数得【知识模块】 参数估计28 【正确答案】 记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，p)【知识模块】 参数估计
