1、ICS 03.120.30 A 41 中华人民主七/、和国国家标准GB/T 8055-2009 代替GB/T8055-1987 数据的统计处理和解释r分布(皮尔逊E型分布)的参数估计2009-10-15发布Statistical interpretation of data一Parameter estimation for gamma distribution (Pearson III distribution) 中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局中国国家标准化管理委员会2009-12-01实施发布G/T 8055-2009 目次。Ln49dA哇A吐A哇卢hUTiHH 十十十捆才j寸J寸l
2、飞/-bRM冉估估估斗缸点点间而酌的的区K.密个数数的问可制参参数区因)f同E布布参信L一一口录川川附义队分分布置到附用叫定数FF分的的胜引却和参数数rmb则性、语号布参参数数数情围范语术符分二三参参参A范规术r一是士一口占一一口1212-12录前引1231144.55.FL附GB/T 8055-2009 目。吕数据的统计处理和解释包括以下国家标准:GB/T 3359 数据的统计处理和解释统计容忍区间的确定-GB/T 3361 数据的统计处理和解释在成对观测值情形下两个均值的比较GB/T 4087 数据的统计处理和解释二项分布可靠度单侧置信下限GB/T 4088 数据的统计处理和解释二项分布参
3、数的估计与检验-GB/T 4089 数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验GB/T 4882 数据的统计处理和解释正态性检验一GB/T4883 数据的统计处理和解释正态样本离群值的判断和处理GB/T 4885 正态分布完全样本可靠度置信下限GB/T 4889 数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验GB/T 4890 数据的统计处理和解释正态分布均值和方差检验的功效一一-GB/T8055 数据的统计处理和解释F分布(皮尔逊皿型分布)的参数估计GB/T 8056 数据的统计处理和解释指数分布样本离群值的判断和处理一-GB/T6380 数据的统计处理和解释I型极值分布样本离群值的判
4、断和处理GB/T 10092 数据的统计处理和解释测试结果的多重比较GB/T 10094 正态分布分位数与变异系数的置信限本标准代替GB/T8055-1987(数据的统计处理和解释r分布(皮尔逊田型分布)的参数估计。本标准与GB/T80551987相比主要变化如下:二十一按GB/T1. 1-2000(标准化工作导则第1部分:标准的结构和编写规则的要求对标准格式进行了修订;一一在新修订的标准中删除了原标准中附录B程序与框图;-二在新修订的标准中删除了原标准中附录C三参数F分布不完全样本的点估计(适线法); 一一在新修订的标准中删除了原标准中附录D应用实例。本标准的附录A为规范性附录。本标准由全国
5、统计方法应用标准化技术委员会(SAC/TC21)提出并归口。本标准起草单位:北京工业大学、中国标准化研究院、北京大学。本标准主要起草人:薛留根、丁文兴、于振凡、马月红、谢田法、房祥忠。本标准所代替标准的历次版本发布情况为:二-GB/T8055-19870 I GB/T 8055-2009 引O. 1 本标准适用于观测值服从F分布的情况。在使用本标准之前，需要判断或检验观测值是否服从F分布。传统的经验判断方法是直方图法;常用的统计检验方法是2拟合优度检验。这两种方法可以在数理统计教科书中查到。0.2 本标准规定了根据观测值估计F分布参数的方法。对于二参数F分布的点估计，采用的估计方法有矩估计法和
6、极大似然估计法。矩估计法是求参数点估计的常用方法之一。因该方法简便易行，且估计量有很好的小样本和大样本性质，故使用普遍。极大似然估计法是求参数点估计的另一常用方法，它能充分利用分布的信息，估计更为精确。本标准中给出了极大似然估计的两种求解方法:近似公式法和牛顿迭代法。0.3 对三参数F分布，本标准采用适线法给出了其参数的点估计。0.4 为了得到参数的估计精度，人们往往还需要计算参数的置信区间。本标准给出了二参数F分布中有关参数的置信区间。H G/T 8055-2009 数据的统计处理和解释F分布(皮尔逊E型分布)的参数估计1 范围本标准规定了根据观测值估计F分布参数的方法。本标准适用于r分布总
7、体的参数估计;对测量、测试、调查得到的数据，若经理论分析、经验判断或统计检验后，可合理地认为其来自r分布总体，才可按本标准确定r分布参数的点估计和区间估计。2 规范性引用文件下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。凡是注日期的引用文件，其随后所有的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本标准，然而，鼓励根据本标准达成协议的各方研究是否可使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件，其最新版本适用于本标准。GB/T 3358. 1 统计学词汇及符号第1部分:一般统计术语与用于概率的术语CGB/T3358.1 2009 ,ISO 3534-1: 2006 , IDT) GB/T
8、 3358. 2 统计学词汇及符号第2部分:应用统计CGB/T3358. 2一2009，ISO3534-2: 2006 , IDT) GB/T 4086. 1 统计分布数值表正态分布GB/T 4086.2 统计分布数值表2分布3 术语、定义和符号3. 1 术语和定义GB/T 3358.1和GB/T3358.2确立的以及下列术语和定义适用于本标准。3. 1. 1 偏度系数coefficient of skewness 总体的三阶中心矩与标准差的立方之比。Cs = E X-ECX)3/ (E X-ECX)2)3 3. 1. 2 样本几何均值geometric mean of sample n个观测
9、值乘积的主次幕。n 二二(IIXi)-; ;=1 3. 1.3 v函数V-function r函数的导数与F函数之比。!-,. drCm) I r./ , l C m) = r C m ) / r C m) (或1玩一/rCm)3. 1. 4 置信区间confidence interval 参数。的区间估计CToT1) ，其中作为区间限的统计量To，T1，满足PTo，x 0 f(x;m，b)二斗bmr(m)l 0 , x 0 其中形状参数mO，尺度参数bOo4. 1. 2 矩估计(n10) 实施步骤:a) 计算样本均值王二士尘Xi. ( 1 ) b) 计算样本方差nmL . ( 2 ) c)
10、计算m的矩估计7;z=玉2/:/. ( 3 ) d) 计算b的矩估计L二S2/二; ( 1: ) 4. 1. 3 极大似然估计(n0) 求极大似然估计的常用方法有两种:近似公式法和牛顿迭代法，其中近似公式法给出的极大似然估计计算误差可达104;牛顿迭代法可给出更高的计算精度。实际工作中可根据需要选用其中之一。4. 1. 3. 1 近似公式法实施步骤:a) 计算统计量H二ln.r- ln.r ( 5 ) 其中z是样本几何均值。b) 计算m的极大似然估计当O时返回式(12)继续迭代;e) 计算b的极大似然估计b二x/m( 14 ) 4.2 三参数r分布参数的点估计4.2. 1 三参数r分布的密度函
11、数三参数r分布的密度函数是:(x- a)m-I 一早 f(x;m，b，a)二bm r (m) e 0 , x? a l 0 , x 其中形状参数mO，尺度参数bO，是位置参数。4.2.2 三参数r分布中参数m.b.a与期望、变异系数Cv及偏度系数已的关系m、b、与、Cv及C.的关系如下:十忖MGJ44 CC ill-L. ( 15 ) . ( 16 ) . ( 17 ) 即(m = 4/C ?b=/2 a(1-2CjC.) 飞/飞/飞/890 1i1inL f飞/飞rk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3
12、 适线法(n二三20)实施步骤:a) 样本从小到大排列成工(1)三三X(2)三三x(n) b)计算户zPi二一王一(i二1，2，n)n+1 . ( 21 ) c) 计算士ZZZ. ( 22 ) d) 计算Cv和C.的初始值C讪和CC讪二s/x( 23 ) 3 GB/T 8055-2009 C=2马c讪/(玉-X(l)(24 ) d 查附录A的表A.1，由C们户z查得对应的i(i= 1，2，的。f) 计算X(户;) X(户i)二(c讪我十1). ( 25 ) g) 计算目标函数值Q二2:IX(n叶1)-X(丸)1. ( 26 ) ;=1 h) 用模型搜索法逐步求出使Q达到最小的c;。i) 取豆二
13、五，=CJ，ts=2豆c;/ (豆-X (l) ，将豆、tu和ts代人式(l8)式(20)即可求得参数m、b、的估计。5 二参数r分布参数的区间估计对观测值工1，xz，Xn和给定的置信水平1一，本章给出二参数F分布参数m和b的双侧置信区间。5. 1 参数m的置信区间(m1) 实施步骤:a) 计算统计量H二1nx-1m:;( 27 ) 据GB/T4086.2中的扩分布分位数表，查得对-2何一1)和注何一1)，记gl二XLi-(n -1 ) ,g 2 -%-(n-1) c) 计算m的置信下限mL = (3gz十J9g+ 12 (n十1) g z H ) / ( 12 nH ). ( 28 ) d)
14、 计算m的置信上限mu = (3g1十d去丰12(n + 1 ) g 1 H ) / ( 12 nH ) . . . . ( 29 ) 5.2 参数b的置信区间5.2.1 m己知，且2nm250的情形实施步骤:a) 查GB/T4086.2中的2分布分位数表:若2nm为整数，则直接查Lf(2nm)和拉(2nm); 否则，查xi-f (272771)二Lf(2nm J)+ (2nm -2nm J). Lf(2nmJ十1) -XLf ( 2 n m J ) J X (2nm)=3(2nm)+(2nm一2nmJ).主(2n m J + 1 ) -x ( 2 n m J ) J 注:2nmJ表示2nm的
15、整数部分。b) 计算b的置信下限bL = 2nx /Lf (2nm) c) 计算b的置信上限bu二2町/注(2nm)5.2.2 m己知，且2nm250的情形实施步骤:4 a) 查GB/T4086. 1中的正态分布分位数表，得Ul-f吨。计算:Zl-f = .j4玩玩Xu1-f十2nm. ( 30 ) . ( 31 ) . ( 32 ) G/T 8055-2009 zf=d玩弄XUf +2nm . ( 33 ) b) 计算b的置信下限bL二2nx/ZI-f . ( 34 ) c) 计算b的置信上限bu = 2nx/Zf . ( 35 ) 5.2.3 m未知的情形当m未知时，可先求得m的点估计值，
16、再利用5.2.1或5.2.2求得b的区间估计。5 GB/T 8055-2009 附录A(规范性附录)密度函数图A.l 三参数r分布密度函数图(见图A.l)若随机变量X的密度函数形如(x-a)m 1早一_;_ _ _:_ e b. x. a f(x;m，b，)二斗bmr(m) l 0 , x 其中mO，bO，一 C只二，-回口川、二4z c、二:鸣。俨00c、V3二B营=、:-2 c咱c、可=a 4 c建c、2Z二ie飞=、c歹23 、o = 二2 = = = = 二= = = o C二= = = = = = = o、00 = = -oc、司二, CCCRVV3 3 咱c可二vt4 3 CCCV
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24、9 . 、-叶 0、0 c乓XK2D3 4 c、口 = 一Lr丁，C C良V心3 一p电咛a-食:=:、- 、3 这X二=3龟龟电.c=3, ._、;电咱乓哥苟4噜 咱哥二俨C电.，.，CecvvV3 t3 = : = = = = = = = .,., c、司 = = = = = = = = = = = e- 、d司c、2-3 4 口 = 0 00 .,., ._ -=俨 龟U飞.0;:且f、;、cg=2 电电唁咛才俨 略=吃=俨 tCCVZVD t3 .,., c、23 -o = 二= = = c、3 cv E、- 一飞c4，、.,., 咱2=哥，、4 ccC、=2 43 电飞乓t俨; c、
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