1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -完全平方式的背景（带解析） 选择题 如果关于 x的二次三项式 x2mx+16是一个完全平方式，那么 m的值是（ ） A 8或 -8 B 8 C -8 D无法确定 答案： A 试题分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可 解： x2mx+16是一个完全平方式， mx=24 x， 解得 m=8 故选 A 考点：完全平方公式 点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2倍的符号，避免漏解 若 4a2+kab+9b2是完全平方式，则常数 k的值为（ ） A 6 B 12 C
2、6 D 12 答案： D 试题分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 k的值 解： 4a2+kab+9b2=（ 2a） 2+kab+（ 3b） 2， kab=2 2a 3b， 解得 k=12 故选 D 考点：完全平方式 点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要 若 ，则 a， b的值分别为（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： A 试题分析：将原式配成两个完全平方式，从而根据完全平方的非负性即可得出答案： 解：原式可化为：（ a+b） 2+（ b ） 2=0， 故可得： a=b，
3、b= 故选 A 考点：完全平方式；非负数的性质：偶次方 5 点评：本题考查完全平方式的知识，比较简单，关键是将式子配方后运用非负性解答 已知 4x2+4mx+36是完全平方式，则 m的值为（ ） A 2 B 2 C -6 D 6 答案： D 试题分析：这里首末两项是 2x和 6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 2x和 6积的 2倍 解： （ 2x6） 2=4x224x+36， 4mx=24x， 即 4m=24， m=6 故选 D 考点：完全平方式 点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2倍的符号，避免漏解 现有纸片：
4、1张边长为 a的正方形， 2张边长为 b的正方形， 3张宽为 a、长为 b的长方形，用这 6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（ ） A a+b B a+2b C 2a+b D无法确定 答案： B 试题分析：此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是 a2+3ab+2b2，再把 a2+3ab+2b2因式分解，即可求出该长方形的长 解：根据题意得： a2+3ab+2b2=（ a+b）（ a+2b）， 所以可以拼成 （ a+2b）（ a+b）的长方形， 该长方形的长为 a+2b 故选 B 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来
5、理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合 已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ） A a2 B a2+b2 C a2+2ab+b2 D a2+ab+b2 答案： C 试题分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长然后利用完全平方公式计算即可 解：图中的正方形的边长为 a+b， 最大的正方形的面积等于 =（ a+b） 2=a2+2ab+b2 故选 C 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题利用了完全平方公式求解 如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是 a2， ab， b2，则原正方形的边长是（ ） A a2+b2 B a+b C ab D a2b2 答案： B 试题分析：四部
6、分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长 解： a2+2ab+b2=（ a+b） 2， 边长为 a+b 故选 B 考点：完全平方公式的几何背景 510329 点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，通过图形验证了完全平方公式，难易程度适中 填空题 一个完全平方式为 a2+9b2，但有一项不慎被污染了，这一项应是 _ 答案： 6ab 试题分析：根据两数的平方和加上或减去两数积的 2倍，等于两数和或差的平方，即可求出所求的项 解： a26ab+9b2=（ a3b） 2， 污染的项是 6ab 故答案：为： 6ab 考点：完全平方式 点评：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本
7、题的关键 某同学做作业时，不慎将墨水滴在了数学题上，如 “x2 x+9”，看不清 x前面是什么数字，只知道它是一个关于 x的完全平方式，那么被墨水遮住的数字是 _ 答案： 6 试题分析：根据两数的平方和加上或减去两数积的 2 倍等于两数和或差的平方，即可确定出遮住的数字 解： x26x+9=（ x3） 2， 遮住的数字为 6 故答案：为： 6 考点：完全平方 式 点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 已知 4y2+my+9是完全平方式，则代数式 m2+2m+1的值为 _ 答案：或 121 试题分析：在完全平方式 4y2+my+9中，首末两项是 2y和 3这两个数的平
8、方，那么中间一项为加上或减去 2y和 3积的 2倍，故 m=12，所以代数式m2+2m+1的值为两种情况 解：由于（ 2y3） 2=4y212y+9=4y2+my+9， m=12 当 m=12时， m2+2m+1=144+24+1=169； 当 m=12时， m2+2m+1=14424+1=121 故本题答案：为： 169或 121 考点：完全平方式 点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2倍的符号，避免漏解 若多项式 9x2+mx+16是完全平方展开式，则 m= _ 答案： 24 试题分析：完全平方公式：（ ab） 2=a2
9、2ab+b2，这里首末两项 3x和 4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 3x和 4积的 2倍，故 m=24 解：中间一项为加上或减去 3x和 4积的 2倍， 故 m=24 故填 24 考点：完全平方式 点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2倍的符号，避免漏解 用简便方法计算： 2001240022000+20002= _ 答案： 试题分析：观察可得原式可整理得： 20012220012000+20002， 2001和 2000两数的平方和减去他们它们乘积的 2倍，符合完全平方公式结构特征，因此可应用完全平方公式进行计
10、算 解： 20012220012000+20002， =（ 20012000） 2， =12， =1 考点：完全平方式 点评：本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，当所求的式子有三项时，应考虑运用完全平方公式进行求值 已知 m， n是正整数，代数式 x2+mx+（ 10+n）是一个完全平方式，则 n的最小值是 _ ，此时 m的值是 _ 答案： 8 ， 6 试题分析：由题意可以得知 10+n是完全平方数，且 n是正整数，可以得出大于10的最小完全平方数是 16，从而可以求出 n值，进而根据完全平方式的性质可以求出 m的值 解： 代数式 x2+mx+（ 10+n）是一个完全平方式， 10+n是完全
11、平方数， m， n是正整数，且大于 10的最小完全平方数是 16， 10+n=16， n=6 由完全平方式的性质可以得出： mx=8x， m=8 故答案：为： 8 ， 6 考点：完全平方式 点评：本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2倍的符号，避免漏解 填上适当的数或代数式，使等式成立： x2+ _ =（ x+ _ ） 2 答案： y2； y 试题分析：先根 据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可 解： xy=2 xy， 另一个数是 y， x2+ xy+ y2=（ x+ y） 2 故答案：为： y2
12、； y 考点：完全平方式 点评：本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要 若 是一个完全平方式，则 k= _ 答案： 试题分析：先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，然后把另一个数平方即可得解 解： x2+ x+k=x2+2x +k， k=（ ） 2= 故答案：为： 考点：完全平方式 点评：本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式例如图 1可以用来解释 a2
13、b2=（ a+b）（ ab）那么通过图 2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是 _ 答案：（ a+b） 2（ ab） 2=4ab 试题分析：此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法一种可以是大正方形的面积减去小正方形的面积，还可以表示成 4个小长方形的面积；由面积相等，可得等式（ a+b） 2（ ab） 2=4ab 解：由图 ，可知： 大正方形的面积为：（ a+b） 2，小正方形的面积为（ ab） 2， 阴影部分的面积为：（ a+b） 2（ ab） 2， 阴影部分的面积还可表示为： 4ab， （ a+b） 2（ ab） 2=4ab 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题考查了完全平
14、方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不 同的方法表示同一图形的面积 如图，甲类纸片是边长为 2的正方形，乙类纸片是边长为 1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是 2和 1的长方形现有甲类纸片 1张，乙类纸片 4张，则应至少取丙类纸片 _张才能用它们拼成一个新的正方形 答案： 试题分析：根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定 解：甲类纸片 1张，乙类纸片 4张，总面积是 4+4=8，大于 8的完全平方数依次是 9， 16， 25 ，而丙的面积是 2，因而不可能是 9； 当总面积是 16时，取的丙纸片的总面积是 8，因而是 4张 因而应至少取丙类
15、纸片 4张才能用它们拼成一个新的正方形 故答案：为： 4 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确理解新正方形的面积是完全平方数是解题的关键 若 x4+y4+m是一个完全平方式，则整式 m为 _ 答案： 2x2y2 试题分析：根据完全平方公式 a22ab+b2，先找出 a b 的值，求出 m=2ab 即可 解： x4+y4+m是一个完全平方式， （ x2） 2+m+（ y2） 2， m=2x2y2 故答案：为： 2x2y2 考点：完全平方式 点评：本题考查了对完全平方公式的理解和掌握，能熟练地运用公式进行求值是解此题的关键 若 x2+2kx+ 是一个关于
16、x的完全平方式，则常数 k= _ 答案： 试题分析：根据完全平方公式（ ab） 2=a22ab+b2得出 2k=21 ，求出即可 解： x2+2kx+ 是一个关于 x的完全平方式， 2k=21 =1， k= 故答案：为： 考点：完全平方式 点评：本题主要考查对完全平方公式的理解，得出 2k=21 是解此题的关键 已知长方形的周长为 36cm，它的面积为 45cm2，则长方形的长比宽多 _ cm 答案： 试题分析：可根据长和宽的和的平方以及长和宽的积得到长和宽的差的平方，开方求算术平方根即可 解：设长方形的长为 xcm，宽为 ycm， x+y=362=18； xy=45， （ xy） 2=（ x
17、+y） 24xy， （ xy） 2=144， x y， xy=12 故答案：为： 12 考点：完全平方式 点评：考查完全平方式的应用；用两个数和的平方表示出这两个数差的平方是解决本题的关键 解答题 当 a=3， b=1，时，分别求代数式（ ab） 2与 a22ab+b2的值，并比较计算结果；你有什么发现？利用你发现的结果计算： 20122220122011+20112 答案： 试题分析：把 a、 b的值代入进行计算即可； 根据发现的结果，整理求解即可 解：当 a=3， b=1时，（ ab） 2=（ 31） 2=16， a22ab+b2=（ 3） 22（ 3） 1+12=9+6+1=16， （
18、ab） 2=a22ab+b2； 根据结果， 20122220122011+20112=（ 20122011） 2=1 考点：完全平方式；代数式求值 点评：本题主要考查了完全平方式，代数式求值，代入数据进行计算即可，是基础题，比较简单 试说明：（ a2+3a）（ a2+3a+2） +1是一个完全平方式 答案：把 a2+3a看成整体，先利用单项式和多项式的乘法法则展开，再写成完全平方公式的形式即可 试题分析：把 a2+3a看成整体，先利用单项式和多项式的乘法法则展开，再写成完全平方公式的形式即可 证明：（ a2+3a）（ a2+3a+2） +1， =（ a2+3a） 2+2（ a2+3a） +1，
19、 =（ a2+3a+1） 2， （ a2+3a）（ a2+3a+2） +1是一个完全平方式 考点：完全平方式 点评：本题主要考查了完全平方公式的运用，整体思想使求解更加简便，把a2+3a看成整体是关键 如果 a22（ k1） ab+9b2是一个完全平方式，那么 k= _ 答案：或 2 试题分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 k的值 解： a22（ k1） ab+9b2=a22（ k1） ab+（ 3b） 2， 2（ k1） ab=2a3b， k1=3或 k1=3， 解得 k=4或 k=2 即 k=4或 2 故答案：为： 4或 2 考点：完全平方式 点评：
20、本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要 如图 1，是一个长为 2m、宽为 2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图 2的形状拼成一个正方形 （ 1）图 2中阴影部分的面积为 （ mn） 2 ； （ 2）观察图 2，请你写出三个代数式（ m+n） 2、（ mn） 2、 mn之间的等量关系式： （ mn） 2+4mn=（ m+n） 2 ； （ 3）根据（ 2）中的结论，若 x+y=6， xy=2.75，则 xy= 5 （ 4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图 3，它表示了（ 2m+n）（ m+n） =2
21、m2+3mn+n2试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ m+n）（ m+3n） =m2+4mn+3n2 答案：（ 1）（ mn） 2 （ 2）（ mn） 2+4mn=（ m+n） 2 （ 3） 5 （ 4）答案：不唯一 试题分析：（ 1）可直接用正方形的面积公式得到 （ 2）数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别 （ 3）此题可参照第二题 （ 4）可参照图 3进行画图 解：（ 1）（ mn） 2（ 3分） （ 2）（ mn） 2+4mn=（ m+n） 2（ 3分） （ 3） 5 （ 3分） （ 4）答案：不唯一：（ 4分） 例如： 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题考查了完全平方公式
22、的背景知识，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式 观察如图图形由左到右的变化，计算阴影部分的面积，并用面积的不同表达形式写出相应的代数恒等式 答案：（ a+b） 2（ ab） 2=4ab 试题分析：利用面积分别写出两个图形的阴影部分的面积，然后根据两个图形的面积相等 写出恒等式即可 解：左边图形的阴影部分面积为： （ a+b） 2（ ab） 2， 右边图形的阴影部分面积为： a4b=4ab， 根据两图形的阴影部分面积相等可得，（ a+b） 2（ ab） 2=4ab 故答案：为：（ a+b） 2（ ab） 2=4ab 考点：完全平方公式的几
23、何背景 点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据面积相等求解是此类题目最常用的求解方法，一定要熟练掌握 图 是一个长为 2a，宽为 2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形 （ 1）图 中阴影部分的 正方形的边长是 _ ； （ 2）请用两种不同的方法求图 2中阴影部分的面积： 方法 1： _ ； 方法 2： _ ； （ 3）观察图 ，请你写出（ a+b） 2、（ ab） 2、 ab之间的等量关系是 _ ； （ 4）根据（ 3）中的等量关系解决如下问题：若 mn=5， mn=3，则（ m+n） 2的值为多少？ 答案：（ 1） ab （ 2）（ a+b）
24、 24ab，（ ab） 2 （ 3）（ a+b） 24ab=（ ab） 2 （ 4） 37 试题分析：（ 1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可； （ 2） 从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积； 从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积； （ 3）把已知条件代入进行计算即可求解 解：（ 1）阴影部分的正方形的边长是： ab； （ 2）方法 1：大正方形的面积减去四个小矩形的面积：（ a+b） 24ab， 方法 2：阴影小正方形的面积：（ ab） 2； （ 3）（ a+b） 24ab=（ ab） 2； （
25、 4）根据（ 3）的关系式，（ m+n） 2=（ mn） 2+4mn， mn=5， mn=3， （ m+n） 2=（ 5） 2+43=25+12=37 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，以及两个公式之间的关系，从整体与局部两种情况分析并写出面积的表达式是解题的关键 通常，我们把长方形和正方形统称为矩形如图 1，是一个长为 2a，宽为2b的矩形 ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为 4块小长方形，然后按照图 2的形状拼成一个正方形 MNPQ （ 1）分别从整体和局部的角度出发，计算图 2中阴影部分的面积，可以得到等式 _ （ 2）仔细观察长方形 ABC
26、D与正方形 MNPQ，可以发现它们的 _ 相同， _ 不同（选填 “周长 ”或 “面积 ”） （ 3）根据上述发现，猜想结论：用总长为 36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是 _ 米 2 答案：（ 1）（ a+b） 2（ ab） 2=4ab；（ 2）周长，面积；（ 3） 81 试题分析：（ 1）整体上求出内部的小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是阴影部分 的面积，从局部考虑，求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积； （ 2）从图 2的面积比图 1的面积大里面小正方形的面积考虑； （ 3）根据（ 2）的结论，周长相等的
27、情况下，正方形的面积比矩形的面积大，所以围成的正方形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可 解：（ 1）整体考虑：里面小正方形的边长为 ab， 阴影部分的面积 =（ a+b） 2（ ab） 2， 局部考虑：阴影部分的面积 =4ab， （ a+b） 2（ ab） 2=4ab； （ 2）图 1周长为： 2（ 2a+2b） =4a+4b， 面积为： 4ab， 图 2周长为： 4（ a+b） =4a+4b， 面积为（ a+b） 2=4ab+（ ab） 24ab， 当且仅当 a=b时取等号； 周长相同，面积不相同； （ 3）根据（ 2）的结论，围成正方形时面积最大， 此时，边长为 364=9米， 面积
28、=92=81米 2 故答案：为：（ 1）（ a+b） 2（ ab） 2=4ab；（ 2）周长，面积；（ 3） 81 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，结合图形的特点，根据面积找出里面的规律是解题的关键 小刚同学动手剪了如图 所示的正方形与长方形纸片若干张观察与操作： （ 1）他拼成如图 所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到： a2+2ab+b2=（ a+b） 2，验证了完全平方公式；即：多项式 a2+2ab+b2分解因式后，其结果表示正方形的长（ a+b）与宽（ a+b）两个整式的积 （ 2）当他拼成如图 所示的矩形，由面积相等又得
29、到： a2+3ab+2b2=（ a+2b）（ a+b），即：多项式 a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长（ a+2b）与宽（ a+b）两个整式的积 问题解决： （ 1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式 a2+4ab+3b2 （画图说明，并写出其结果） （ 2）试猜想面积是 2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果） 答案：（ 1）（ 2）图见 试题分析：（ 1）先将 a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形 （ 2）将 2a2+5ab+3b2然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形 解： a2+4a
30、b+3b2=（ a+b）（ a+3b）， 图形如下： （ 2） 2a2+5ab+3b2的 =（ a+b）（ 2a+3b），所画图形如下： 考点：完全平方公式的几何背景 点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解 多项式 x2+1加上一个整式后是含 x的二项式的完全平方式 例题： x2+1+ _ =（ x+1） 2 （ 1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含 x的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）： x2+1+ _ =（ x1） 2； x2+1+ _ =（ x2+1） 2 （ 2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个
31、含 x的二项式的完全平方式 x2+1+ _ =（ x2+1） 2 答案： x； 2x； x4； x4+x2 试题分析：把等式右边根据完全平方公式展开即可求解完全平方公式（ ab）2=a22ab+b2 解：例题 （ x+1） 2=x2+2x+1， 应填入 2x； （ 1） （ x1） 2=x22x+1， 应填入 2x； （ x2+1） 2= x4+x2+1， 应填入 x4； （ 2） （ x2+1） 2=x4+2x2+1=x4+x2+x2+1， 应填入的多项式是 x4+x2 故应填： 2x； 2x； x4； x4+x2 考点：完全平方式 点评：本题考查了完全平方式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式并会逆用是求解的关键
