1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -点的坐标与待定系数法求函数（带解析） 选择题 点（ 1， y1），（ 2， y2），（ 3， y3）均在函数 的图象上，则 y1， y2，y3的大小关系是（ ） A y3 y2 y1 B y2 y3 y1 C y1 y2 y3 D y1 y3 y2 答案： D 试题分析：先根据反比例函数的式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答 函数 中 k=6 0， 此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内 y随 x的增大而减小， 1 0， 点（ 1， y1）在第三象限， y1 0， 0 2 3， （
2、 2， y2），（ 3， y3）在第一象限， y2 y3 0， y2 y3 y1 故选 D 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键 点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）都是反比例函数 的图象上，若 x1 x2 0 x3，则 y1， y2， y3的大小关系是（ ） A y3 y1 y2 B y1 y2 y3 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 答案： A 试题分析：先根据反比例函数 中 k的符号判断出此函数图象所在象限，再根据 x1 x2 0 x3判断出 y1，
3、 y2， y3的大小关系即可 解： 反比例函数 中， k=3 0， 此函数图象在二四象限，且在每一象限内 y随 x的增大而增大， x1 x2 0 x3， y3 0， y3 0 y1 y2， y3 y1 y2 故选 A 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据函数式判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键 如图，矩形 ABCD的对角线 BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C在反比例函数 y= 的图象上，若点 A的坐标为（ 2， 3），则 k的值为（ ） A 1 B 5 C 4 D 1或 5 答案： D 试题分析： 根据矩形的对角线将矩形
4、分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出 S 四边形 CEOF=S 四边形 HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出 k2+4k+1=6，再解出 k的值即可 解：如图： 四边形 ABCD、 HBEO、 OECF、 GOFD为矩形， 又 BO 为四边形 HBEO 的对角线， OD为四边形 OGDF的对角线， S BEO=S BHO， S OFD=S OGD， S CBD=S ADB， S CBDS BEOS OFD=S ADBS BHOS OGD， S 四边形 CEOF=S 四边形 HAGO=23=6， xy=k2+4k+1=6， 解得， k=1或 k=
5、5 故选 D 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质 点评：本题考查了反比例函数 k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出 S 四边形 CEOF=S 四边形 HAGO 如图：等腰直角三角形 ABC位于第一象限， AB=AC=2，直角顶点 A在直线 y=x上，其中 A点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、 AC 分别平行于 x轴、y轴，若双曲线 y= （ k0）与 ABC有交点，则 k的取值范围是（ ） A 1 k 2 B 1k3 C 1k4 D 1k 4 答案： C 试题分析：先根据题意求出 A点的坐标，再根据 AB=AC=2， AB、 AC 分别平行于 x轴、 y
6、轴求出 B、 C 两点的坐标，再根据双曲线 y= （ k0）分别经过 A、B两点时 k的取值范围即可 解：点 A 在直线 y=x上，其中 A 点的横坐标为 1，则把 x=1 代入 y=x解得 y=1，则 A的坐标是（ 1， 1）， AB=AC=2， B点的坐标是（ 3， 1）， BC 的中点坐标为（ 2， 2） 当双曲线 y= 经过点（ 1， 1）时， k=1； 当双曲线 y= 经过点（ 2， 2）时， k=4， 因而 1k4 故选 C 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形 点评：本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标 已知：多项式 x2kx+1是一个完全平方式，则反
7、比例函数 y= 的式为（ ） A y= B y= C y= 或 y= D y= 或 y= 答案： C 试题分析：首先根据完全平方式的特点算出 k的值，再把 k的值代入反比例函数 y= 的式中可得答案： 解： 多项式 x2kx+1是一个完全平方式， k=2， 把 k=2分别代入反比例函数 y= 的式得： y= 或 y= ， 故选： C 考点：待定系数法求反比例函数式；完全平方式 点评：此题主要考查了完全平方公式，以及待定系数法求反比例函数式，关键是根据完全平方公式 a22ab+b2=（ ab） 2算出 k的值 如图，矩形 ABCD的对角线 BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C在反比
8、例函数 的图象上若点 A的坐标为（ 2， 2），则 k的值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 1或 3 答案： D 试题分析：设 C（ x， y）根据矩形的性质、点 A的坐标分别求出 B（ 2，y）、 D（ x， 2）；根据 “矩形 ABCD的对角线 BD经过坐标原点 ”及直线 AB的几何意义求得 xy=4 ，又点 C在反比例函数 的图象上，所以将点C 的坐标代入其中求得 xy=k2+2k+1 ；联立 解关于 k 的一元二次方程即可 解：设 C（ x， y） 四边形 ABCD是矩形，点 A的坐标为（ 2， 2）， B（ 2， y）、 D（ x， 2）； 矩形 ABCD的对角线 BD经过坐标原
9、点， 设直线 BD的函数关系式为： y=kx， B（ 2， y）、 D（ x， 2）， k= ， k= ， = ，即 xy=4； 又 点 C在反比例函数 的图象上， xy=k2+2k+1， 由 ，得 k2+2k3=0，即（ k1）（ k+3） =0， k=1或 k=3， 则 k=1或 k=3 故选 D 考点：待定系数法求反比例函数式；矩形的性质 点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数式、矩形的性质解答此题的难点是根据 C（ x， y）求得 B、 D两点的坐标，然后根据三角形相似列出方程= ，即 xy=4 两个反比例函数 的图象在第一象限，第二象限如图，点 P1、 P2、P3P 2010 在
10、 的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列 1， 3， 5，7， 9， 11， ，过点 P1、 P2、 P3、 、 P2010分别作 x轴的平行线，与 的图象交点依次是 Q1、 Q2、 Q3、 、 Q2010，则点 Q2010的横坐标是 答案： 8038 试题分析：根据 P2010和 Q2010的纵坐标相同找出排列规律，代入反比例函数的式即可 解：根据题意，因为 P2010Q2010 X轴，所以 P2010和 Q2010的纵坐标相同 根据数列 1， 3， 5， 7， 9， 11， ，的排列规律，得第 2010个数为220101=4019， 代入 y= 得， y= ， 代入 y= ，得
11、= ， x=8038 故答案：为： 8038 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：数字的变化类 点评：考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题将规律探索和求点的坐标结合起来，而且解答时要抓住问题的关键：两反比 例函数中， Pn和 Qn纵坐标相等 填空题 如图，矩形 ABCD的一边 AD在 x轴上，对角线 AC、 BD交于点 E，过 B点的双曲线 恰好经过点 E， AB=4， AD=2，则 K 的值是 答案： 试题分析：设 OA=a，由此可得出 B、 E的坐标，将这两点坐标代入双曲线然后联立解答可得到 k和 a的值 解：设 OA=a，则 A点坐标为（ a， 4）， E（ a+1， 2）
12、将这两点坐标代入双曲线联立得： 解得： 可得 k的值为 4 故答案：为 4 考点：矩形的性质；待定系数法求反比例函数式 点评：本题考查了矩形的性质又结合了待定系数法求反比例函数式，综合性较强，同学们要细心的求答 已知反比例函数 的图象上有两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），且 x1 x2 0，则 y1y2 0（填写 “ ”或 “ ”） 答案： 试题分析：首先根据反比例函数 y= （ k 0），以及 x1 x2 0，得出 y1 y2，确定 y1y2的符号 解： 反比例函数 的图象上有两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），且x1 x2 0， y1 y2，即 y1y2
13、0， 故答案：为： 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的增减性，解决此题的关键是确定 x1， x2的符号 若点（ 2， y1）、（ 1， y2）、（ 1， y3）都在反比例函数 的图象上，则用 “ ”连接 y1、 y2、 y3得 答案： y2 y1 y3 试题分析：分别把各点的坐标代入反比例函数式，得到函数值，比较相应的函数值大小即可 解： 点（ 2， y1）、（ 1， y2）、（ 1， y3）都在反比例函数 的图象上， y1=0.5， y2=1， y3=1， y2 y1 y3， 故答案：为 y2 y1 y3 考点：反比例函数图象
14、上点的坐标特征 点评：考查反比例函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：在反比例函数式上的点的横纵坐标，适合该函数式；关键是求得相应的函数值 如图，正方形 A1B1P1P2 的顶点 P1、 P2 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，顶点 A1、 B1分别在 x轴和 y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，顶点 A2在 x轴的正半轴上，则 P2点的坐标为 _ ， P3的坐标为 _ 答案：（ 2， 1） （ +1， 1） 试题分析：作 P1C y轴于 C， P2D x轴于 D， P3E x轴于 E， P3F P2D于 F，设
15、P1（ a， ），则 CP1=a， OC= ，易得 Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P2D，则 OB1=P1C=A1D=a，所以 OA1=B1C=P2D= a，则 P2的坐标为（ ， a），然后把 P2的坐标代入反比例函数 y= ，得到 a的方程，解方程求出 a，得到 P2的坐标；设 P3的坐标为（ b， ），易得 Rt P2P3F Rt A2P3E，则P3E=P3F=DE= ，通过 OE=OD+DE=2+ =b，这样得到关于 b的方程，解方程求出 b，得到 P3的坐标 解：作 P1C y轴于 C， P2D x轴于 D， P3E x轴于 E， P3F P2D于 F，如图， 设 P
16、1（ a， ），则 CP1=a， OC= ， 四边形 A1B1P1P2为正方形， Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P2D， OB1=P1C=A1D=a， OA1=B1C=P2D= a， OD=a+ a= ， P2的坐标为（ ， a）， 把 P2 的坐标代入 y= （ x 0），得到（ a） =2，解得 a=1（舍）或 a=1， P2（ 2， 1）， 设 P3的坐标为（ b， ）， 又 四边形 P2P3A2B2为正方形， P2P3=P3A2， P3EA2= P2FP2， Rt P2P3F Rt A2P3E， P3E=P3F=DE= ， OE=OD+DE=2+ ， 2+ =b，解得
17、b=1 （舍）， b=1+ ， = = 1， 点 P3的坐标为 （ +1， 1） 故答案：为：（ 2， 1），（ +1， 1） 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法 已知反比例函数 y= ，若 x1 x2，其对应值 y1， y2的大小关系是 答案： y1 y2或 y1 y2 试题分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内和不在同一象限内函数的增减性，进而可得 y1与 y2的大小 解： 比例系数为 1， 图象的两个分支在一、三象限； 若两点不在
18、同一象限， x1 0 x2， 第三象限的点总小于第一象限的点， y1 y2； 若两点在同一象限， y随 x的增大而减小， y1 y2； 故答案：为： y1 y2或 y1 y2 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 点评：考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于 0，图象的 2个分支在一、三象限；第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标；在同一象限内， y随 x的增大而减小 解答题 如图，已知一次函数 y1=x+m（ m为常数）的图象与反比例函数 （ k为常数， k0）的图象相交于点 A（ 1， 3） （ 1）求这两个函数的式及其图象的另一交点 B的坐标； （
19、 2）点 C（ a， b）在反比例函数 的图象上，求当 1a3时， b的取值范围； （ 3）观察图象，写出使函数值 y1y2的自变量 x的取值范围 答案：（ 1） y2= B（ 3， 1） （ 2） 1b3 （ 3） x1或 3x 0 试题分析：（ 1）利用待定系数法把 A（ 1， 3）代入一次函数 y1=x+m与反比例函数 中，可解出 m、 k的值，进而可得式，求 B点坐标，就是把两函数式联立，求出 x、 y的值； （ 2）根据反比例函数的性质可知， ab=k=3，代入 a的取值范围即可求出 b的取值范围； （ 3）根据函数图象可以直接写出答案 ： 解：（ 1） 一次函数 y1=x+m（ m
20、为常数）的图象与反比例函数 （ k为常数， k0）的图象相交于点 A（ 1， 3）， 3=1+m， k=13， m=2， k=3， 一次函数式为： y1=x+2， 反比例函数式为： y2= ， 由 ， 解得： x1=3， x2=1， 当 x1=3时， y1=1， x2=1时， y1=3， 两个函数的交点坐标是：（ 3， 1）（ 1， 3） B（ 3， 1）； （ 2） C（ a， b）在反比例函数 y2= 的图象上， ab=3， 1a3， 1b3； （ 3）根据图象得：函数值 y1y2的自变量 x的取值范围是： x1或 3x 0 考点：待定系数法求反比例函数式；待定系数法求一次函数式；一次函数
21、与一元一次不等式；反比例函数的性质 点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数式以及数形结合求自变量的取值范围，熟练利用图象得出答案：是解题关键 已知 y=y1y2，且 y1与 x的算术平方根成正比例， y2与 x的平方成反比例，当 x=1时， y=0； x=2时， y= ，求 y关于 x的表达式 答案： y=（ 4 +1） 试题分析：得到 y1与 x的算术平方根的关系式， y2与 x的 平方的关系式，进而得到 y与 x的关系式，把 x， y的两组值代入所得式，求得相关的比例系数的值即可 解： y1与 x的算术平方根成正比例， y1= k1， y2与 x的平方成反比例， y2= ， y=y1y
22、2， y= k1 ， 当 x=1时， y=0； x=2时， y= ， 解得 k1=4 +1， k2=4 +1， y=（ 4 +1） 考点：待定系数法求反比例函数式 点评：考查用待定系数法求函数式；用到的知识点为：正比例函数的一般形式为 y=kx（ k0）；反比例函数的一般形式为 y= （ k0） 已知变量 y与 2x成反比例，且当 x=2时， y=6， （ 1）求 y与 x之间的函数关系 （ 2）请判断点 B（ 3， 4）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由 答案：（ 1） y= （ 2）是，理由见 试题分析：（ 1）设反比例函数式为 y= ，然后代入已知数据进行计算即可得解； （ 2）把
23、点 B的横坐标代入式计算，如果结果等于纵坐标的值，则点 B在反比例函数图象上，否则不在 解：（ 1）设反比例函数式为 y= ， 则 =6， 解得 k=24， 所以， y与 x之间的函数关系 y= = ， 即 y= ； （ 2）在 理由如下：当 x=3时， y= =4， 所以，点 B（ 3， 4）在这个反比例函数的图象上 考点：待定系数法求反比例函数式；反比例函数图象上点的坐标特征 51 点评：本题考查了待定系数法求反比例函数式，是中学阶段的重点，反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上 已知函数 y=y1y2，且 y1为 x的反比例函数， y2为 x的正比例函数，且和 x
24、=1时， y的值都是 1求 y关于 x的函数关系式 答案： y= 2x 试题分析：首先根据题意，分别表示出 y1与 x， y2与 x的函数关系式，再进一步表示出 y与 x的函数关系式；然后根据已 知条件，得到方程组，即可求解 解： y1与 x成反比例， y2与 x成正比例， y1= ， y2=kx y=y1y2， y= kx， 当 x= 时， y=1；当 x=1时， y=1， ， y= 2x 考点：待定系数法求反比例函数式 点评：解决本题的关键是得到 y与 x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的 两个反比例函数 ， 在第一象限内的图象，如图，点 P1， P2， P3， ，P2005在
25、反比例函数 图象上，它们的横坐标分别为 x1， x2， x3， ， x2005，纵坐标分别为 1， 3， 5， ，共 2005个连续奇数，过点 P1， P2， P3， ， P2005分别作 y轴的平行线，与 的图象交点，依次是 Q1（ x1， y1）， Q1（ x2， y2），Q1（ x3， y3）， ， Q1（ x2005， y2005），求 y2005的值 答案： 试题分析：本题主要是找规律，找出规律即可得到本题答案：，先根据已知条件，可先求得当 y分别为 1， 3， 5时所对应的 x的值，即可得出当 y=2005时的x的值，再将其代入 中，即可得出 y2005的值 解：根据已知给出的条件
26、， 连续代入便寻找出规律， 当 y分别为 1， 3， 5， 2005 时， x1， x2， x3， ， x2005 分别为 6， 2， ， ， ， 再将 x1， x2， x3， ， x2005分别代入 得： y1， y2， y3， ， y2005分别为 ， ， ， ， ， 故 y2005= 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 点评：本题具有一定的规律性，要求解本题，找出规律是关键，要求学生在今后的学习中认真分析、总结所遇到的规律性问题 如图，已知点 P（ a， b）、 Q（ b， c）是反比例函数 y= 在第一象限内的点，求 的值 答案： 试题分析：根据点 P（ a， b）、 Q（ b， c）
27、在反比例函数 y= 的图象上，可知ab=5， bc=5，再将（ b） （ c） + 转化为含 ab、 bc的式子，整体代入ab=5， bc=5即可 解： 点 P（ a， b）、点 Q（ b， c）在反比例函数 y= 的图象上， ab=5， bc=5， （ b） （ c） + = + = = + = + =4 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数 已知点 P（ 1， n）在双曲线 y= 上 （ 1）若点 P（ 1， n）在直线 y=3x上，求 m的值； （ 2）若点 P（ 1， n）在第三象限，点
28、A（ x1， y1）， B（ x2， y2）在双曲线上，且 ，试比较 y1， y2的大小 答案：（ 1） 2 （ 2） y2 y1 试题分析：（ 1）把 P（ 1， n）代入 y=3x求出 n，把 P的坐标代入反比例函数式求出即可； （ 2）根据 P的坐标得出 y随 x的增大而减小，图象在第一、三象限，根据已知求出 x2 x1 0，根据反比例函数的性质求出 y2 y1即可 解：（ 1）把 P（ 1， n）代入 y=3x得： n=3（ 1） =3， n=3， 即 P（ 1， 3）， 代入 y= 得： 3= ， m=2； （ 2） 点 P（ 1， n）在第三象限，点 P在双曲线 上， n 0， n
29、=5m 0， m5 0， y随 x的增大而减小， ， x1x21=0， x1n=0， x1x2=1 0， x1=n 0， x1 x2， 即 x2 x1 0， y2 y1 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征 点评：本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数的性质等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目 心理学家研究发现，在一节 45分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化，开始学生的注意力逐渐增强，中间学生的注意力保持稳定的状态，随后开始分散，经实验学生的注意力指数 y随时间 x（分钟）的变化规律如图所示 （ 1）一位教师为了达到最好的
30、上课效果，准备课前复习，要求学生的注意力指数至少达到 30时，开始上新课，问他应该复习多长时间？ （ 2）如果（ 1）的这位教师本节新课内容需要 22分钟，为了使学生的听课效果最好，问这位教师能否在学生听课效果最好时，讲完新课内容？答案：（ 1） 5分钟 （ 2）能，理由见 试题分析：（ 1）由两点法求出直 线 AD的式，再求出 y=30时，复习时间 x的值； （ 2）将 B（ 21， 40）代入 BC 的函数关系式 y= 中，求 K1的值，得出反比例函数关系式，利用反比例函数关系式求出当 x=30时，函数 y的值，得出结论 解：（ 1）设 DA的函数关系式为 y=kx+b（ x0） y=kx+b过（ 0， 20），（ 10， 40） y=2x+20（ 0x10）； 当 y=30时， 30=2x+20 x=5； 答：他应该复习 5分钟； （ 2）设 BC 的函数关系式 y= （ k10）（ 21x45） 过 B（ 21， 40） 40= ， K1=840， y= （ 21x45） 当 x=30时 y= =28 285=23 23 22 这位老师能在学生听课效果最好时讲完新课内容 考点：待定系数法求一次函数式；函数的图象；待定系数法求反比例函数式 点评：本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的式及函数式的运用关键是根据题意，利用待定系数法求函数式，利用所求式解答实际问题
