1、2012年沪科版初中数学九年级上 23.4二次函数与一元二次方程练习卷与答案（带解析） 选择题 函数 的图象如图所示，那么关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 答案： 试题分析：根据二次函数的图象的特征即可得到结果。时 观察图象可得，顶点的纵坐标为 3，即 时对应的横坐标只有 1 个， 则关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 故选 C. 考点：本题考查的是二次函数的图象性质 点评：解答本题的关键是观察图象发现顶点的纵坐标为 3，即 时对应的横坐标只有 1个。 下列二次函数中有一个函数的图像与 轴有两个不同
2、的交点，这个函数是 A B C D 答案： 试题分析：分别对 A、 B、 C、 D四个选项进行一一验证，令 y=0，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根 A、令 y=0，得 x2=0， =0-410=0，则函数图形与 x轴没有两个交点，故 A错误； B、令 y=0，得 x2+4=0， =0-411=-4 0，则函数图形与 x轴没有两个交点，故 B错误； C、令 y=0，得 3x2-2x+5=0， =4-435=-56 0，则函数图形与 x轴没有两个交点，故 C错误； D、令 y=0，得 3x2+5x-1=0， =25-43（ -1） =37 0，则函数图形与 x轴有两个交点，故
3、 D正确； 故选 D 考点：本题考查的是抛物线与 x轴的交点 点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与 x 轴有两个交点时， b2-4ac 0，与 x轴有一个交点时， b2-4ac=0，与 x轴没有交点时， b2-4ac 0 二次函数 与 轴的交点坐标是（ ） A（ 2， 0）（ 3， 0） B（ ， 0）（ ， 0） C（ 0， 2）（ 0， 3） D（ 0， ）（ 0， ） 答案： A 试题分析：令 ，即可得到二次函数 与 轴的交点坐标。 当 时， ，解得 ， 则二次函数 与 轴的交点坐标是（ 2， 0）（ 3， 0）， 故选 A. 考点：本题考查的是抛物线与 x轴的交点 点评：解答本题
4、的关键是熟练掌握抛物线与 x轴的交点的纵坐标为 0. 关于 的二次函数 的图像与 轴有交点，则 的范围是（ ） A B 且 C D 且 答案： 试题分析：二次函数图象与 x轴有交点，则 =b2-4ac0，且 m0，列出不等式则可 由题意得 ，解得 且 ， 故选 B. 考点：该题考查函数图象与坐标轴的交点判断 点评：当 =b2-4ac 0时图象与 x轴有两个交点；当 =b2-4ac=0时图象与 x轴有一个交点；当 =b2-4ac 0时图象与 x轴没有交点同时要密切注意 抛物线 的图象与坐标轴交点的个数是（ ） A没有交点 B只有一个交点 C有且只有两个交点 D有且只有三个交点 答案： B 试题分
5、析：令 ，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根，即可判断图象与 x轴的交点个数，再令 ，即可判断图象与 y轴的交点情况，从而得到结果。 令 ，得 ， ， 方程 无解，即抛物线 的图象与 x 轴没有交点， 令 ，则 ，即抛物线 的图象与 y轴的交点坐标为（ 0，-1）， 综上，抛物线 的图象与坐标轴交点的个数是一个， 故选 B. 考点：本题考查的是抛物线与 x轴的交点 点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与 x 轴有两个交点时， b2-4ac 0，与 x轴有一个交点时， b2-4ac=0，与 x轴没有交点时， b2-4ac 0 关于二次函数 的图像有下列命题： 当 时，函数的
6、图像经过原点； 当 ，且函数的图像开口向下时，方程 必有两个不相等的实根； 函数图像最高点的纵坐标是 ； 当 时，函数的图像关于 轴对称其中正确命题的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： 试题分析：根据 c与 0的关系判断二次函数 y=ax2+bx+c与 y轴交点的情况；根据顶点坐标与抛物线开口方向判断函数的最值；根据函数 y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，判断函数 y=ax2+c的图象对称轴 （ 1） c是二次函数 y=ax2+bx+c与 y轴的交点，所以当 c=0时，函数的图象经过原点； （ 2） c 0时，二次函数 y=ax2+bx+c与 y轴的交点在 y
7、轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，所以方程 ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； （ 3）当 a 0时，函数图象最高点的纵坐标是 ；当 a 0时，函数图象最低点的纵坐标是 ；由于 a值不定，故无法判断最高点或最低点； （ 4）当 b=0时，二次函数 y=ax2+bx+c变为 y=ax2+c，又因为 y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当 b=0时，函数的图象关于 y轴对称 三个正确，故选 C 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数 y=ax2+bx+c的最值：当 a 0时，函数的最大值是 ；当 a 0时，函数的最小值是 函数 （ 是常数）的
8、图像与 轴的交点个数为（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 1个或 2个 答案： 试题分析：只要记住 “方程 mx2+x-2m=0解有两个，则抛物线 y=mx2+x-2m的图象与 x轴交点也有两个 ”即可 二次函数 y=mx2+x-2m（ m是非 0常数）的图象与 x轴的交点个数即为 y=0时方程 mx2+x-2m=0的解的个数， =1+8m2 0，故图象与 x轴的交点个数为 2个 故选 C 考点：本题考查的是抛物线与 x轴的交点 点评：解答此题要 明确抛物线 y=mx2+x-2m的图象与 x轴交点的个数与方程mx2+x-2m=0解的个数有关 若二次函数 ，当 取 、 （ ）时，函数值相等
9、，则当取 时，函数值为（ ） A B C D 答案： 试题分析：根据当 取 、 （ ）时，函数值相等，结合二次函数对称轴为 ，可得 ，即可求得结果。 由题意得， ， 则当 取 时，函数值为 ， 故选 D. 考点：本题考查的是抛物线的对称性 点评：解答本题的关键是由 取 、 （ ）时，函数值相等，得二次函数 对称轴为 填空题 对于二次函数 ，当 时， 答案： 试题分析：直接把 代入二次函数 ，即可求得结果。 当 时， 考点：本题考查的是代数式求值 点评：根据已知将 代入函数式求出是解题关键 如图是二次函数 的图像，那么方程 的两根之和 0 答案： 试题分析：函数 y=ax2+bx+c的图象与 x
10、轴的交点的横坐标就是方程y=ax2+bx+c=0的根，再根据两根之和公式可以解决此题 根据两根之和公式可得 考点：本题考查的是抛物线与 x轴的交点 点评：解答本题的关键是掌握二次函数与 x轴的交点的纵坐标为 0；一元二次方 程的两根之和等于 抛物线 与 轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程 的根的情况为 答案： ， ，没有实数根 试题分析：由于抛物线的判别式 =b2-4ac=4-4（ -3） （ -8） =-92 0，由此得到此二次函数与 x轴没有交点，也可以得到方程 3x2-2x+8=0的根的情况 其判别式 b2-4ac=-92 0， 抛物线 y=2x-8-3x2与 x轴有 0个交点
11、， 相应二次方程 3x2-2x+8=0的根的情况为没有实数根 考点：此题考查了二次函数 y=ax2+bx+c的图象和其判别式的关系 点评：解答本题的关键是掌握二次函数 y=ax2+bx+c的图象和其判别式的关系： 当 b2-4ac 0时，二次函数与 x轴有两个交点； 当 b2-4ac=0时，二次函数与 x轴有一个交点； 当 b2-4ac 0时，二次函数与 x轴没有交点 已知二次函数 ，关于 的一元二次方程 的两个实根是 和 ，则这个二次函数的式为 答案： 试题分析：根据一元二次方程 的两个实根是 和 ，可知二次函数 的图象经过点（ -1， 0），（ 5， 0），把这两个点代入式可得到一个关于
12、b、 c的方程组，就可以求出 b、 c的值，从而求出 式 由题意得 ，解得 ， 这个二次函数的式为 考点：本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系 点评：一元二次方程的解就是对应的二次函数与 x轴的交点的横坐标 二次函数 的图像与 轴有 个交点 答案： 试题分析：先判断 =b2-4ac的正负即可得到结果。 ， 二次函数 的图像与 轴有 0个交点 考点：本题考查的是二次函数和一元二次方程的关系 点评：解答本题的关键是掌握当 =b2-4ac 0时图象与 x轴有两个交点；当 =b2-4ac=0 时图象与 x 轴有一个交点；当 =b2-4ac 0 时图象与 x 轴没有交点 二次函数 的图像与 轴的交点
13、坐标为 答案：（ 3， 0） 试题分析：根据图像与 轴的交点的纵坐标为 0即可求得结果。 当 时， ，解得 ， 则二次函数 的图像与 轴的交点坐标为（ 3， 0） 考点：本题考查的是二次函数的图像与 轴的交点 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数图像与 轴的交点的纵坐标为 0。 的顶点坐标 及部分图象（如图所示），由图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 和 答案： 试题分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根 二次函数 y=ax2+bx+c的顶点坐标（ -1， -3.2） 则 x1x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根 x1+x2= 又 x1=1.3 x1+x
14、2=1.3+x2=-2 解得 x2=-3.3 考点：本题考查的是二次函数的图象的性质 点评：要求熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系，并能熟练运用 如图所示，函数 的图像与 轴只有一个交点，则交点的横坐标 答案： 试题分析：方程有两个不相等的实数根， 0，二次函数的图象与 x轴有两个交点；方程有两个相等的实数根， =0；二次函数的图象与 x轴有 1个交点；方程没有实数根， 0，二次函数的图象与 x轴没有交点 函数 的图象与 x轴只有一个交点 方程（ k-2） x2- x+（ k-5） =0有两个相等的实数根， =7-4（ k-2）（ k-5） =0，解得 则函数与 x轴的交点
15、坐标为 ，交点的横坐标考点：本题考查的是二次函数和一元二次方程的关系 点评：解答本题的关键是掌握当 =b2-4ac 0时图象与 x轴有两个交点；当 =b2-4ac=0 时图象与 x 轴有一个交点；当 =b2-4ac 0 时图象与 x 轴没有交点 关于 的方程 有两个相 等的实数根，则相应二次函数与 轴必然相交于 点，此时 答案：一， 4 试题分析：当二次函数与 x 轴有两个交点时， b2-4ac 0，与 x 轴有一个交点时，b2-4ac=0，与 x轴没有交点时， b2-4ac 0 关于 x的方程 mx2+mx+5=m有两个相等的实数根， 关于 x的方程 mx2+mx+5-m=0有两个相等的实数
16、根， 二次函数 y=mx2+mx+5-m与 x轴必然相交于一点； =b2-4ac=m2-4m（ 5-m） =0， 解得： m=0或 m=4 二次项系数 m0， m=4 考点：此题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系 点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与 x 轴有两个交点时， b2-4ac 0，与 x轴有一个交点时， b2-4ac=0，与 x轴没有交点时， b2-4ac 0 抛物线 与 轴交于两点 和 ，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位 答案：或 9 试题分析：确定抛物线与 x轴的交点，再确定平移的单位长度 由根与系数关系得 x1x2=-6m， x1+x2=2m-1，代入已
17、知得 -6m=2m-1+49，解得 m=-6， 抛物线式为 y=x2+13x+36=（ x+4）（ x+9），它与 x轴两交点是（ -4， 0），（ -9， 0）， 故应将它向右平移 4或 9个单位，抛物线就可以经过原点 考点：本题考查了根与系数关系，用待定系数法确定抛物线式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二方程根与系数关系，用待定系数法确定抛物线式。 解答题 已知抛物线 的顶点在抛物线 上，且抛物线在 轴上截得的线段长是 ，求 和 的值 答案： ， 试题分析：根据抛物线 的顶点在抛物线 上，可得 ，再由抛物线在 轴上截得的线段长是 ，结合两点间的距离公式即可求得结果。 ，顶点 在 上，
18、， 又它与 轴两交点的距离为 ， ， 求得 ， ，即 ， 或 ， 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答本题的关键是熟练掌握与 x轴相交的两点间的距离公式 。 已知函数 （ 1）求证：不论 为何实数，此二次函数的图像与 轴都有两个不同交点； （ 2）若函数 有最小值 ，求函数表达式 答案：（ 1）见；（ 2） 或 试题分析：（ 1）判断根的判别式的正负即可得到结论； （ 2）根据函数最小值即为顶点的纵坐标即可求得结果。 （ 1） ，不论 为何值时，都有， 此时二次函数图像与 轴有两个不同交点 （ 2） ， ， 或 ， 所求函数式为 或 考点：该题考查函数图象与坐标轴的交点判断 点评：当 =b2
19、-4ac 0时图象与 x轴有两个交点；当 =b2-4ac=0时图象与 x轴有一个交点；当 =b2-4ac 0时图象与 x轴没有交点 下图是二次函数 的图像，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点 （ 1）根据图像确定 ， ， 的符号，并说明理由； （ 2）如果 点的坐标为 ， ， ，求这个二次函数的函数表达式 答案：（ 1） ， ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据开口方向可确定 a的符号，由对称轴的符号， a的符号，结合起来可确定 b的符号，看抛物线与 y轴的交点可确定 c的符号； （ 2）已知 OA=3，解直角 OAB、 OAC可得 B、 C的坐标，设抛物线式的交点式，把 A、 B、 C代
20、入即可求式 （ 1）抛物线开口向上， ；图像的对称轴在 轴左侧， ，又 ， ；图像与 轴交点在 轴下方， ， ， （ 2） ， ， ， ， ， ， ， 设二次函数式为 ， 把 代入上式，得 ， 所求函数式为 考点：本题考查了点的坐标求法 点评：解答本题的关键是根据交点坐标的特征正确设出抛物线式。 已知抛物线 与抛物线 在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与 轴交于 ， 两点 （ 1）试判断哪条抛物线经过 ， 两点，并说明理由； （ 2）若 ， 两点到原点的距离 ， 满足条件 ，求经过 ，两点的这条抛物线的函数式 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）只需令每一条抛物线的式等于 0，计
21、算每一个方程的判别式 的值，使 0的即为所求； （ 2）如果设点 A（ x1， 0）， B（ x2， 0），则 x1、 x2是方程 的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系及已知条件 ，可求出 m的值，进而得到抛物线的式 （ 1）抛物线不过原点， ，令 ， 与 轴无交点， 抛物线经过 ， 两点 （ 2）设 ， ， ， 是方程 的两根 ， 在原点左边， 在原点右边，则 ， ， ， ，得 ， 所求函数式为 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答本题的关键是掌握当 =b2-4ac 0时图象与 x轴有两个交点；当 =b2-4ac=0 时图象与 x 轴有一个交点；当 =b2-4ac 0 时图象与 x
22、 轴没有交点 一元二次方程 的两根为 ， ，且 ，点 在抛物线 上，求点 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标 答案：（ 1， ） 试题分析：根据一元二次方程 的两根为 ， ，且 ，可得抛物线 的对称轴为 x=2，即可得到结果。 由题意得抛物线 的对称轴为 x=2， 则点 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为（ 1， ） 考点：本题考查的是抛物线的对称性 点评：解答本题的关键是由一元二次方程 的两根为 ， ，且，得到抛物线 的对称轴 x=2. 已知二次函数 （ 1）求证：当 时，二次函数的图像与 轴有两个不同交点； （ 2）若这个函数的图像与 轴交点为 ， ，顶点为 ，且 的面积为，求此二次函数的函
23、数表达式 答案：（ 1）见；（ 2） 或 试题分析：（ 1）根据根的判别式的正负即可判断结论； （ 2）先根据 x轴相交的两点间的距离公式得到三角形的底， 点纵坐标即为三角形的高，再结合 的面积为 ，即可求得结果。 （ 1） ， ， 这个抛物线与 轴有两个不同交点 （ 2）设 ， ，则 ， 是方程 两根， ， ， ， 点纵坐标 ， 中 边上的高 ， ， ， 或 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答本题的关键是掌握当 =b2-4ac 0时图象与 x轴有两个交点；当 =b2-4ac=0时图象与 x轴有一个交点；当 =b2-4ac 0时图象与 x轴没有交点提示熟练掌握与 x轴相交的两点间的距离公式
24、。 已知抛物线 与 轴交于 点，与 轴交于 ，两点，顶点 的纵坐标为 ，若 ， 是方程的两根，且 （ 1）求 ， 两点坐标； （ 2）求抛物线表达式及点 坐标； （ 3）在抛物线上是否存在着点 ，使 面积等于四边形 面积的 2倍，若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ， ；（ 2） ， ； （ 3） 试题分析：（ 1）根据韦达定理可得出 A、 B两点横坐标的和与积，联立，可求出 m的值，进而可求出 A、 B的坐标 （ 2）根据 A、 B的坐标，可得出抛物线的对称轴的式，即可求出其顶点 M的坐标，根据得出的 A、 B、 M 三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的式 （ 3）可先求出四边形 ACMB的面积（由于四边形 ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）然后根据 ACMB的面求出 P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的式中即可求出 P点的坐标 （ 1）由 ， ， ，得 ， ， ， （ 2） 抛物线过 ， 两点，其对称轴为 ，顶点纵坐标为 ， 抛物线为 把 ， 代入得 ， 抛物线函数式为 ，其中 （ 3）存在着 点 ， ， ， ， ， 即 ， 把 代入抛物线方程得 ， 或 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，二次函数式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力
