1、2012年沪科版初中数学九年级上 23.5二次函数的应用练习卷与答案（带解析） 选择题 如图，用 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（ ） A 45 B 50 C 60 D 65 答案： 试题分析：设矩形靠墙一面的长为 xm，则两端的长为 ，根据矩形面积公式求面积表达式，再根据性质求最值 设矩形靠墙的一面长为 xm，面积为 sm2 根据题意得 函数有最大值 当 x=10时， s最大为 50 故选 B. 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：此题关键在得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想 用长 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗
2、户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ） A B C D 答案： 试题分析：设出矩形窗户的透光面积为 S平方米，窗户的宽为 x米，则窗户的高为 米，利用长方形的面积求出函数式，进一步利用函数求最大值 设矩形窗户的透光面积为 S 平方米，窗户的宽为 x 米，则窗户的高为 米， 由此得出 ， 整理得 ， 因为 ，抛物线开口向下，取得最大值，最大值为 ， 故选 C. 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：此题关键在得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想 如图，用长 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱 ），若使此窗户的透光面积最大，则最大透
3、光面积为（ ） A B C D 答案： 试题分析：（ 1）窗户的面积 S由两部分组成，一部分是半圆，一部分是矩形，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积 S与圆的直径 x的函数关系； （ 2）根据二次函数的性质可求出面积关于直径 x的函数的最值，然后求出取 最值时相应的 x即可 （ 1）设半圆的直径为 x，矩形的高度为 y，窗户透光面积为 S， 则窗框总长 ， 有最大值，为 ， 故选 C. 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：此题关键在得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想 填空题 用 长木条，做成如图的窗框（包括中间棱），若不计损耗，窗户的最大面积为 答
4、案： 试题分析：设出矩形窗户的透光面积为 S平方米，窗户的宽为 x米，则窗户的高为 米，利用长方形的面积求出函数式，进一步利用函数求最大值 设矩形窗户的透光面积为 S 平方米，窗户的宽为 x 米，则窗户的高为 米， 由此得出 ， 整理得 ， 因为 ，抛物线开口向下，取得最大值，最大值为 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握利用二次函数求实际问题的最大值与最小值 如图，用 12m长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，应选择窗子的长、宽各为 m 答案：、 2 试题分析：光线最多就是面积最大，可设宽为 x米，则长为 ，表示出面积，运用函数性质求解 设宽
5、为 x米，面积为 s米 2，根据题意得 ， S有最大值， 当 x=2时， S最大， 此时 ， 即窗子的长为 3米，宽为 2米时，透进的光线最多 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：此题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解 用 12m长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为 m 答案： 试题分析：光线最多就是面积最大，可设宽为 x米，则长为 ，表示出面积，运用函数性质求解 设宽为 x米，面积为 s米 2，根据题意得 ， S有最大值， 当 x=2时， S最大， 则窗子的横档长为 2米。 考点：本题考查的是二次函数的应用 点
6、评：此题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解 在底边长 ，高 的三角形铁板 上，要截一块矩形铁板 ，如图所示当矩形的边 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为 答案： ， 试题分析：两三角形相似，对应高之比等于相似比利用此性质即可解答 EH BC AEH ABC 它们的对应高线比等于对应线段的比，即 ， 设 AN=x，则 EF=MN=AM-AN=12-x 当 x=6时， S取最大值 60， EF=12-x=6， 当矩形的边 EF=6 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为 60 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，
7、又要利用二次函数求最大值。 解答题 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 ， 恰在水面中心， ，由 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离 距离为 处达到距水面最大高度 （ 1）以 为坐标轴原点， 为 轴建立直角坐标系，求抛物线 的函数表达式； （ 2）水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？ （ 3）若水池的半径为 ，要使水流不落到池外，此时水流高度应达多少米（精确到 ）？ 答案：（ 1） ；（ 2）至少 ；（ 3） 试题分析：（ 1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次
8、函数式； （ 2）令 y=0，则 -（ x-1） 2+2.25=0，求出 x的值即可得出答案：； （ 3）根据抛物线形状与上面相同，故可设出顶点式，从而求得结果。 （ 1）依题意可知 ， 抛物线开口向下， 表达式为 （ 2）令 ，得 （舍去）， ， 水池半径至少 （ 3）由于抛物线形状与上面相同，即二次项系数为 ，故可设此抛物线为， 求得 ， ，水流的最大高度为 考点：此题主要考查了二次函数的应用 点评：根据顶点式求出二次函数的式是解题关键 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上修建一个矩形花园 ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m的栅栏围成（如图所示
9、）若设花园的 （ m），花园的面积为 （ m） （ 1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （ 2）满足条件的花园面积能达到 200 m 吗？ 若能，求出此时 的值；若不能，说明理由； （ 3）根据 (1)中求得的函数关系式 ,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？答案：（ 1） ；（ 2）不能；（ 3） 时，最大面积 187.5m 试题分析：（ 1）设花园靠墙的一边长为 x（ m），另一边长为 ，用面积公式表示矩形面积； （ 2）就是已知 y=200，解一元二次方程，但要注意检验结果是否符合题意；即结果应该是 0 x15 （ 3）由
10、于 0 x15，对称轴 x=20，即顶点不在范围内， y随 x的增大而增大 x=15时， y有 最大值 （ 1）根据题意得： （ 2）当 时， 即 解得： 此花园的面积不能达到 200m （ 3） 的图像是开口向下的抛物线，对称轴为 当 时， 的增大而增大 当 有最大值 （ m ） 即：当 时，花园面积最大，最大面积为 187.5m 考点：本题考查实际问题中二次函数式的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型 如图，在平行四边形 ABCD中， AD=4cm， A=
11、60， BD AD一动点 P从 A出发，以每秒 1cm的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点 P作直线 PM，使 PM AD （ 1）当点 P运动 2秒时，设直线 PM与 AD相交于点 E，求 APE的面积； （ 2）当点 P运动 2秒时，另一动点 Q 也从 A出发沿 ABC 的路线运动，且在 AB上以每秒 1cm的速度匀速运动，在 BC 上以每秒 2cm的速度匀速运动过 Q 作直线 QN，使 QN PM设点 Q 运动的时间为 t秒（ 0t10），直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD所得图形的面积为 Scm2 求 S关于 t的函数关系式； （附加题）求 S的最大值 答案：（ 1） ；（ 2
12、） ； 当 0t6时， S的最大值为 ； 当 6t8时， S的最大值为 ； 当 8t10时， S的最大值为 ； 所以当 t=8时， S有最大值为 试题分析：（ 1）在三角形 AEP中， AP=2， A=60，利用三角函数可求出 AE和 PE，即可求出面积； （ 2） 此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点 P与点 Q都在 AB上运动、点 P在 BC 上运动点 Q 仍在 AB上运动、点 P和点 Q 都在 BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解 在 的基础上，首先 求出函数关系式之后，根据 t的取值范围不同函数最大值也不同 (1) 当点 P运动
13、 2秒时， AP=2 cm，由 A=60，知 AE=1， PE= . SAPE= . (2) 当 0t6时，点 P与点 Q 都在 AB上运动，设 PM与 AD交于点 G， QN与 AD交于点 F，则 AQ=t， AF= ， QF= ， AP=t+2， AG=1+ ， PG=. 此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为 S= . 当 6t8时，点 P在 BC 上运动，点 Q 仍在 AB上运动 . 设 PM与 DC 交于点 G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQ=t， AF= ， DF=4- ， QF= ， BP=t-6， CP=10-t，PG= ， 而 BD= ，故此时两平行线截平行四边形
14、ABCD的面积为 S=. 当 8t10时，点 P和点 Q 都在 BC 上运动 . 设 PM与 DC 交于点 G， QN与 DC交于点 F，则 CQ=20-2t， QF=(20-2t) ， CP=10-t， PG= . 此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为 S= . 故 S关于 t的函数关系式为 (附加题 )当 0t6时， S的最大值为 ； 当 6t8时， S的最大值为 ； 当 8t10时， S的最大值为 ； 所以当 t=8时， S有最大值为 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学
15、会数形结合解答二次函数的相关题型 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品已知每件产品的进价为 40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计 120万元在销售过程中发现，年销售量 （万件）与销售单位 （元）之间存在着如图所示的一次函数关系 （ 1）求 关于 的函数关系式； （ 2）试写出该公司销售该种产品的年获利 （万元）关于销售单价 （元）的函数关系式（年获利年销售额 -年销售产品总进价 -年总开支）当销售单价为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （ 3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于 40万元，借助（ 2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围在此情况下，要使
16、产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？答案：（ 1） ；（ 2） 元时，最大年获利为 60万元；（ 3） 80元 试题分析：（ 1）设抛物线为 y=kx+b，把已知坐标代入 求出 k， b的值后可求出函数式； （ 2）根据题意可知 z=yx-40y-120，把 x=100代入式即可； （ 3）令 ，得 ，再结合图象即可得到结果。 （ 1）设 ，它过点 解得： （ 2） 当 元时，最大年获利为 60万元 （ 3）令 ，得 ， 整理得： 解得： ， 由图象可知，要使年获利不低于 40万元，销售单价应在 80元到 120元之间 又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不
17、低于 40万元，销售单价应定为 80元 考点：本题考查的是二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型 如图，在 Rt 中， ， ， ，点 在斜边 上，分别作 于 ， 于 ，设 ， （ 1）求 与 之间的函数关系，并求出 的取值范围 （ 2）设四边形 的面积为 ，试求 的最大值 答案：（ 1） ；（ 2） 8 试题分析：（ 1）求证 ADE DBF，结合对应边成比例和 BF=4-x， AE=8-y，即可求出 y=-2x+8（ 0 x 4）； （ 2）根据（ 1）所推出的 结
18、论，结合矩形的面积公式通过等量代换，即可求出二次函数 S=DE DF=-2x2+8x，然后根据二次函数的最值公式即可求出 S的最大值 （ 1）由已知得 是矩形，故 ， 由得 ， ，即 ， （ 2） 当 时， 有最大值 8 考点：本题主要考查二次函数的应用 点评：关键在于推出 AB的长度，求证 ADE DBF，用关于 x、 y的式子表达出相关的线段，认真的进行计算 如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 为 ，面积为 （ 1）求 与 的函数关系式 （ 2）要围成面积为 的花圃， 的长是多少米？ （ 3）能围成面积比 还大的花圃吗？
19、如果能，求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ； （ 3）长 为 ，宽为 这时花圃面积最大，为 试题分析：（ 1）现年表示出 BC 的长，再根据矩形面积公式即得函数关系式； （ 2）把 代入（ 1）中的函数关系式，即可求得结果，注意对所求值的取舍； （ 3）求出（ 1）中的函数的最大值即可。 （ 1） ，故 （ 2）由已知得 ，即 ，解得 ， ， 当 时， ，不合题意，故 ，即 （ 3） ， ， 随着 的增大而减小 故当 时， 有最大值 能围成面积比 还大的花圃 围法： ，花圃的长 为 ，宽为 这时花圃面积最大，为 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：
20、解答本题的关键是运用长方形面积计算方法列一元二次方程解决实际问题与根的判别式的应用 如图，在矩形 中， ， ，点 从 出发沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 出发沿 边以 的速度移动，分别到达 ， 两点后就停止运动 （ 1）设运动开始后第 时，五边形 的面积为 ，试写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围 （ 2）第几秒五边形 的面积最小？是多少？ 答案：（ 1） ；（ 2）第 时面积最小，为 试题分析：（ 1）先表示出第 时， ， ， ，根据直角三角形面积公式即可得到结果； （ 2）先对（ 1）中的函数配方，根据函数最值即可得到结果。 （ 1）第 时， ， ， ， 故 ， （
21、2） ， 故当 时， 有最小值 63， 即第 时，五边形 的面积最小，为 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型 图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横截面的地平线为 轴，横断面的对称轴为 轴，桥拱的 部分为一段抛物线，顶点 的高度为 ， 和 是两侧高为 的支柱， 和 为两个方向的汽车通行区，宽都为 ，线段 和 为两段对称的上桥斜坡，其坡度为 （即 ） （ 1）求桥拱 所在抛物线的函数表达式 （ 2） 和 为支撑斜坡的立柱，其高
22、都为 ，为相 应的 和 两个方向的行人及非机动车通行区，试求 和 的宽 （ 3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱间的距离不得小于 ，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为 ，设备的顶部与地面距离为 ，它能否从 （或 ）区域安全通过，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）都为 6m；（ 3）可以 试题分析：（ 1）抛物线的对称轴是 y轴，因而式一定是 y=ax2+c的形式，根据条件可以求得抛物线上 G， D的坐标分别是（ 0， 8）和（ 15， 5.5），利用待定系数法即可求解； （ 2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解； （ 3）在抛物线式中，令 x=4，得到的
23、函数值与 7+0.4=7.4米，进行比较即可判断 （ 1）设 所在抛物线为 ， ， ， ， ， （ 2） ， ， ， ， 和宽都为 （ 3）在 中，当 时， ， 该货车可以从 （或 ）区域安全通过 考点：本题主要考查了二次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数式，以及坡度的定义，利用二次函数解决形状是抛物线的物体的计算问题 某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况， 对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求：（ 1）请提供四条信息；（ 2）
24、不必求函数的表达式 答案：答案：不唯一，如：（ 1） 2月份每千克销售价是 3.5元；（ 2） 7月份每千克销售价是 0.5元；（ 3） 1月到 7月的销售价逐月下降；（ 4） 7月到 12月的销售价逐月上升； 试题分析：可从最高点、最低点、特殊点、对称点等方面读取相关信息如：最低点坐标为（ 7， 0.5）表示 7月份每千克售价是 0.5元；特殊点（ 2， 3.5）表示 2月份售价是每千克 3.5元； 1-7月份售价逐月降低， 7-12月份售价逐月升高 由题意得： （ 1） 2月份每千克销售价是 3.5元； （ 2） 7月份每千克销售价是 0.5元； （ 3） 1月到 7月的销售价逐月下降；
25、（ 4） 7月到 12月的销售价逐月上升； （ 5） 2月与 7月的销售差价是每千克 3元； （ 6） 7月份销售价最低， 1月份销售价最高； （ 7） 6月与 8月、 5月与 9月、 4月与 10月、 3月与 11月， 2月与 12月的销售价相同；等等 考点：本题考查的是二次函数的应用 点评：观察图形从中获取相关信息是学习函数知识的基本功，应根据题意数形结合，从特殊性入手逐步深入 如图，在 中， ， ， ，点 在 上运动，交 于 ， 于 ，设 ，梯形 的面积为 （ 1）求 关于 的函数表达式及自变量 的取值范围； （ 2）当梯形 的面积为 4时，求 的值； （ 3）梯形 的面积是否有最大值，
26、如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由 答案： 试题分析：（ 1）首先过点 C作 CK AB于 K，由在 ABC中， AC=6， AB=12，cosA= ，即可求得 ABC 的高 CK，继而求得 ABC 的面积 ，又由 MQ AC，设 AM=x，即可表示出 AMQ 的面积，然后由 MP AC，可得 BPM BCA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，表示出 BPM的面积，由 y=S 梯形 MPCQ=S ABC-S AMQ-S BPM，即可求得 y关于 x的函数表达式及自变量 x的取值范围； （ 2）根据（ 1），由 y=4，列方程即可求得 x的值； （ 3）根据（ 1），利用配方法，根据
27、二次函数的最值问题，即可求得答案： （ 1）由 ，得 ， ， 在中， ， ， ， ， ， （ 2）当 时， （ 3）当 时，梯形面积最大，为 考点：此题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数 点评：此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管 高出地面 1.5m，在 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状喷头 与水流最高点 的连线与地平面成 的角，水流的最高点 离地平面距离比喷水头 离地平面
28、距离高出 2m，水流的落地点 为 在建立如图所示的直角坐标系中： （ 1）求抛物线的函数式； （ 2）求水流的落地点 到 点的距离是多少 m？ 答案：（ 1） ；（ 2） m 试题分析：（ 1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点 C（ 2， 3.5）及 B（ 0，1.5），设顶点式求式； （ 2）求 AD，实际上是求当 y=0时点 D横坐标 在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知， 点的坐标为 ， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为 （ 1）设抛物线的函数式为 ， 则抛物线过点 顶点为 ， 当 时， 由 ，得 ， 由 ，得 解之，得 （舍去）， 所以抛物线的式为 （） 点为抛物线 的图象与 轴的交点， 当 时，即： ，解得 ， 不合题意，舍去，取 点坐标为 （ m） 答：水流的落地点 到 点的距离是 m 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型
