1、2011届河南省周口市初三下册 26章实际问题与二次函数检测题 选择题 如图，两条宽度都为 1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A B C D 1 答案： A 把二次函数 的图象向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） A ; B ; C D 答案： D 、不论 x为何值 ,函数 y=ax2+bx+c(a0)的值恒大于 0的条件是 ( ) A a0, 0; B a0, 0, b0时 ,下列图象有可能是抛物线 y=ax2+bx+c的是（ ） 答案： A 考点：二次函数图象与系数的关系 分析：根据二次
2、函数的图象与系数的关系可知 解： a 0， 抛物线开口向上； b 0， 对称轴为 x=- 0， 抛物线的对称轴位于 y轴右侧； c 0， 与 y轴的交点为在 y轴的正半轴上 故选 A 已知二次函数 ， 为常数，当 y 达到最小值时，x的值为（ ） A ; B ; C ; D 答案： B 、若 ，则二次函数 的图象的顶点在 （ ） A第一象限 ; B第二象限 ; C第三象限 ; D第四象限 答案： D (3)已知抛物线 y=ax2+bx,当 a0,b 分析：由抛物线的开口方向判断 a的符号，由抛物线与 y轴的交点判断 c的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判
3、断 解：画草图得，此函数开口向下，所以 a 0； 与与 y轴的交点为在 y轴的负半轴上，所以 c 0； 抛物线与 x轴有两个交点， b2-4ac 0 故 a 0， c 0， 0 点评：考查二次函数 y=ax2+bx+c系数符号的确定 老师给出一个函数 ,甲 ,乙 ,丙 ,丁四位同学各指出这个函数的一个性质 : 甲 :函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。 丙：当 x 2时， y随 x的增大而减小。丁：当 x 2时， y 0， 已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 _。 答案：略 已知二次函数 ，当 x _时，函数达到最小值 答案： 已知 中， ， ， ，
4、将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点 处，折痕交另一直角边于 ，交斜边于 ，则的值为 答案： 或 考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义 分析：分折叠不同的锐角，得到所求角的对边与邻边之比即可 解答：解：（ 1）翻折的角为较小的锐角 B：设 CE=x，有 DE=8-x， x2+9=（ 8-x） 2， 解可得 x= ， tan CDE的值为 ； （ 2）翻折的角为较大的锐角 A：设 CE=x，有 DE=6-x， x2+16=（ 6-x） 2， 解可得 x= ， tan CDE的值为 故答案：为 或 点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中正切等于对比邻 在 ABC 中
5、，若 sinA- +（ - ） =0，则 C=_ 答案： 如图， 33 网格中一个四边形 ABCD， 若小方格正方形的边长是 1， 则四边形 ABCD的周长 _ 答案： +3 如图，在直角坐标平面内， 为原点，点 的坐标为 ，点 在第一象限内， ， 则 = 答案： 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm和 6cm，则底边上的高为_cm，底角的余弦值为 _。 答案： ， x=2时， y有最小值为 1 如果抛物线 y=-2x2+mx-3的顶点在 x轴正半轴上，则m=_. 答案： 二次函数 y=-2x2+x- ，当 x=_时， y有最 _值，为 _.它的图象与 x轴_交点 (填 “有 ”或 “没有
6、”). 答案： 大 - 没有 试题考查知识点：二次函数的极值、交点问题。 思路分析：配方法 具体解答过程： y=-2x2+x- =-2（ x2- x+ ） - + =-2（ x- ） 2- （ x- ） 20 -2（ x- ） 20 不难看出，函数有最大值，且当 -2（ x- ） 2=0即 x= 时，最大值为 y 最大值 =- 令 y=0，即 -2x2+x- =0，由判别式 =1-4（ -2） （ - ） =-3 0可知次方程无解。 故知二次函数 y=-2x2+x- 与 x轴没有交点。 试题点评：这是关于二次函数的基础性试题。 已知二次函数 y=a x2+bx+c的图象如图所示 . 二次函数的
7、表达式是 y= _； 当 x=_ _时， y=3； 根据图象回答：当 x_ _时， y0. 答案： x22x 3或 -1 2 由图象可知函数的顶点坐标是（ 1， 1），可设函数式是： y=a（ x1） 21； 已知抛物线过点（ 0， 0），则有： a（ 01） 21=0， a=1； 函数式是： y=（ x1） 21，即 y=x22x； 将 y=3代入 的抛物线式中，可得： x22x=3，即 x22x3=0； 解得： x=1， x=3； 因此当 x=1或 3时， y=3； 由图象可知：当 x 0或 x 2时， y 0 不论自变量 x取什么实数，二次函数 y=2x2-6x+m的函数值总是正值，你认
8、为 m的取值范围是 _，此时关于一元二次方程 2x2-6x+m=0的解的情况是_(填 “有解 ”或 “无解 ”). 答案： m 无解 某一元二次方程的两个根分别为 x1=-2， x2=5，请写出一个经过点 (-2， 0)，(5， 0)两点二次函数的表达式： _.(写出一个符合要求的即可 ) 答案： y=x2-3x-10 某一抛物线开口向下，且与 x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 _(只写一个 )，此类函数都有 _值 (填 “最大 ”“最小 ”). 答案： y=-x2+x-1 最大 解答题 2010年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出 A型农用车，其成本价为每辆 2万元，出厂价为每辆
9、 2.4万元 ,年销售价为 10000辆 ,2011年为了支援西部大开发的生态农业建设 ,该厂抓住机遇 ,发展企业 ,全面提高 A型农用车的科技含量 ,每辆农用车的成本价增长率为 x，出厂价增长率为 0.75x，预测年销售增长率为 0.6x.（年利润 =（出厂价 -成本价） 年销售量） (1)求 2011年度该厂销售 A型农用车的年利润 y（万元）与 x之间的函数关系。 (2)该厂要是 2001年度销售 A型农用车的年利润达到 4028万元，该年度 A型农用车的年销售量应该是多少辆？ 答案： y=-1200x2+400x+4000;11400,10600; 考点：根据实际问题选择函数类型 专题
10、：应用题 分析：（ 1）本题属于市场营销问题，销售利润 =每辆车的利润 销售量，每辆车的利润 =出厂价 -成本价，即可写出售 A型农用车的年利润 y（万元）与 x之间的函数关系；其中，出厂价，成本价，销售量，都有各自对应的增长率， 要正确使用 （ 2）根据（ 1）中得出的售 A型农用车的年利润 y（万元）与 x之间的函数关系，令 y=4028，构造一个关于 x的方程式，解之即得年利润达到 4028万元，该年度 A型农用车的年销售量应该是多少辆 解答：解：（ 1）由题意得： y=2.4（ 1+0.75x） -2（ 1+x） 10000（ 1+0.6x） =-1200x +400x+4000； （
11、 2）由 y=4028，即 -1200x +400x+4000=4028， 解得 x =0.1， x = 该年度 A型农用车的年销售量 =10000（ 1+0.6x） 代入得 10600辆或 11400辆 点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型先有二次函数，再解一元二次方程，由一般都特殊；充分体现了两者之间的联系，对于一元二次方程的两个解是否都符合题意，一定要根据题意，通过计算，才能确定 已知二次函数 y x2 bx c的图像与 x轴的两个交点的横坐标分别为 x1、x2，一元二次方程 x2 b2x 20 0的两实根为 x3、 x4，且 x2-x3 x1-x4 3，求二次函数的式，并写出顶
12、点坐标。 答案： y=x2+3x+2 (-3/2,- 1/4) 先将 x2-x3=x1-x4=3化简为 两根之和的形式，再代入数值进行计算 解： x2-x3=x1-x4=3 x2-x3=3， x1-x4=3 x2-x3+x1-x4=6即（ x1+x2） -（ x3+x4） =6 （ x1+x2） -（ x3+x4） =-b+b2=6，即 b2-b-6=0，解得： b=-2或 3 x2-x3=x1-x4 |x1-x2|=|x3-x4| 即 9-4c=81-420， 解得： c=2 又 一元二次方程 x2+b2x+20=0有两实根 =b4-800， 当 b=-2， c=2时，有 y=x2-2x+2
13、， =4-412=-4 0， 与 x轴无交点， b=-2不合题意舍去 则式为 y=x2+3x+2， 根据顶点坐标公式可得顶点坐标： (-3/2,-1/4) 如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是 AB宽 20m，水位上升 3m就达到警戒线 CD，这是水面宽度为 10m。 （ 1）在如图的坐标系中求抛物线的式。 (2)若洪水到来时，水位以每小时 0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？ 答案：略 考点：二次函数的应用 专题：函数思想 分析：先设抛物线的式，再找出几个点的坐标，代入式后可求解 解答：解：（ 1）设所求抛物线的式为： y=ax （ a0）， 由 CD=10m
14、，可设 D（ 5， b）， 由 AB=20m，水位上升 3m就达到警戒线 CD， 则 B（ 10， b-3）， 把 D、 B的坐标分别代入 y=ax 得： ， 解得 y=- x ； （ 2） b=-1， 拱桥顶 O 到 CD的距离为 1m， =5小时 所以再持续 5小时到达拱桥顶 点评：命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决 二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （ 1）写出方程 的两个根； （ 2）写 出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围； 答案： (1)X=1或 X=3;(2)X2 考点：抛物线与 x轴的交点；函数自变量的取
15、值范围；二次函数的性质 分析：（ 1）根据图象与 x轴交点的坐标即可得到方程 ax2+bx+c=0的两个根； （ 2）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与 x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定 y随 x的增大而减小的自变量 x的取值范围 解答：解：（ 1）根据图象得二次函数 y=ax +bx+c（ a0）的图象与 x轴交点坐标为（ 1， 0）、（ 3， 0）， 方程 ax +bx+c=0的两个根为 x =1， x =3； （ 2）根据图象得二次函数 y=ax +bx+c（ a0）的图象与 x轴交点坐标为（ 1，0）、（ 3， 0）， 抛物线的对称轴为 x=2， 当 x2时， y随 x的
16、增大而减小 点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系：当 y=0 时，函数为一元二次方程；当 y 0 或 y 0 时，函数为一元二次不等式 如图，四边形 DEFG 是 ABC 的内接矩形，如果 ABC 的高线 AH长 8cm，底边 BC 长 10cm，设 DG=xcm， DE=ycm，求 y关于 x的函数关系式 答案： Y=-0.8x+8 (0x10) 在 OAB中， O 为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同， A、 B的坐标分别为 (8， 6)， (16， 0)，点 P沿 OA边从点 O 开始向终点 A运动，速度每秒 1个单位，点 Q 沿 BO 边从 B点开始向终点
17、 O 运动，速度每秒 2个单位，如果 P、 Q同时出发，用 t(秒 )表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 求 (1)几秒时 PQ AB (2)设 OPQ 的面积为 y，求 y与 t的函数关系式 (3) OPQ 与 OAB能否相似，若能，求出点 P的坐标，若不能，试说明理由 答案：（ 1）由已知得 ，当 PQ AB时 ，则：，得： t=40/9 (2) 过 P 作 PC OB, 垂足为 C, 过 A作 AD OB, 垂足为 D (3)能相似。 PQ AB, OPQ OAB t= OP= , 其中 AD=6,OA= 10,OD=8 OC=,PC= , P 点坐标是（
18、 ， ） . 已知：如图， BC 为半圆的直径， O 为圆心， D是弧 AD的中点，四边形ABCD的对角线 AC、 BD 交于点 E。求证： ABE DBC。答案：提示： BAE= BDC，弧 AD=弧 DC， ABE= DBC，可证结论。 去年夏季山洪暴发， 某市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过 时，可以确保山体不滑坡某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知 ，斜坡 长 30米，坡角 改造后斜坡 与地面成 角，求 至少是多少米？（精确到 0.1米）答案：、约等于 11.0米 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 分析：连接 BE，过 E作 EN BC
19、于 N，则四边形 AEND是矩形，有 NE=AD，AE=DN，在 Rt ADB和 Rt BEN 中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出 AD和 BD、 AE的长 解：在 Rt ADB中， AB=30米 ABC=60 AD=AB sin ABC=30sin60=15 25.9826.0（米）， DB=AB cos ABC=30cos60=15米 连接 BE，过 E作 EN BC 于 N AE BC 四边形 AEND是矩形 NE=AD26米 在 Rt ENB中，由已知 EBN45， 当 EBN=45时， BN=EN=26.0 米 AE=DN=BN-BD=26.0-15=11米 答：
20、 AE至少是 11.0米 ABC中 , B=300,- C=450,并且 -AB-AC=4-2- -.求 ABC的面积 . 答案： +2 如图，在 ABC 中， C=90， D是 BC 边上一点， DE AB于 E， ADC=45，若 DE BE=1 5， BE=3，求 ABD的面积。答案： 考点：解直角三角形 分析：由已知条件可以证明 BED BCA，然后根据其对应边成比例可将DE的长求出来，进而可求出 AB的长，根据三角形的面积公式可求出结果 解：在 AED中， DE AB于 E， 又 DE： AE=1； 5， 设 DE=x，则 AE=5x， 由勾股定理， AD2=AE2+ED2=（ 5x
21、） 2+x2=26x2， AD= x 在 ADC 中， C=90， ADC=45， DAC=45 由勾股定理， AC2+DC2=AD2=26x2， AC=DC= x 在 Rt BED中， ED=x， BE=3， 由勾股定 BD2=ED2+BE2=x2+32=x2+9， BD= 在 Rt BED和 Rt BCA中， B是公共角， BED= BCA=90， BED BCA，而 AB=3+5x = 即 = 解关于 x的方程 3+5x= ， 两边平方得：（ 3+5x） 2=13 （ x2+9）， 化简得： 2x2+5x-18=0， 即（ x-1）（ 2x+9） =0， x1=2 x2=- x=ED 0
22、， x=ED=2， AE=5x=10 AB=AE+BE=10+3=13 S ABD= ED AB= 213=13 如图 23， ABCD为正方形， E为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A点与 E点重合，折痕为 MN，若 。 （ 1）求 ANE的面积； （ 2）求 sin ENB的值。 答案：（ 1） ，（ 2） 考点：解直角三角形 分析：要求 ANE的面积，就要求出这个三角形的底和高，由已知条件tan AEN 的值， DC+CE=10，又因为 AEN= EAN，所以可以先设 BE=a，从而求出 AB=3a， CE=2a进而求出 a的值，求出 BE=2， AB=6， CE=4求出底AD 的长，
23、然后再由 tan AEN 与边的关系，求出高，最后利用面积公式求面积；sin ENB的值用正弦定义求即可 解：由折叠可知： MN 为 AE的垂直平分线， AN=EN， EAN= AEN（等边对等角）， tan AEN=tan EAN= ， 设 BE=a， AB=3a，则 CE=2a， DC+CE=10， 3a+2a=10， a=2， BE=2， AB=6， CE=4， AE= =2 ， EG= AE= 2 = ， 又 = ， NG= ， AN= = ， AN=NE= ， S ANE= 2= ， sin ENB= = = 如图，小阳发现电线杆 AB的影子落在土坡的坡面 CD和地面 BC 上，量得
24、CD=8米， BC=20米， CD与地面成 30o角，且此时测得 1米杆的影长为 2米，求电线杆的高度 答案：（ 14+2 ）米 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 分析：构造相应的直角三角形，利用勾股定理及影长与实物比求解 解：如图，延长 AD交 BC 的延长线于点 F，过点 D作 DE BC 的延长线于点E DCE=30， CD=8米， CE=CD cos DCE=8 =4 （米）， DE=4米， 设 AB=x， EF=y， DE BF， AB BF， DEF ABF， = ，即 = ， 1米杆的影长为 2米，根据同一时间物高与影长成正比可得， = ， 联立，解得 x=14+2 （米
25、） 故答案：为： 14+2 某商场将进价为 30元的书包以 40元售出， 平均每月能售出 600个，调查表明：这种书包的售价每上涨 1元，其销售量就减少 10个。 （ 1）请写出每月售出书包的利润 y元与每个书包涨价 x元间的函数关系式； （ 2）设每月的利润为 10000 的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元。 （ 3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润。 答案：略 考点：二次函数的应用 分析：（ 1）根据设每个书包涨价 x元，由这种书包的售价每上涨 1元，其销售量就减少 10个，列出函数关系式， （ 2）用配方法
26、求出二次函数的最大值即可， （ 3）令二次函数等于 0，利用二次函数的性质 解得 x的取值范围 解答：解：（ 1） 每个书包涨价 x元， y=（ 40-30+x）（ 600-10x）， =-10x +500x+6000， 答： y与 x的函数关系式为： y=-10x +500x+6000； （ 2） y=-10x +500x+6000=-10（ x-25） +12250， 当 x=25时， y 有最大值 12250， 即当书包售价为 65元时，月最大利润为 12250元， 10000元不是月最大利润； （ 3）解方程 -10x +500x+6000=0 得， x =60， x =-10， 即当涨价 60元时和降价 10元时利润 y 的值为 0， 由该二次函数的图象性质可知， 当涨价大于 60元时以及降价超过 10元时利润 y 的值为负， 所以书包售价在大于 30元且低于 100元时商场就有利润 点评：此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出 y与 x之间的二次函数关系式是解题关键
