1、2010-2011学年北京市东城区高二下学期期末考试理科数学 选择题 已知复数 ， ，那么 在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 设函数 是可导的函数，若满足 ，则必有 A B C D 答案： A 若 ， ，则 的周期为 。类比可推出： 设 且 ，则 的周期是 A B C D 答案： C 一个停车场有 5 个排成一排的空车位，现有 2 辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有 2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有 A 6种 B 12种 C 36种 D 72种 答案： B 图中由函数 的图象与 轴围成的阴影部分面积，用定积分可表示为 A B C
2、D 答案： D 动点 （ 为参数）的轨迹方程是 A B C D 答案： B 已知 ， ，那么 等于 A B C D 答案： B 本题主要考查的是条件概率。由条件可知 ,所以应选 B。 的值为 A 32 B 31 C 30 D 29 答案： C 故选 C。 填空题 曲线 与 轴的交点的切线方程为 _。 答案： 有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为 （单位： ），其分布如下： 0 1 0.1 0.8 0.1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则两种品牌中质量好的是 _。（填甲或乙） 答案：甲 若 ， ，则 _； _。（其 中 是极点） 答案： ， 8 随机变量 的分布列
3、为 0 1 且 ，则 _； _。 答案： ； 2 已知 ，经计算得 ， ， ， ，推测当 时，有 _。 答案： 由数字 1， 2， 3， 4组成没有重复数字的 4位数，其中奇数共有_个。 答案： 解答题 （本小题满分 8分） 已知直线的极坐标方程为 ，圆 的参数方程（其中 为参数）。 （ ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （ ）将圆的参数方程化为普通方程； （ ）求圆 上的点到直线的距离的最小值。 答案：解：（ ）极点为直角坐标原点 ， 所以 ，可化为直角坐标方程： 。 3 分 （ ）将圆的参数方程化为普通方程： 。 6 分 （ ）因为圆心为 ， 所以点 到直线的距离为 ， 所以圆上的点
4、到直线距离的最小值为 。 8 分 （本小题满分 7分） 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上 0， 1， 2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作 ，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作 ，令 。 （ ）求 所取各值的概率； （ ）求 的分布列，并求出 的数学期望值。 答案：解：（ ） ； ； ； 。 4 分 （ ） 的分布列为 0 1 2 4 所以 的数学期望为。 7 分 （本小题满分 8分） 利用展开式 回答下列问题： （ ）求 的展开式中 的系数； （ ）通过给 以适当的值，将下式化简： ； （ ）把（ ）中化简后的结果作为 ，求 的值。 答案：解：（ ）因为所以
5、 ，即 的展开式中 的系数为 3360。 3分 （ ）令 ， ，得 。 6 分 （ ） 。 8 分 （本小题满分 8分） 数列 满足 。 （ ）计算 ，并由此猜想通项公式 ； （ ）用数学归纳法证明（ ）中的猜想。 答案：解：（ ）当 时， ，所以 。 当 时， ，所以 。 同理： ， 。 由此猜想 5 分 （ ）证明： 当 时，左边 ，右边 ，结论成立。 假设 时，结论成立，即 ， 那么 时， ， 所以 ，所以 ， 这表明 时，结论成立。 由 知对一切 猜想 成立。 8 分 （本小题满分 9分） 已知函数 。 （ ）当 时，求函数 的单调递增区间； （ ）求 的极大值； （ ）求证：对于任意 ，函数 在 上恒成立。 答案：解：定义域为 ，且 （ ）当 时， ，令 ， 解得 或 。故函数 在 ， 上单调递增。 2 分 （ ）令 ，即 ， 当 时，上式化为 恒成立。故 在 上单调递增，无极值； 当 时，解得 或 。故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减。 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 故 在 处有极大值 。 当 时，解得 或 。故 在 ，
