1、2010-2011学年江苏省南京雨花台中学第一学期期末考试高二数学试题 填空题 命题 “ ”的否定是 答案： 设点 A为单位圆上一定点，求下列事件发生的概率： （ 1）在该圆上任取一点 B，使 AB间劣弧长不超过 ； （ 2）在该圆上任取一点 B，使弦 AB的长度不超过 。 答案：（ 1）记 “在该圆上任取一点 B”为事件 C，由于是随机取点所以可认为每一点被取到的机会是均等的。于是事件 C的概率应等于弧 AB的长度与周长的比 即 （ 6 分） （ 2）记该事件为事件 D，由于是随机取点所以圆周上每一点被取到的机会是均等的，于是事件 D的概率应等于弧的长度与圆周的长度之比。 即 （ 13 分）
2、 答：事件 C发生的概率为 。 事件 D发生的概率为 。 （ 14分） 已知点 P是椭圆 C： 上的动点， F1、 F2分别为左、右焦点， O 为坐标原点，则 的取值范围是 答案： 令 ,则 ， ， 所以： 所以： 当 时，比值为 0，当 时，原式 。 (以 为自变量，则函数为增函数，所以当 时取最大值） 若函数 ，则 ( + ) = 答案： 由 ，可得 ，令 ，则，解得 ，所以 ，则，所以 ( + ) = . 以下伪代码： Read x If x-1 Then x+2 Else If -1 = , MN 与平面 PAB所成角的正弦值是 将一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字 1， 2
3、， 3， 4， 5， 6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为 （ 1）求 的概率； （ 2）求 的概率 P； （ 3）试将右侧求 中概率 P的伪代码补充完整 答案：解：先后抛掷两次，共有 66=36种不同的结果，它们是等可能的基本事件， 2分 （ 1）设 “ ”为事件 A，则事件 A的对立事件 为 “ ” 事件 包含 6个基本事件，则 P(A)=1-P( )=1-= （ 2）设 “ ”为事件 B，则事件 B包含 10个基本事件， P(B)= （ 3） i j6； mm+1 12 分 答： 的概率为， 的概率为 14 分 已知抛物线 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线 ： 的一个焦点 且
4、垂直于 的两个焦点所在的轴，若抛物线 与双曲线 的一个交点是 （ 1）求抛物线 的方程及其焦点 的坐标； （ 2）求双曲线 的方程及其离心率 答案：解：（ 1）由题意可设抛物线 的方程为 (2分 ) 把 代入方程 ，得 (4分 ) 因此，抛物线 的方程为 (6分 ) 于是焦点 (8分 ) （ 2）抛物线 的准线方程为 ， 所以， (10分 ) 而双曲线 的另一个焦点为 ，于是 因此， (12分 ) 又因为 ，所以 于是，双曲线 的方程为 (14 分 ) 因此，双曲线 的离心率 (16分 ) 设 p:实数 x满足 ,其中 ,命题 实数 满足. （ ）若 且 为真，求实数 的取值范围； （ ）若
5、是 的充分不必要条件 ,求实数 的取值范围 . 答案：解 :由 得 ， 又 ,所以 , 当 时， 1 ,即 为真时实数 的取值范围是 1 . 2 分 由 ,得 ,即 为真时实数 的取值范围是 . 4 分 若 为真，则 真且 真， 所以实数 的取值范围是 . 8 分 （ ） 是 的充分不必要条件，即 ,且 , 10 分 设 A= ,B= ,则 , 又 A= = , B= = ， 12 分 则 0 ,且 所以实数 的取值范围是 . 14分 设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 如图所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 （ 1）求满足条件的椭圆
6、方程和抛物线方程； （ 2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 答案：解：（ 1）由 得 ， 当 得 ， G点的坐标为 ， ， ， 过点 G的切线方程为 即 ， 令 得 ， 点的坐标为 ， 由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ， 即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ； （ 2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个，同理 以 为直角的 只有一个。 若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， 。 关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
