1、2010-2011年河北省衡水中学高一下学期期末考试数学 选择题 设直线 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是 A在平面 内有且只有一条直线与直线 垂直 B过直线 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 平行的平面不可能与平面 垂直 答案： B 有一个正四棱锥 ,它的底面边长与侧棱长均为 ，现用一张正方形纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸最小边长应为 A B C D 答案： B 考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 分析：本题考查的是四棱锥的侧面展开问题在解答时，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线
2、处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答 解：由题意可知：当正四棱锥沿底面将侧面都展开时如图所示： 分析易知当以 PP为正方形的对角线时， 所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小 设此时的正方形边长为 x则：（ PP） 2=2x2， 又因为 PP=a+2 a=a+ a， ( a+ a)2=2x2， 解得： x= 故答案：为： B 设长方体的三条棱长分别为 ，若长方体的所有棱的长度之和为 24，一条对角线长为 5，体积为 2，则 等于 A B C D 答案： B 正方形 ABCD中， E,F分别是 AB,CD的中点， G为 BF 的中点，将正方形沿 EF 折成 1200的二面角，则
3、异面直线 EF 与 AG所成角的正切值为 A B C D 答案： C 一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 A B C D 答案： C 考点：由三视图求面积、体积 分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为 1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积 解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱 由于圆柱的底面半径为 1，其高为 2，故其体积为 122=2 棱锥底面是对角线为 2的正方形，故其边长为 ，其底面积为 2，又母线长为2， 故其高为 = 由此知其体积为 2 = 故组合体的体积为 2+ 故选： C 等比数列 中
4、 , ,前 项和为 ,若数列 也为等比数列 ,则 等于 A B C D 答案： C 考点：等比数列的前 n项和 分析：根据数列 an为等比可设出 an的通项公式，因数列 an+1也是等比数列，进而根据等比性质求得公比 q，进而根据等比数列的求和公式求出 sn 解：因数列 an为等比，则 an=2qn-1， 因数列 an+1也是等比数列， 则（ an+1+1） 2=（ an+1）（ an+2+1） an+12+2an+1=anan+2+an+an+2 an+an+2=2an+1 an（ 1+q2-2q） =0 q=1 即 an=2， 所以 sn=2n， 故选 C 圆心角为 1350，面积为的扇形
5、围成一个圆锥，若圆锥的表面积为，则 :等于 A B C D 答案： A 考点：扇形面积公式 分析：设扇形半径为 1， l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可 解：设扇形半径为 1，则扇形弧长为 1 = ，设围成圆锥的底面半径为 r，则 2r= ， r= ， 扇形的面积 B= 1 = ，圆锥的表面积 A=B+r2= + = ， A： B=11： 8 故选 A 若不等式 对一切 成立 ,则 的最小值为 A 0 B -2 CD -3 答案： C 考点：一元二次不等式的应用 分析：将参
6、数 a与变量 x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论 解：不等式 x2+ax+10对一切 x (0， 成立，等价于 a-x- 对于一切 x （ 0，成立 y=-x- 在区间（ 0， 上是增函数 -x- - -2=- a- a的最小值为 - 故答案：为 :C 若二面角 为 ，直线 ，直线 ，则直线 与 所成角的范围是 A B C D 答案： D 考点：异面直线及其所成的角 分析：根据二面角的平面角大小可知 m与 所成的角的大小，考虑特殊位置可得 所在平面内的直线与 m所成角，从而求出所求 解：由二面角 -l-的大小为 ，直线 m ，得 m与 所成的角的大小为 ，于是 所在平
7、面内的直线与 m所成的角的最小值为 ，而最大值为 故选 D 若 ,则下列不等式 : 中 ,正确的不等式有 A B C D 答案： C 不等式组 的解集为 A B C D (2,4) 答案： C 如图 .五角星魅力无穷 ,移动点由 A处按图中数字由小到大的顺序依次运动 ,当第一次结束回到 A处时 ,数字为 6,按此规律无限运动 ,则数字 2010应在 A B处 B C处 C D处 D E处 答案： D 填空题 有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体个顶点，则这三个球的表面积之比为 答案： :2:3 等差数列 的前 n项和为 ，且 ，则 _。
8、 答案： -3,1 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中 , ,若二面角 C-AB-C1的大小为 600，则点 C到平面 ABC1的距离为 答案： 不等式 的解集为 答案： 解答题 本题满分 10分）解关于 的不等式 答案：解：当 时， 当 时， 当 时， （本题满分 12分）如图 ,空间四边形 OABC 各边以及 AC,BO 的边长都为 ,点 D,E分别是边 OA,BC 的中点 ,连结 DE (1)计算 DE的长 ; (2)求 A点到平面 OBC的距离 . 答案： (1) （ 2） （本题满分 12分）（本题满分 12分）如图 :在四棱台 ABCD-A1B1C1D1中，DD1垂直底面，且 DD
9、1=2，底面四边形 ABCD与 A1B1C1D1分别为边长 2和 1的正方形 . （ 1）求直线 DB1与 BC1夹角的余弦值； （ 2）求二面角 - -的余弦值 答案：两种方法：传统法和利用空间坐标系法（ 1） （ 2） 降雨量是指水平地面单位面积上所降水的深度 ,现用上口直径为 32cm，底面直径为 24cm、深度为 35cm的圆台形水桶来测量降雨量，如果在一次降雨过程中，此桶中的雨水深度为桶深的四分之一，求此次降雨量为多少？（圆台的体积公式为 ） 答案：解 :如图 ,水的高度 O1O2= cm，又 所以 ,所以水面半径 cm 故雨水的体积 cm3 水桶上口的面面积 cm2 每平方厘米的降
10、雨量 （ cm） 所以降雨量约为 53mm （本题满分 12分）已知数列 的前 项和 满足 （ 1）证明 是等比数列 . （ 2）设 ，求证 : 答案：（ 1） 当 故 是等比数列 （ 2）由（ 1）知 = .如图 ,在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中 ,AD/BC, ABC=90,PA平面 ABCD,PA=4. AD=2,AB= ,BC=6. （ ）求证 :BD 平面 PAC; （ ）求二面角 APCD 的余弦值 . 答案：解法一 :(1) PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, BD PA. 又 ， ABD=30, BAC=60 AEB=90，即 BD AC 4 分 又 PA
11、 AC=A, BD 平面 PAC. (2)过 E作 EF PC,垂足为 F,连结 DF, DE 平面 PAC,EF是 DF 在平面 PAC上的射影 ,由三垂线定理知 PC DF, EFD为二面角 APCD 的平面角 . 又 DAC=90 BAC=30 DE=ADsin DAC 1， AE ABsin ABE ， 又 AC ， EC= , PC=8. 由 Rt EFC Rt PAC得 在 Rt EFD中 , ， . 二面角 APCD 的大小为 . 解法二 :(1)如图 ,建立坐标系 ,则 2 分 ， ， BD AP, BD AC, 又 PAAC=A BD 平面 PAC. (2)设平面 PCD的法向量为 , 则 , 6 分 又 , , 解得 8 分 平面 PAC的法向量取为 , 10 分 二面角 APCD 的大小为 .
