1、2010-2011年浙江省嘉兴一中高二下学期期中考试数学理卷 选择题 设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为 ( ) A B 3 C 6 D无法确定 答案： C 定义在 R上的可导函数 f(x)，已知 的图象如图，则 y f(x)的增区间是 ( ) A (-， 1) B (-， 2) C (0,1) D (1,2) 答案： B 设函数 f(x) x3 x2 tan，其中 0， ，则导数 的取值范围是( ) A -2,2 B ， C ， 2 D ， 2 答案： D 观察按下列顺序排序的等式：猜想第 n(n N*)个等式应为 ( ) 答案： B 若 分别是定义在 R上
2、的奇函数和偶函数，当 时，且 ， 的解集为 ( ) A B C D 答案： A 如果 为定义在 R上的偶函数，且导数 存在，则 的值为 ( ) A 2 B 1 C 0 D -1 函数 的极值点的个数 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案： B 设 a、 b为正数，且 a+b4，则下列各式中正确的一个是 ( ) A B C D 答案： C 函数 f(x) alnx x在 x 1处取得极值，则 a的值为 ( ) A B -1 C 0 D - 答案： B 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A两条直线平行，同旁内角互补，如果 和 是两条平行直线的同旁内角， 则 B由平面三角形的性质，推测
3、空间四面体性质 C某校高二共有 10个班， 1班有 51人， 2班有 53人， 3班有 52人， 由此推测各班都超过 50人 D在数列 中 ，由此归纳出 的通项公式 答案： A 函数 y=2x3-3x2-12x+5在区间 0,3上最大值与最小值分别是 ( ) . A 5,-15 B 5,-4 C -4,-15 D 5,-16 答案： A 已知复数 z 1-2i，那么等于 ( ) A i B -i C i D -i 答案： C 填空题 已知 ，其导函数为，则 答案： .下表给出了一个 “三角形数阵 ”： 依照表中数的分布规律，可猜得第 10行第 6个数是 . 答案： 函数 y f(x)在点 P(
4、5,f(5)处的切线方程是 y -x 8，则 f(5) f(5)_. 答案： 不等式 恒成立，则 的最小值为 . 答案： .过点 作曲线 的切线，则切线斜率为 答案： .若 ,且 ,则 _ 答案： 解答题 设复数 ，若 ，求实数 的值 答案： 已知曲线 上一点 P(1,2)，用导数的定义求在点 P处的切线的斜率 答案：斜率 -2 已知直线 l1 为曲线 y x2 x-2在点 (1,0)处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且 l1 l2. (1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1， l2 和 x轴所围成的三角形面积 答案： (1)由题意知 y 2x 1，直线 l1 的斜率 k 21
5、1 3，所以直线l1 的方程为 y 3x-3，设直线 l2 过曲线 y x2 x-2上的点 B(b， b2 b-2)，则 l2的方程为 y (2b 1)x-b2-2，由于 l1 l2，则 2b 1 -， b -，故 l2 的方程为 y -x-. (2)l1与 l2 的交点坐标为 (， -)， l1， l2 与 x轴的交点坐标分别为 (1,0)， (-， 0)， 所以所求三角形面积 S | -| . 设函数 f(x) -x3 x2 (m2-1)x(x R)，其中 m0. (1)当 m 1时，求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线的斜率； (2)求函数 f(x)的单调区间 答案：解：
6、(1)当 m 1时， f(x) -x3 x2， f(x) -x2 2x，故 f(1) 1. 所以曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线的斜率为 1. (2)f(x) -x2 2x m2-1 令 f(x) 0，解得 x 1-m，或 x 1 m. 因为 m0，所以 1 m1-m. 当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： x (-， 1-m) 1-m (1-m， 1m) 1 m (1 m， ) f(x) - 0 0 - f(x) 极小值 极大值 所以 f(x)在 (-， 1-m)， (1 m， )内是减函数，在 (1-m,1 m)内是增函数 已知函数 ，且 (1)求函数 的表达式； (2)若数列 的项满足 ，试求 ； (3)猜想数列 的通项，并用数学归纳法证明 . 答案：解：（ 1） （ 2） （ 3） 用数学归纳法证明 . 设函数 . （ 1）求 的单调区间； （ 2）当 时，若方程 在 上有两个实数解，求实数 t的取值范围； （ 3）证明：当 mn0时， . 答案：、（ ） 时， 在（ 1 ， + ）上市增函数 当 时， 在 上递增，在 单调递减 （ ）由（ ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减 又 当 时，方程 有两解 （ ）要证： 只需证 只需证 设 ， 则 由（ ）知 在 单调递减 ，即 是减函数，而 mn ，故原不等式成立
