1、2010年广州市执信中学等四校联考高一第二学期期末考试数学试题 选择题 已知全集 ，集合 ，那么集合等于（ ） A B C D 答案： C 在 上存在 ，使 ，则 的取值范围是 A B C D 答案： B 数列 满足 ，若 和 分别为数列中的最大项和最小项，则 =（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： A 已知向量 ， ，若 与 垂直，则实数 =（ ） A 1 B -1 C 0 D 2 答案： B 圆锥的底面半径是 3，高是 4，则它的侧面积是（ ） A B C D 答案： B 函数 的图象的一条对称轴方程是（ ） A B C D 答案： D 设 ,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A
2、 B C D 答案： C 下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A B C D 答案： A 填空题 已知偶函数 在区间 单调递减，则满足 的 x 取值范围是 . 答案： 已知等差数列： .的前 项和为 ，使 最小的 = . 答案：， 19 直线 与圆 相交于 A、 B两点，则 . 答案： 一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个底角为 ，腰和上底均为 1等腰梯形（如图），则平面图形的实际面积为 . 答案： 已知函数 若 ，则 . 答案： 若 是方程 的解 ,其中 ,则 = . 答案： 解答题 （本小题满分 12分）已知函数 . （ 1）求 的递减区间； （ 2）当 时，求 的最小值以及取得
3、最小值时 的集合 . 答案：（ 1） ， （ 2） （ 1） （ 4分） 由 得 的递减去间为 ， （ 8分） （ 2）由 得 ， 当 时 ， 的集合： （ 12分） （本小题满分 12分）过点 有一条直线 l，它夹在两条直线与 之间的线段恰被点 P平分，求直线 l的方程 . 答案： （本小题满分 14分）如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个垂直于地面的平面内，已知飞机的高度为海拔 10千米，速度为 180千米 /小时，飞行员先看到山顶的俯角为 ，经过 2分钟后又看到山顶的俯角为 ，求山顶的海拔高度 . 答案： 在 中， ， ， . （ 4分） 根据正弦定理， ， ， . （ 8分） . （
4、 12分） 所以，山顶 P的海拔高度为 （千米） . （ 14分） （本小题满分 14分）如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都为 2， D为CC1中点。 （ ）求证： AB1 面 A1BD； （ ）求点 C到平面 A1BD的距离 . 答案：（ ）证明见 （ ） （ ）取 中点 ，连结 为正三角形， 正三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 （ 3分） 连结 ，在正方形 中， 分别为 的中点， ， 平面 ， 在正方形 中， ， 而 平面 （ 7分） （ ） 中， ， 在正三棱柱中， 到平面 的距离为 设点 到平面 的距离为 由 得 ， 点 到平面 的距离为 （ 14分） （本小题满分 14
5、分）函数 ，其中 ，若存在实数 ，使得 成立，则称 为 的不动点 . （ 1）当 ， 时，求 的不动点； （ 2）若对于任何实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若函数 的图像上 两点的横坐标是函数的不动点，且直线 是线段 的垂直平分线，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， 2 （ 2） （ 3） （ 1）当 ， 时， ，设 为不动点，则， 所以 ，即 的不动点是 ， 2。 （ 4分） （ 2）由 得， ， 由已知此方程有相异的实根，则 恒成立，即 ，化简得 （ 6分） 对任意的实数 恒成立，则 ，即 ，解得。 （ 8分） （ 3）设 ，则
6、 ，所以 。 记 中点 ，由（ 2）知 ，因为点 在直线上，所以 = ，化简得 （当 时，等号成立） （ 12分） 又 ，所以 。 （ 14分） （本小题满分 14 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ，设 （ ）证明数列 是等比数列； （ ）数列 满足 ，设 ，若对一切 不等式 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ ）证明见 （ ） 证明：（ ）由于 ， 当 时， 得 所以 （ 3分） 又 ， 所以 因为 ，且 ， 所以 所以 故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 （ 7分） （ ）由（ ）可知 ，则 （ 10 分） 由 ，得 即 所以 所以 （ 12 分） 设 ， 可知 在 为减函数，又 ， 则当 时，有 所以 故当 时， 恒成立 （ 14 分）
