1、2011届北京市西城区高三一模试卷与答案数学（理科） 选择题 已知集合 ， ，则 等于 A B C D 答案： C 如图，四面体 的三条棱 两两垂直， , ，为四面体 外一点 .给出下列命题 . 不存在点 ,使四面体 有三个面是直角三角形 不存在点 ,使四面体 是正三棱锥 存在点 ,使 与 垂直并且相等 存在无数个点 ,使点 在四面体 的外接球面上 其中真命题的序号是 A B C D 答案： D 考点：棱锥的结构特征 分析：对于 可构造四棱锥 CABD与四面体 OABC一样进行判定；对于 ，使AB=AD=BD，此时存在点 D，使四面体 ABCD是正三棱锥；对于 取 CD=AB，AD=BD，此时
2、 CD垂直面 ABD，即存在点 D，使 CD与 AB垂直并且相等，对于 先找到四面体 OABC的内接球的球心 P，使半径为 r，只需 PD=r，可判定 的真假 解： 四面体 OABC的三条棱 OA， OB， OC两两垂直， OA=OB=2， OC=3， AC=BC= ， AB=2 当四棱锥 CABD与四面体 OABC一样时，即取 CD=3， AD=BD=2 此时点 D，使四面体 ABCD有三个面是直角三 角形，故 不正确 使 AB=AD=BD，此时存在点 D，使四面体 ABCD是正三棱锥，故 不正确； 取 CD=AB， AD=BD，此时 CD垂直面 ABD，即存在点 D，使 CD与 AB垂直并
3、且相等，故 正确； 先找到四面体 OABC的内接球的球心 P，使半径为 r，只需 PD=r即可 存在无数个点 D，使点 O在四面体 ABCD的外接球面上，故 正确 故选 D 已知曲线 及两点 和 ，其中 .过 ，分别作 轴的垂线，交曲线 于 ， 两点，直线 与 轴交于点，那么 A 成等差数列 B 成等比数列 C 成等差数列 D 成等比 数列 答案： A 考点：等差关系的确定；等比关系的确定 分析：先求出 B1， B2两点的坐标，进而得到直线 B1B2的方程，再令 y=0求出 x3，即可得出结论 解：由题得： B1(x1， ）， B2（ x2， ） 直线 B1B2的方程为： y- = （ x-x
4、1） y- =- （ x-x1） 令 y=0 x=x1+x2，即 x3=x1+x2， 故选 A 已知函数 ， ，则下列结论正确的是 A两个函数的图象均关于点 成中心对称 B两个函数的图象均关于直线 成中心对称 C两个函数在区间 上都是单调递增函数 D两个函数的最小正周期相同 答案： C 考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性 分析：化简这两个函数的式，利用正弦函数的单调性和对称性，可得 A、 B、 D不正确， C 正确 解：函数 y=sinx+cosx= sin（ x+ ）， y=2 sinxcosx= sin2x， 由于 的图象关于点 (- ， 0 )成中心对称， 的图象不关于点 (- ，
5、 0 )成中心对称，故 A不正确 由于函数 的图象不可能关于直线 x=- 成中心对称，故 B不正确 由于这两个函数在区间 (- ， )上都是单调递增函数，故 C正确 由于 的 周期等于 2， 的周期等于 ，故 D不正确 故选 C 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 ， 则 处应填的数字为 A B C D 答案： B 考点：程序框图 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求 S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 3 2
6、是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四 圈 31 5 否 故最后当 i 5时退出， 故选 B 设向量 ， ，且 ，则 等于 A B C D 答案： D 考点：二倍角的余弦 分析：根据向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到 sin2的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 sin2的值代入即可求出值 解： ， = ，即 sin2= ， 则 cos2=1-2sin2=1-2 = 故选 D 设 ， ， ，则 A B C D 答案： A 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 A B C D 答案： B 本题利用直接法解决，即根据判断函数奇偶性的一般步骤：如果
7、定义域不关于原点对称，那么 f（ x）是非奇非偶函数，当定义域关于原点对称时，求出 f（ -x）与 -f（ x）判断 f（ -x） =f（ x）， f（ -x） =-f（ x）是否成立，如果满足 f（ -x） =-f（ x），那么 f（ x）就是奇函数如果满足 f（ -x） =f（ x），那么 f（ x）就是偶函数如果都不满足，那么 f（ x）是非奇非偶函数一一进行判定即可 解：由题意知： A， B， C， D定义域都关于原点对称 A中满足 y=2|x| f（ -x） =2|x| f（ -x） =f（ x） f（ x）是偶函数 B y=x2-x f（ -x） =（ -x） 2-（ -x） =x
8、2+x -f（ x） =-（ x2-x） f（ x） f（ -x）， f（ -x） -f（ x） 故不是奇函数也不是偶函数 C y=2x f（ -x） =-2x， -f（ x） =-2x f（ -x） =-f（ x） f（ x）是奇函数 D y=x3 f（ -x） =（ -x） 3， -f（ x） =-x3 f（ -x） =-f（ x）， f（ x）是奇函数 故选 B 填 空题 已知数列 的各项均为正整数，对于 ，有 当 时， _； 若存在 ，当 且 为奇数时， 恒为常数 ，则 的值为 _. 答案： ； 或 某展室有 9个展台，现有 件展品需要展出，要求每件展品独自占用 个展台，并且 件展品所
9、选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有 _种 答案： ， 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为 _.答案： 已知椭圆 经过点 ，则 _，离心率_. 答案： ， 如图，从圆 外一点 引圆 的切线 和割线 ，已知 ，圆心 到 的距离为 ，则圆 的半径为 _ 答案： 在复平面内，复数 对应的点到原点的距离为 _ 答案： 解答题 设 中的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 ,. （ ）当 时，求角 的度数；（ ）求 面积的最大值 . 答案：解：（ ）因为 ，所以 . 2 分 因为 ， ，由正弦
10、定理 可得 . 4分 因为 ，所以 是锐角， 所以 . 6 分 （ ）因为 的面积 ， 7 分 所以当 最大时， 的面积最大 . 因为 ，所以 . 9 分 因为 ，所以 ， 11 分 所以 ，（当 时等号成立） 12 分 所以 面积的最大值为 . 13 分 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 .且他们是否破译出密码互不影响 .若三人中只有甲破译出密码的概率为 . （ ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （ ）求 的值； （ ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 答案：解：记 “甲、乙、丙三人各自破译出密码 ”分别为事
11、件 ，依题意有 且 相互独立 . （ ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 . 3 分 （ ）设 “三人中只有甲破译出密码 ”为事件 ，则有 ， 5 分 所以 ， . 7 分 （ ） 的所有可能取值为 . 8 分 所以 ， ， ， = . 11 分 分布列为： 相关试题 2011届北京市西城区高三一模试卷数学（理科） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 如图
12、, 是边长为 的正方形， 平面 ， ， 与平面 所成角为 . ( )求证： 平面 ； ( )求二面角 的余弦值； （ ）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，使得 平面，并证明你的结论 答案： ( )证明： 因为 平面 ， 所以 . 2 分 因为 是正方形， 所以 ， 从而 平面 . 4 分 ( )解：因为 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系 如图所示 . 因为 与平面 所成角为 ，即 ， 5 分 所以 . 由 可知 ， . 6 分 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， 7 分 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 . 8 分 因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ， 所以 .
13、 9 分 因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 10分 ( )解：点 是线段 上一个动点，设 . 则 ， 因为 平面 ， 所以 ， 11 分 即 ，解得 . 12 分 此时，点 坐标为 ， ，符合题意 . 13 分 已知函数 ，其中 . （ ）求函数 的单调区间； （ ）若直线 是曲线 的切线，求实数 的值； （ ）设 ，求 在区间 上的最大值 . （其中 为自然对数的底数） 答案：解：（ ） ，（ ）， 3 分 在区间 和 上， ；在区间 上， . 所以， 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是. 4 分 （ ）设切点坐标为 ，则 7 分（ 1 个方程 1 分） 解得 ， . 8 分
14、 （ ） ， 则 ， 9 分 解 ，得 ， 所以，在区间 上， 为递减函数， 在区间 上， 为递增函数 . 10 分 当 ，即 时，在区间 上， 为递增函数， 所以 最大值为 . 11 分 当 ，即 时，在区间 上， 为递减函数， 所以 最大值为 . 12分 当 ，即 时， 的最大值为 和 中较大者； ，解得 ， 所以， 时， 最大值为 ， 13 分 时， 最大值为 . 14 分 综上所述，当 时， 最大值为 ，当 时，的最大值为 . 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 轴正半轴于点 ，交抛物线于 两点，其中点 在第一象限 . （ ）求证：以线段 为直径的圆与 轴相切； （ ）若 , , ，
15、求 的取值范围 . 答案：解：（ ）由已知 ,设 ，则 ， 圆心坐标为 ，圆心到 轴的距离为 ， 2 分 圆的半径为 ， 4 分 所以，以线段 为直径的圆与 轴相切 . 5 分 （ ）解法一：设 ，由 , ,得 ， ， 6 分 所以 ， ， 8 分 由 ，得 . 又 ， ， 所以 . 10 分 代入 ，得 ， ， 整理得 ， 12 分 代入 ，得 ， 所以 ， 13 分 因为 ，所以 的取值范围是 . 14 分 解法二：设 ， ， 将 代入 ，得 ， 所以 （ *）， 6 分 由 ， ，得 ， ， 7 分 所以， ， ， 8 分 将 代入（ *）式，得 ， 10 分 所以 ， . & 定义 为
16、有限项数列 的波动强度 . （ ）当 时，求 ； （ ）若数列 满足 ，求证： ； （ ）设 各项均不相等，且交换数列 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列 一定是递增数列或递减数列 答案：（ ）解：1 分 . 3 分 （ ）证明：因为 ， ， 所以 . 4 分 因为 ，所以 ，或 . 若 ，则当 时，上式 ， 当 时，上式 ， 当 时，上式 ， 即当 时， . 6 分 若 ， 则 ， .（同前） 所以，当 时， 成立 . 7 分 （ ）证明：由（ ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变 .（将此作为引理） 下面来证明当 时， 为递减数列 . （ ）证明 . 若 ，则由引理知交换 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾 . 若 ，则 ，与已知矛盾 . 所以， . 9 分 （ ）设 ，证明 . 若 ，则由引理知交换 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾 . 若 ，则 ，与已知矛盾 . 所以， . 11 分 （ ）设 ，证明 . 若 ，考查数列 ， 则由前面推理可得 ，与 矛盾 . 所以， . 12 分 综上，得证 . 同理可证：当 时，有 为递增数列 . 13 分
