1、2011届山东省莱芜市一中高三上学期期末考试数学文卷 选择题 已知集合 ，则 （ ） A B C D 答案： B 已知圆的方程为 设该圆中过点（ 3， 5）的最 长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则 四边形 ABCD的面积是 （ ） A B C D 答案： A 直线 相切于点（ 2， 3），则 b的值为（ ） A 3 B 9 C 15 D 7 答案： C 设变量 x， y满足约束条件： .则目标函数 z=2x+3y的最小值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 23 答案： B 如下图，已知 记 则当 的大致图像为（ ） 答案： C 在 中 , 若 ， ， ，则 为 （ ） A 1 B 2 C
2、 D 答案： A 对于直线 和平面 ，下列命题中，真命题是 A若 ，则 B若 则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 将函数 y= 的图像向左平移 个单位，再向上平移 1个单位，所得图像的函数式（ ） A.y= B.y= C.y=1+ D.y= 答案： D 已知 为等比数列， ， ，则 （ ） A B C D 16 答案： C 函数 f(x)=lnx-x2+2x+5的 零点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 若函数 的定义域和值域都是 0， 1，则 a=（ ） A 2 B CD 答案： D 已知 是实数 , 则 “ ”是 “ ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不
3、充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 填空题 已知 f(x)= .若 f(x）在定义域 R内单调递增，则实数 的取值范围为 . 答案： a=0 是抛物线 的一条焦点弦，若 ，则 的中点到直线的距离为 . 答案： /4 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中 标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是 . 答案： /3 已知向量 a=(3， -1)， b=（ 1， -2）若（ -a+b） (a+kb)，则实数 k的值是 . 答案： -1 解答题 （本小题满分 12分） 在 中，已知内角 ，设内角 ，周长为 （ 1）求函数 的式和定义 域； （ 2）求 的最大值
4、答案： （ 1）由正弦定理知 （ 2分） （ 4分） （ 8分） （ 2） 即 时， （ 12分） .（本 小题满分 12分） 如图甲，在平面四边形 ABCD中，已知 ,现将四边形 ABCD 沿 BD折起，使平面 ABD 平面 BDC（如图乙），设点 E、 F分别为棱 AC、 AD的中点 （ 1）求证： DC 平面 ABC； （ 2）设 ，求三棱锥 A-BFE的体积 答案：解：（ 1）证明：在图甲中 且 ,即 -2分 在图乙中， 平面 ABD 平面 BDC ， 且平面 ABD 平面 BDC BD AB 底面 BDC， AB CD -4分 又 ， DC BC,且 DC 平面 ABC -6分 （
5、2）解法 1： E、 F分别为 AC、 AD的中点 EF/CD，又由（ 1）知， DC 平面 ABC， EF 平面 ABC， -7分 -8分 在图甲中， , , 由 得 , -10分 -12分 （本小题满分 12分） 某班全部 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13秒和 18秒之间。将测试结果按如下方式分为五组：第一组 13,14）；第二组 14,15）； ；第五组17,18，表是 按上述分组方式得到的频率分布表。 分 组 频数 频率 13,14） 14,15） 15,16） 16,17） 17,18 （ 1）求 及上表中的 的值； （ 2）设 m,n是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生
6、的 百米测试成绩，求事件 “ ”的 概率 . 答案：（ 1）解：由表知 ， 2 分， 4 分 ， . 6 分 （ 2）由题知，第一组有 2名同学，设为 ，第五组有 4名同学，设为. 则 可能的结果为 : 共 15种， 分 其中使 成立： 共 8 种，. 10 分 所以，所求事件的概率为 . 12 分 .(本小题满分 12分 ) 已知：数列 与 -3的等差中项。 （ 1）求 ； （ 2）求数列 的通项公式 . 答案：解：（ 1）由题知， 与 3 的等差中项。 2 分 6 分 （ 2）由题知 7 分 得 即 10 分 也满足 式 即 是以 3为首项， 3为公比的等比数列。 12 分 .(本小题满分
7、 12分 ) 已知 椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，该椭圆经过点 ，且离心率为 （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）若直线 与椭圆 相交 两点（ 不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐 标 答案： （ 1）椭圆的标准方程为 4 分 (2) ， 得 : ， , .6 分 以 为直径的圆过椭圆 的右顶点， ， ， ， k，且均满足 ， . （ 9 分） 当 时， 的方程为 ，则直线过定点 与已知矛盾 当 时， 的方程为 ，则直线过定点 .11 分 直线 过 定点，定点坐标为 . （ 12分） (本小题满分 14分 ) 已知函数 （ 1）当 时，求函数 的单调递增区间； （ 2）是否存在 ，使得对任意的 ， 都有 ，若存在，求 的范围；若不存在，请说明理由 答案： 解： （ 1） .2 分 若 时，则 ， 此时 都有 ， 有 的单调递增区间为 和 .4 分 ii）若 ，则 ， 的单调递增区间为 6 分 （ 2）当 时， 且 ， 当 时，都有 此 时， 在 上单调递减 .9 分 又 在 上单调递减 11 分 由已知 解得 又 .13 分 综上所述，存在 使对任意 ，都有 成立 14 分
