1、2011届河南省郑州市高三毕业班第二次模拟考试数学理卷 选择题 设函数 y 的定义域为 M，集合 N y y ， x R，则 MN A B N C 1， ） D M 答案： B 设双曲线 4 （ t0）的两条渐近线与直线 x 围成的三角形区域（包含边界）为 D， P（ x， y）为 D内的一个动点，则目标函数 z x-y的最小值为 A -2 B -C 0 D -答案： B 设 f（ x） 则不等式 f（ x） 0时，（ 1） （ x）-2xf（ x） 0的解集为 _ 答案： 设抛物线 4y的焦点为 F，经过点 P（ 1， 4）的直线 l与抛物线相交于 A、B两点，且点 P恰为 AB的中点，则
2、_ 答案： 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_ 答案： 若复数 z mi（ i 为虚数单位）为实数，则实数 m _ 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知数列 的前 n项和 2- ，数列 满足 b1 1， b3 b7 18，且 2 （ n2） （ ）求数列 和 的通项公式； （ ）若 ，求数列 的前 n项和 答案：解： 由题意 ， 当 时， ， - 得 ， 即 ， -3分 又 ， 故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ； -4分 由 知，数列 是等差数列，设其公差为 ， 则 ，所以 ， ； 综上，数列 和 的通项公式为 -7分 ， ， - 得 ， -9分 整理得
3、， 所以 -12分 （本小题满分 12分） 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行 “加强 语文阅读理解 训练对提高 数学应用题 得分率作用 ”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示： 60分以下 61-70分 71-80分 81-90分 91-100分 甲班（人数） 3 6 11 18 12 乙班（人数） 4 8 13 15 10 现规定平均成绩在 80分以上（不含 80分）的为优秀 （ ）试分别估计两个班级的优秀率；
4、 （ ）由以上统计数据填写下面 22列联表，并问是否有 75的把握认为 “加强 语文阅读理解 训练对提高 数学应用题 得分率 ”有帮助 优秀人数 非优秀人数 合计 甲班 乙班 合计 答案：解： 由题意，甲、乙两班均有学生 50人， - 1分 甲班优秀人数为 30人，优秀率为 ， - 2分 乙班优秀人数为 25人，优秀率为 ， - 4分 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50% - 5分 优秀人数 非优秀人数 合计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 合计 55 45 100 - 7分 注意到 ， - 11分 所以由参考数据知，没有 75%的把握认为 “加强 语文阅读理解 训练
5、对提高 数学应用题 得分率 ”有帮助 . - 12分 （本小题满分 12分） 如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， A1D 平面 ABCD，底面 ABCD是边长为 1的正方形，侧棱 AA1 2 （ ）求三棱锥 C-A1B1C1的体积 V； （ ）求直线 BD1与平面 ADB1所成角的正弦值； （ ）若棱 AA1上存在一点 P，使得 ， 当二面角 A-B1C1-P的大小为 30时，求实 数 的值 答案：解： 在 中， -1分 注意到点 到面 的距离即为四棱柱 的高 的长， 所以 -3分 以点 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 ， 则 ， ， -5分 ， 设平面 的法向量 ， 由 得平面
6、 的一个法向量为 ， -7分 记直线 与平面 所成的角为 ，则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 -8分 ， 又 ， 设平面 的法向量 ， 由 得平面 的一个法向量为 ， -10分 则 ， 注意到 ，解得 为所求 -12分 （本小题满分 12分） 在平面直角坐标系 xOy中，点 P（ x， y）为动点，已知点 A（ ， 0）， B（ -， 0），直线 PA与 PB的斜率之积为定值 - （ ）求动点 P的轨迹 E的方程； （ ）若 F（ 1， 0），过点 F的直线 l交轨迹 E于 M、 N 两点，以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在 y轴上，求直线 l的方程 答案：解： 由题意 ，
7、- 2分 整理得 ， 所以所求轨迹 的方程为 ， - 4分 当直线 与 轴重合时，与轨迹 无交点，不合题意； 当直线 与 轴垂直时， ，此时 ，以 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为 ，不合题意； - 6分 当直线 与 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线 ， 的中点 ， 由 消 得 ， 由 得 -8分 所以 ， 则线段 的中垂线 的方程为： ， 整理得直线 ， 则直线 与 轴的交点 ， 注意到以 为对角线的正方形的第三个顶点恰在 轴上， 当且仅当 , 即 ， -10分 ， 由 将 代入 解得 ，即直线 的方程为 ， 综上，所求直线 的方程为 或 -12分 （本小题满分 12分） 已知 x ，
8、函数 f（ x） ， h（ x） 2e lnx（ e为自然常数） （ ）求证： f（ x） h（ x）； （ ）若 f（ x） h（ x）且 g（ x） h（ x）恒成立，则称函数 h（ x）的图象为函数 f（ x）， g（ x）的 “边界 ”已知函数 g（ x） -4 px q（ p， q R），试判断 “函数 f（ x）， g（ x）以函数 h（ x）的图象为边界 ”和 “函数 f（ x）， g（ x）的图象有且仅有一个公共点 ”这两个条件能否同时成立 若能同时成立，请求出实数 p、 q的值；若不能同时成立，请说明理由 答案：解： 证明：记 ， 则 ， -2分 令 ，注意到 ，可得 ， 所
9、以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 -4分 ， 即 ， 所以 -5分 由 知， 对 恒成立，当且仅当 时等号成立， 记 ，则 “ 恒成立 ”与 “函数 的图象有且仅有一个公共点 ”同时成立， 即 对 恒成立，当且仅当 时等号成立， 所以函数 在 时取极小值， -7分 注意到 ， 由 ，解得 ， -9分 此时 ， 由 知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 即 =0， ， -11分 综上，两个条件能同时成立，此时 -12分 选修 41 ：（本小题满分 10分）几何证明选讲 如图，在 ABC中， C为钝角，点 E， H分别是边 AB上的点，点 K 和 M分别 是边 AC 和 BC 上的点，
10、且 AH AC， EB BC， AE AK， BH BM （ ）求证： E、 H、 M、 K 四点共圆； （ ）若 KE EH， CE 3，求线段 KM的 长 答案：证明： 连接 ， ， 四边形 为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补， 故 四点共圆， - 3分 同理 四点共圆， 即 均在点 所确定的圆上，证毕 - 5分 连结 ， 由 得 五点共圆， - 7分 为等腰梯形， ， 故 ， 由 可得 ， 故 ， 即 为所求 -10分 选修 4-5：（本小题满分 10分）不等式选讲 已知实数 a、 b、 c、 d满足 ， ，求 ac bd的最大值 答案：解： ， -5分 ，即 ， -8分 当且仅当 ，即 时取最大值 ， 综上 的最大值为 -10分
