1、2011届福建省南安一中高三上学期期末考试数学理卷 选择题 若集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B C D 答案： D 考点： Venn图表达集合的关系及运算 专题：计算题 分析：图中阴影部分表示的集合是 AB，由集合 A=x|-2x3，能求出 AB 解答：解：图中阴影部分表示的集合是 AB， 由集合 A=x|-2x3， ， AB= ， 故选 D 点评：本题考查交集的概念及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意文氏图的合理运用 已知定义域为 的函数 ，如果对任意的 ，存在正数 ，有成立， 则称函数 是 上的 “倍约束函数 ”，已知下列函数：（ 1） ；（ 2）（ 3） ；（
2、4） ；其中是 “倍约束函数 ”的是 （ ） A（ 1）（ 3）（ 4） B（ 1）（ 2） C（ 3）（ 4） D（ 2）（ 3）（ 4） 答案： A 考点：函数的概念及其构成要素 分析：此题考查的是新定义问题与恒成立问题相结合的综合类问题在解答时可以逐一排查 ： 对任意 x D，存在正数 k，都有 成立 对任意 x D，存在正数 k，都有 k 成立 . 对 f（ x） =2x，易知存在 k=2符合题意；对 当 x趋近于 0时，则 趋近于正无穷大， 趋近于常数 ，所以 趋近于正无穷大，即不存在 k 恒成立。 对 = = ，从而存在正数 k 符合题意。 对 有 = = ，从而存在正数 k 符合
3、题意。故答案：为： 点评：此题考查的是新定义问题与恒成立问题相结合的综合类问题正确理解题目中给的新定义是解决问题的关健同时要掌握恒成立问题的解题方法 已知曲线 和直线 ( 为非零实数 )在同一坐标系中，它们的图形可能是（ ） A B C D 答案： C 考点：直线与圆锥曲线的关系 分析：可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数 a， b的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项 解： A选项中，直线的斜率大于 0，故系数 a， b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对； B选项中直线的斜率小于 0，故系数 a， b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对
4、； C选项中，直线斜率为正，故系数 a， b的符号相反，且 a正， b负，此时曲线应是焦点在 x轴上的双曲线，图形符合结论，可选； D选项中不正确，由 C选项的判断可知 D不正确 故选 C 设随机变量 服从标准正态分布 ，在某项测量中，已知 在（ -， -1.96内取值的概率为 0.025，则 = （ ） A 0.025 B 0.050 C 0.950 D 0.975 答案： C 设 是公差不为 0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ） A B C D 答案： A 在 ABC中，角 A、 B、 C所对应的边位 a、 b、 c ，若，则 ABC的形状是 （ ） A.等腰直角三角形
5、 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 答案： C 向量 与 共线（其中等于（ ） A B C -2 D 2 答案： A 考点：平行向量与共线向量 分析：现根据向量的数成、加法及减法运算，求出向量 m -n 与 +2 ，再由求得的两向量共线列关于 m和 n的表达式即可得出结论 解答：解：向量 =（ 1， 2）， =（ -2， 3）， 则 m -n =m(1， 2)-n(-2， 3)=（ m+2n， 2m-3n）， +2 =(1， 2)+2(-2， 3)=（ -3，8） 由 (m -n ) ( +2 )得，（ m+2n） 8 -（ 2m-3n） （ -3） =0，所以 14m+7
6、n=0， 则 =- 故选 A 函数 处的切线方程为 （ ） A B C D 答案： B 考点：导数几何意义 对函数 求导，得 ，则 ，即函数处的切线的斜率为 4，又 ，由直线点斜式方程可知，切线方程为 ，即 . 点评：题目为考查导数求切线方程基本题型，基础题 . 在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 （ ） A B C D 答案： B 已知 是实数，则 “ 且 ”是 “ 且 ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：综合题 分析：考虑 “a 0且 b 0”与 “a+b 0且 ab
7、0”的互推性 解答：解：由 a且 b 0 “a+b 0且 ab 0”， 反过来 “a+b 0且 ab 0” a 0且 b 0， “a 0且 b 0” “a+b 0且 ab 0”， 即 “a 0且 b 0”是 “a+b 0且 ab 0”的充分必要条件， 故选 C 点评：本题考查充分性和必要性，此题考得几率比较大，但往往与其他知识结合在一起考查 填空题 我们把平面内与直线垂直的非零向量 称为直线的法向量，在平面直角坐标系中利用动点轨迹的方法，可以求出过点 且法向量 的直线 (点法式 )方程为 化简后得 ；类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点 且法向量为 的平面 (点法式 )方程为 （请写出化简
8、后的结果） . 答案： 已知二面角 平面角大小为 ，动点 分别在面 内， P到的距离为 ， Q到 的距离为 ，则 P、 Q两点之间距离的最小值为 答案： 设 则 = 答案： 设变量 x、 y满足约束条件 ，则 的最大值为 答案： 复数 等于 答案： 解答题 (本小题满分 13分 ) 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在 各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （ ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 . 答案： (1) (2) （ ）由题意，可得 可能
9、取的值为 0， 2， 4， 6， 8（单位： min） . 事件 “ ”等价于事件 “该学生在路上遇到 次红灯 ”（ 0， 1， 2， 3， 4）， ， 即 的分布列是 0 2 4 6 8 的期望是（ 亦可） (本小题满分 13分 ) 已知几何体 的三视图及直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形 （ ）求此几何体的体积 的大小； （ ）求异面直线 与 所成角的余弦值； （ ）试探究在 上是否存在点 ，使得 ，并说明理由 . 答案： (1)16 (2) (3) (本小题满分 13分 ) 已知椭圆 过点 ，且点 在 轴上的射影恰为椭圆的一个焦点 （ ）求
10、椭圆 的方程； （ ）过 作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于 两点 .试问：四边形能否为平行四边形？若能，求出直线 的方程；否则说明理由 . 答案： (1) (2) (本小题满分 14分 ) 已知函数 （ 1）讨论 函数 的单调性； （ 2）当 为偶数时，正项数列 满足 ，求 的通项公式； （ 3）当 为奇数且 时，求证： 答案： (1) f(x)在 (0,1)是减函数 ,在 (1,+ )是增函数 (2) (3)略 (本小题满分 14分 ) 本题是选作题，考生只能选做其中两个小题三个小题都作答的，以前两个小题计算得分。 选修 4-4坐标系与参数方程选做题（本小题满分 7分） 已知曲线 C的参数方程是 为参数 )，且曲线 C与直线=0相交于两点 A、 B求弦 AB的长。 选修 4-2矩阵与变换选做题（本小题满分 7分） 已知矩阵 的一个特征值为 ,它对应的一个特征向量 。 （ ）求矩阵 M； （ ）点 P(1, 1)经过矩阵 M所对应的变换 ,得到点 Q，求点 Q的坐标。 选修 4-5不等式选讲选做题（本小题满分 7分） 函数 的图象恒过定点 ,若点 在直 线上 ,其中 ,求 的最小值。 答案：
