1、2011届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟理科数学试题 选择题 已知复数 为纯虚数，则实数 m的值为 （ ） A 1 B -1 C 4 D -4 答案： A 已知动点 P在直线 上，动点 Q在直线 上，线段PQ中点 满足不等式 ，则 的取值范围是 （ ） A B C D 10， 34 答案： B 函数 在 -2， 2上的最大值为 2，则 a的范围是 A B C D 答案： D 已知 ，则二项式 展开式中 的系数为 A 10 B -10 C 80 D -80 答案： D 如图所示程序框图，若输出的结果 y的值为 1，则输入的 x的值的集合为 A 3 B 2， 3 C D 答案： C 已知某
2、个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ） A B C D 答案： A 已知 的值为 （ ） A -8 B 8 CD 答案： A 已知 M是曲线 上的任一点，若曲线在 M点处的切线的倾斜角均不小于 的锐角，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 已知函数 的零点依次为 a， b，c，则（ ） A abc B cba C acb D bac 答案： C 根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数分别为（ ） A 12.5， 12.5 B 13， 12.5 C 12.5， 13 D 14， 12.5 答案： B 已知数列
3、 为等差数列， 其前 n项和，且 等于 A 25 B 27 C 50 D 54 答案： B 命题： “ ”的否定为 （ ） A B C D 答案： B 填空题 有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径。定理：如果圆 上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值 -1。写出该定理在有心曲线 中的推广 。 答案： 已知三棱柱 ABCA1B1C1 ，底面是边长为 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为 ，则该三棱柱的体积为 。 答案： 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙
4、两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 。 答案： 已知向量 m与 n满足 ，且 ，则向量 m与 n的夹角为 。 答案： 解答题 在极坐标系中， O为极点，已知圆 C的圆心为 ，半径 r=1， P在圆 C上运动。 （ I）求圆 C的极坐标方程； （ II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O为原点，以极轴为 x轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。 （ I）求圆 C的极坐标方程； （ II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O为原点，以极轴为 x轴正半轴） 中，若 Q为线段 OP的中点，求点 Q轨迹的直角坐标方程。
5、答案：解：（ ）设圆上任一点坐标为 ，由余弦定理得所以圆的极坐标方程为 （ 5分） （ ）设 则 ， 在圆上，则 的直角坐标方程为 （ 10分） 如图， AB是半圆 O的直径， C是圆周上一点（异于 A， B），过 C作圆 O的切线 过 A作直线 的垂线 AD，垂足为 D， AD交半圆于点 E，求证：CB=CE。 答案：证明：连结 , 是直径， ,又 ， / ，又 , , 已知函数 ，当 恒成立的 a的最小值为 k，存在 n个 正数 ，且 ，任取 n个自变量的值 （ I）求 k的值； （ II）如果 （ III）如果 ，且存在 n个自变量的值 ，使，求证： 答案：解：（ ）令 ，则 ， ， 当
6、 时，此时在 条件下， ， 则 在 上为减函数，所以 ， 所以 在 上为减函数， 所以当 时， ，即 ； 当 ，即 时，存在 ，使得 ， 当 时， ， 为减函数，则 ， 即 在 上递减，则 时， ， 所以 ，即 ； （ 2分） 当 ，即 时， ， 则 在 上为增函数，即当 时， ，即 ； 当 ，即 时，当 时， ， 则 在 上为增函数，当 时， ，即 综上， ，则 的最小值 （ 4分） （ ）不妨设 , ， ， 所以 在 上为增函数， （ 5分） 令 , 当 时 , 因为 ，所以 ， （ 7分） 即 在 上为增函数，所以 ， 则 ， 则原结论成立 （ 8分） （ ）（ ）当 时，结论成立； （
7、 ）假设当 结论成立，即存在 个正数 ， 时，对于 个自变量的值 已知 为抛物线 的焦点，点 为其上一点，点 M与点 N 关于 x轴对称，直线 与抛物线交于异于 M， N 的 A， B两点，且 （ I）求抛物线方程和 N点坐标； （ II）判断直线 中，是否存在使得 面积最小的直线 ，若存在，求出直线 的方程和 面积的最小值；若不存在，说明理由。 答案：（ ）有题意 ， 即 ，得 所以抛物线方程为 ， 4 分 （ ）由题意知直线的斜率不为 ，设直线 的方程为 （ ） 联立方程 得 ， 设两个交点 6 分 ，整理得 8 分 此时 恒成立， 由此直线 的方程可化为 从而直线 过定点 9 分 因为
8、，所以 所在直线平行 轴 三角形 面积 11 分 所以当 时 有最小值为 ，此时直线 的方程为 12 分 已知几何体 EABCD 如图所示，其中四边形 ABCD为矩形， 为等边三角形，且 点 F为棱 BE上的动点。 （ I）若 DE/平面 AFC，试确定点 F的位置； （ II）在（ I）条件下，求二面角 EDCF 的余弦值。 答案：（ ）连接 BD交 AC于点 ，若 平面 ， 则 ，点 为 BD中点，则 为棱 的中点 4 分 （ ） ， ， ， ，又 四边形 为矩形， 5 分 法（一） 中点 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴， 以 为 轴，如图建系 ，设平面 的法向量 ， ，不妨令 ，则
9、8 分 ，设平面 的法向量 ， 不妨令 则 11 分 设二面角 为 ， 12 分 法（二） 设二面角 的平面角为 ， 取 中点 O， 中点 ， ， ， 8 分 同理设二面角 的平面角为 ， 11 分 设二面角 为 ， ， ， 12 分 从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6次，分别为 甲： 7.7， 7.8， 8.1， 8.6， 9.3， 9.5 乙： 7.6， 8.0， 8.2， 8.5， 9.2， 9.5 （ 1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论； （ 2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取 1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于 8.5分的概
10、率。 （ 3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在7.5， 9.5之间，乙运动员成绩均匀分布在 7.0， 10之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.5分的概率。 答案：解：（ ） 由样本数据得 ，可知甲、乙运动员平均水平相同； 由样本数据得 ，乙运动员比甲运动员发挥更稳定； 甲运动员的中位数为 ，乙运动员的中位数为 （ 4分） （ ）设甲乙成绩至少有一个高于 分为事件 ,则 （ 6分） （ ）设甲运动员成绩为 ，则 乙运动员成绩为 ， （ 8分） 设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于 的事件为 ,则 （ 12分） 某巡逻艇在 A处发现在北偏东 距 A处 8处有一走私船，正沿东偏南的方向以 12海里 /小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以 海里 /小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向。 答案：设经过 小时在点 处刚好追上走私船，依题意： 在 中， , 所以 ， 6 分 所以 ，解得 ， 10 分 所以最少经过 小时可追到走私船，沿北偏东 的方向航行 12分 已知函数 （ I）解不等式 （ II）若不等式 的解集为空集，求 a的取值范围。 答案：） 的解集为 5 分 （ ） ， 的解集为空集，则 10 分
