1、2011年福建省安溪一中、惠安一中、养正中学高二上学期期末考试数学理卷 选择题 双曲线 的渐近线方程为 ( ) A B C D 答案： B 设 F1、 F2分别是双曲线 的左、右焦点， A和 B是以原点 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F2AB是等边三角形， 则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： D 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， P是侧面 BB1 C1C内一动点，若 P到直线 BC与直线 C1D1的距离相等，则动点 P的轨迹所在的曲线是（ ） A直线 B圆 C双曲线 D抛物线 答案： D 已知 ，则 的最小值是（ ） A 3 B 4 CD 答案
2、： B 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ） A 7 B 16 C 27 D 64 答案： C 已知抛物线 与直线 ， “ ”是 “直线 与抛物线 有两个不同交点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要 条件 D即不充分又不必要条件 答案： B 已知 为等差数列， ，以 表示 的前 项和，则使得 达到最大值的 是（ ） A 21 B 20 C 19 D 18 答案： B 已知 、 、 ，点 在平面 内，则 的值为（ ） A B 1 C 10 D 11 答案： D 在 中， 分别是角 的对边，若 的面积为，则 的值为（ ） A 1 B 2 CD 答案： D 下列有关
3、命题的说法错误的是 ( ) A命题 “同位角相等，两直线平行 ”的逆否命题为： “两直线不平行，同位角不相等 ” B “若实数 满足 ，则 全为 0”的否命题为真命题 C若 为假命题，则 、 均为假命题 D对于命题 ： , 则 ： 答案： C 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为（ ） A -2 B 2 C -4 D 4 答案： D 已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，若 ，则的值是（ ） A B C 6 D答案： C 填空题 一船在海上自西向东航行，在 处测得某岛 的方位角为北偏东 角，前进 km后在 处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛周围 km范围内（包括边界）
4、有暗礁，现该船继续东行，当 与 满足条件 _时，该船没有触礁危险 . 答案： 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线相交于 、两点，则 的最小值是 _ 答案： 若命题 “ ”为假命题，则实数 的取值范围是_. 答案： 已知等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 等于_. 答案： -6 解答题 （本小题满分 12分） 如图，正方体 的棱长为 ，点 为 的中点 答案：解：以顶点 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 （ 2分） （ 1）设 是平面 的一个法向量 （ 4分） 又 （ 6分） （ 2）设 是平面 的一个法向量， （ 8分） 又 与 所成的大小与二面角 的大小相等， 故二面
5、角 的余弦值为 （ 12分） （本小题满分 12分） 设 实数 满足 （其中 ； 实数 满足方程为双曲线若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围 答案：解：设, （ 2分） 因为方程 为双曲线， 即 为双曲线， 所以 ， （ 4分） 设 因为 是 的必要不充分条件 ,所以 是 的必要不充分条件 . （ 6 分） 所以 （ 8分） 则 ， （ 10分） 解得： 故实数 的取值范围为 （ 12分） （本小题满分 12分） 的两个顶点坐标分别是 和 ，顶点 A满足. （ 1）求顶点 A的轨迹方程； （ 2）若点 在 (1)轨迹上，求 的最值 . 答案：解：（ 1）由正弦定理知 （ 3分） A的轨
6、迹是以 B、 C为焦点的椭圆，其中长短轴长 ，半焦距为 A的轨迹方程为 （ 6分） （ 2）法一 如图，当直线 平移到 与椭圆相切时， 取最小，当直线平移到 与椭圆相切时， 取最大， （ 8分） （ 11分） 当 时， ，此时 不为最值 ， （ 12分） 法二： P在 (1)轨迹上，设 （ 7分） （ 9分） （其中 ） ， （ 11分） 当 时， ，此时 不为最值 ， （ 12分） （本小题满分 12分） 已知 是边长为 2的等边三角形， 平面 ， ， 是 上一动点 （ 1）若 是 的中点，求直线 与平面 所成的角的正弦值； （ 2） 在运动过程中，是否有可能使 平面 ？请说明理 由 答案：
7、（ 1）解：取 AC中点 E， AP的中点 F，连结 FE、 BE、则 FE PC，BE A C FE 面 ABC 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,-1,0) B( ,0,0) C(0,1,0) P (0,1, ) F (0,1, ) 2 分 设 是平面 PBC的法向量， ，则 0，且 0， 且 取 -1， - ， 0，则 4 分 由题设 是 的中点，则 D与 F重合，即 D的坐标为 (0,1, ) 6 分 直线 BD与面 PBC所成角正弦值为 7 分（ 2） (0,2, ) (- ,1,0) 9 分 2 0 AP不垂直于 BC AP不可能垂直于面 DBC，即不存在 D点，使 AP
8、面 DBC 12 分 （本小题满分 12分） 已知数列 （ 1）当 为何值时，数列 可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式； （ 2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 答案：解：（ 1） 解得： 3 分 当 时， ，故 不合题意舍去； 4 分 当 时，代入 可得 5 分 所以数列 构成首项为 ，公差为 的等差数列， 所以 6 分 （ 2）由 可得： 数列 构成首项为 ，公比为 3的等比数列，则10 分 12 分 （本小题满分 14分） 如图，已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 设直线 与椭圆 相交于 两点，点 关于 轴对称点为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若以线段 为直径的圆过坐标原点 ，求直线 的方程； （ 3）试问：当 变化时，直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由 答案：解：（ 1）由题意可得 ，解得 所以椭圆 的方程为 （ 4分） （ 2）由 设 ，则 （ 5分） 因为 以线段 为直径的圆过坐标原点 ，即 所以 ， （ 7分） 所以 ， 故所求直线 的方程为 （ 9分） （ 3）由（ 2）知： 则直线 的方程为 ，令 ，得 （ 11分） （ 13分） 这说明，当 变化时，直线 与 轴交于定点 （ 14分）
