1、2011年福建省福州市第八中学高二上学期期末考试数学理卷 选择题 命题 的否定是 A B C D 答案： D 设向量 是空间一个 基底，则一定可以与向量 构成空间的另一个基底的向量是 A B C D 答案： C 双曲线 的离心率 ，则 m的取值范围是 A B CD 答案： A 已知 =3 , A,B分别在 x轴和 y轴上运动， O 为原点，,则动点 P的轨迹方程是 A B C D 答案： B 已知 P 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ，分别是双曲线的左右焦点，若 ，则 等于 A 11 B 5 C 5或 11 D 7 答案： A 如图，四面体 ABCD中，设 M是 CD的中点，则 化
2、简的结果是 A B C D 答案： A “直线 l与平面 a内无数条直线都垂直 ”是 “直线 l与平面 a垂直 ”的 A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 答案： C 已知 , ，则向量 ， 的夹角为 A B C D 答案： D 下列命题是假命题的是 A命题 “若 则 全为 0”的逆命题 B命题 “全等三角形是相似三角形 ”的否命题 C命题 “若 则 有实数根 ”的逆否命题 D命题 “ 中，如果 ，那么 ” 的逆否命题 答案： B 在空间直角坐标系中，点 A（ 1,2,1）关于 x轴对称的点的坐标为 A (-1,2,1） B（ -1,-2,1） C（ 1,-2
3、,-1） D（ 1,2,-1） 答案： C 双曲线 5 +k =5的一个焦点是（ ， 0），那么实数 k的值为 A -25 B 25 C -1 D 1 答案： C 填空题 如图，在 的二面角 内， 于 ，于 ，且 ，则 的长为 。答案： 设椭圆 的长轴两端点为 、 ，异于 、 的点 在椭圆上，则 的斜率之积为 . 答案： （本题满分 13分） 已知顶点在坐标原点，焦点为 的抛物线 与直线 相交于 两点， . （ 1）求抛物线 的标准方程； （ 2）求 的值； （ 3）当抛物线上一动点 从点 到 运动时，求 面积的最大值 答案：解：（ 1）设所求的抛物线方程为 ，根据题意 ， 所求的抛物线标准方
4、程为 . 2 分 （ 2）设 A（ x1,y1)、 B(x2,y2), 由 得 4x2+4(b-1)x+b2=0, 3 分 =16(b-1)2-16b20. . 5 分 又由韦达定理有 x1+x2=1-b,x1x2= , = 7 分 即 . . 8 分 （本题满分 14分） 已知四边形 ABCD是正方形， P是平面 ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2， 是棱 的中点建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： (1)求证： ； (2) 求证： ； (3)求直线 与直线 所成角的余弦值 答案：解：连结 AC、 BD交于点 O，连结 OP。 四边形 ABCD是 正方形，
5、 AC BD PA=PC， OP AC，同理 OP BD， 以 O 为原点， 分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系2 分 6 分 10 分 14 分 三、解答题（本大题共有 3个小题，共 40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。） 13. (本小题满分 13分 ) 已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 ：关于 x的方程 无实根，若 “ ”为假命题， “ ”为真命题，求实数 的取值范围 . 答案： 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 2米时，测得拱桥内水面宽为 12米，当水面升高 1米后，则拱桥内水面的宽度为 _米 . 答案： 已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 A、
6、B两点 ,若 ，则 =_ 答案： 若抛物线 上横坐标为 6的点到焦点的距离等于 8，则焦点到准线的距离是 _. 答案： 已知向量 ， ， 且 ，则 = _. 答案： 解答题 (本小题满分 12分 ) 如图，在平行四边形 中， ，将它们沿对角线折起，折后的点 变为 ，且 （ 1）求点 到平面 的距离； （ 2） 为线段 上的一个动点，当线段 的 长为多少时 , 与平面 所成的角为 ？ 答案： 解法一：（ 1） 又 过点 做 于 ，则 即为 到平面 的距离，则 6 分 （ 2）过 作 于 ，则 ，故 ，连 ， 则 就是 与平面 所成的角 设 ， ， ，故知 ，则 ， 同理可知， ， 在 中，由余弦
7、定理得 若 ，则 ，故有 ，解得 ， 即 时， 与平面 所成的角为 12 分 解法二： 又 AB 平面 BC1D 依题意，建立空间直角坐标系 B-xyz 2 分 则 A(0,0,1),C1 (1, ,0),D(0, ,0) 设 是平面 的一个法向量， 解得 ，令 y=1， 4 分 到平面 的距离 6 分 （ 2）设 ，则 又 是平面 BC1D的一个法向量 8 分 依题意得 10 分 有 0得， ，即 时， 与平面 所成的角为 12 分 (本小题满分 13分 ) 如图，已知椭圆 : 的离心率为 ，左焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交椭圆于 两点 （ ）求椭圆 的方程； （ ）求 的取值范围； （ ）在 轴上，是否存在定点 ，使 恒为定值？若存在，求出 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由 答案： 所以 的取值范围是 6 分 （ ）设 ， 则 又 ， 7 分 设存在点 ，则 ， ， 所以 ， 9 分 要使得 ( 为常数 )，只要 ， 从而 ， 即 11 分 由（ 1）得 ， 代入（ 2）解得 ，从而 ， 故存在定点 ，使 恒为定值 13 分
