1、2012-2013学年四川成都棠湖中学外语实验学校高二5月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 , ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ，所以 ， 。故选 B。 考点：集合的运算 点评：集合有三种运算：交集、并集和补集。在运算前，一般需将集合进行变化，像本题就是结合不等式的性质对集合进行变化。 已知 分别为双曲线 （ a 0,b 0）的左、右焦点， O 为原点，A为右顶点， 为双曲线左支上的任意一点，若 存在最小值为 12a，则双曲线离心率 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：令 ，则 ，又因为 ，所以 ，其最小值为 12a，则 ，当
2、时，取等号，又因为 ，所以 ，解得 。故选 C。 考点：双曲线的性质 点评：此题相对较难。在求曲线的离心率时，我们要注意：对于椭圆， ；对于双曲线， 。 P是双曲线 的右支上一点， M、 N 分别是圆（ x 5） 2 y2 4和 （ x-5） 2 y2 1上的点，则 |PM|-|PN|的最大值为（ ） . A 6 B 7 C 8 D 9 答案： D 试题分析：如图， PM过双曲线的焦点 F1， PN的延长线过双曲线的焦点 F2，这种情况能使得 |PM|-|PN|取得最大值，则 |PM|-|PN|=9。故选 D。 考点：双曲线的定义 点评：关于圆的题目，若涉及到线段长度的最值时，一般都考虑线段经
3、过圆心的情况。 己知抛物线方程为 （ ），焦点为 ， 是坐标原点， 是抛物线上的一点， 与 轴正方向的夹角为 60，若 的面积为 ，则 的值为（ ） A 2 B C 2或 D 2或 答案： A 试题分析：抛物线的焦点 ，准线 ，令 A的坐标为（ a,b）则 ， ，因为 ，所以由得， ，解得 ，所以 ，因为， ，所以 ，解得 。故选 A。 考点：抛物线的性质 点评：关于抛物线的题目，特别是涉及到线段长度的题目，一般都要利用到抛物线的特点：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 已知双曲线 的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 答案：
4、 A 试题分析：圆 化为 ，其圆心为 ，半径 ，由题意知，双曲线的右焦点为 ，另双曲线的的一条渐近线为 ，即 ，由于渐近线均和圆相切，则 ，化为 ，结合 得 ， ，所以双曲线的方程 。故选 A。 考点：双曲线的性质 点评：解决平面几何的题目，首先是画图。当题目出现曲线的方程时，假如不是标准形式，则需要将其变成标准形式。 设 ,则 的值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：取 得， ，取 得， ，化为 （ 1）取 得， ，化为 （ 2），由（ 1）（ 2）两式相加得，= 。故选 B。 考点：两项式定理 点评：对于两项式展开式，要求关于系数的问题，一般是通过取值。 在 中，内角 所对的
5、边分别为 ，其中 ，且面积为 ,则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，解得 ，有余弦定理得， ，有正弦定理 得， 。故选 D。 考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式。 点评：解三角形的题目，都离不开正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，有时还跟三角函数结合起来。 某高三学生希望报名参加某 6所高校中的 3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是 ( ) A 16 B 24 C 36 D 48 答案： A 试题分析：当该学生不报考这两所学校时，则从其它四所学校选 3所，选法为；当该学生报考这两所学校
6、中一所时，则从其它四所学校再选 2所，选法为，所以该学生不同的报考方法种数是 。故选 A。 考点：排列和组合 点评：关于排列和组合的题目，也是必考的热点。解决此类题目，需细心。 已知向量 则与 同方向的单位向量是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： ，令其同方向的单位向量为 ，则 ，解得 ，所以所求的向量为 。故选 A。 考点：向量的运算；共线向量；单位向量。 点评：在本题中，两向量同方向说明两向量共线。而对于单位向量，它的模等于 1. 抛物线 的焦点坐标为（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：抛物线 化为 ，其焦点为 ，故选 D。 考点：抛物线的性质 点评：抛物线 的
7、焦点为 ，准线为 。要得到抛物线的焦点和准线，需将其化为标准形式。 填空题 设 A、 B是抛物线 上的两个动点，且 则 AB的中点 M到轴的距离的最小值为 。 答案： 试题分析：当线段 AB过抛物线的焦点时， AB的中点 M到 轴的距离最小。因为 结合抛物线的定义知， A、 B两点到准线的距离之和为 6，所以中点M到准线的距离为 3，另抛物线 化为 ，其准线为 ，则AB的中点 M到 轴的距离为 2. 考点：抛物线的性质 点评：要得到抛物线的焦点和准线，需将抛物线变成标准形式。另抛物线的特点：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是 _ _
8、. 答案： 试题分析：几何是一个四棱锥，如图。体积P 考点：三视图；几何体的体积 点评：由三视图得到几何体是解决本题的关键。由几何体画出三视图我们也要会。 从集合 内任取一个元素 则 满足的概率为 . 答案： 试题分析：如图， ，由 得，点 B的坐标为 ，题目所求的概率等于阴影部分的面积除以圆 O 的面积，即。考点：几何概型 点评：求事件的概率，只要求出事件占总的基本事件的比例即可。 执行下边的程序框图，则输出的 T的值是 答案： 试题分析： 成立， ， ， 成立， ， ， ； 成立， ， ， ； 不成立， 考点：程序框图 点评：关于程序框图的题目，相对都比较简单，只要按照过程一步步写就可以了
9、，但一些题目需要找出里面的规律。 若 展开式的常数项为 60，则常数 = 答案： 试题分析：由两项式定理得通项 得，取 时为常数，则 ，解得 。 考点：两项式定理 点评：在两项式定理中，通项 是最重要的知识点，解决此类题目，必然用到它。 解答题 已知 ，函数 （ ）若 求 的值； （ ）求函数 的最大值和单调递增区间。 答案：（ ） 2（ ） ，增区间为试题分析：解：（ ） ， 又 ， 且 ； （ ）由题知 当 时， 由 解得，增区间为 考点：向量的运算；三角函数的性质 点评：解决三角函数的题目，一般都需要将函数变成： 的形式。若要得到它的性质，则只需结合正弦函数 。 某学校为调查高二年级学生
10、的身高情况，按随机抽样的方法抽取 200名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（ 1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（ 2）已知图（ 1）中身高在 170175cm 的男生人数有 48 人 （ ）在抽取的学生中，身高不超过 165cm的男、女生各有多少人？并估计男生的平均身高。 （ ）在上述 200名学生中，从身高在 170175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出 7人，从这 7人中选派 4人当旗手，求 4人中至少有一名女生的概率 答案：（ ） 120、 80， 173.75（ cm）（ ） 试题分析：解：（ 1）由图 (1)知：身高在 170175cm的男生的频率为，
11、设男生总人数为 m,则 ， (人 )， 女生总人数为 200-120=80（人）， 身高不超过 165cm的男生有 （人）， 身高不超过 165cm的女生有 （人）， 男生的平均身高为： + + + + =173.75（ cm） (2) 身高在 170175cm之间的学生按男生为 （人）， 身高在 170175cm之间的学生按女生为 （人）， ， 抽出 7人中，有 6个男生， 1个女生， 这 7人中选派 4人当旗手的方法数共有 (种 )， 4人中至少有一名女生的方法数为 （种）， 4人中至少有一名女生的概率为 。 考点：排列分布直方图；概率 点评：此类题目跟实际联系大，是常考知识点，因而我们需
12、要学会看图。 给定直线 动圆 M与定圆 外切且与直线 相切 （ 1）求动圆圆心 M的轨迹 C的方程； （ 2）设 A、 B是曲线 C上两动点（异于坐标原点 O），若 求证直线 AB过一定点，并求出定点的坐标 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）由已知可得：定圆的圆心为（ -3， 0），且 M到（ -3， 0）的距离比它到直线 的距离大 1， M到（ -3， 0）的距离等于它到直线的距离， 动圆圆心 M的轨迹为以 F（ -3， 0）为焦点，直线 为准线的抛物线，开口向左， ， 动圆圆心 M的轨迹 C的方程为： （也可以用直接法： ，然后化简即得： ）； （ 2）方法一：经分析：
13、OA,OB的斜率都存在，都不为 0，设 OA： ，则OB： ， 联立 和 的方程求得 A（ ， ），同理可得 B（ ，） , , 即 : , 令 ,则 , , 直线 AB与 x轴交点为定点， 其坐标为 。方法二：当 AB垂直 x轴时，设 A ，则 B， ， 此时 AB与 x轴的交点为 ； 当 AB 不垂直 x轴时，设 AB： ，联立 和 有： ， ， ，即： ， AB： ，此时直线 AB与 x轴交点为定点，其坐标为, 综上：直线 AB与 x轴交点为定点，其坐标为 。 考点：抛物线的方程； 点评：对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时，一般都可以用到跟与系数的关系式：在一元二次方程 中， 。
14、如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面与圆 所在的平面互相垂直已知 , （ ）求证：平面 平面 ； （ ）求直线 与平面 所成角的大小； （ ）当 的长为何值时，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为？ 答案：（ ）如下（ ） （ ） 试题分析：（ I）证明： 平面 平面 , , 平面 平面 = ， 平面 平面 ， ， 又 为圆 的直径， ， 平面 平面 ， 平面 平面 （ II）根据（ ）的证明，有 平面 ， 为 在平面 内的射影 , 因此， 为直线 与平面 所成的角 ， 四边形 为等腰梯形， 过点 作 ，交 于 , ，则 在 中，根据射影定理 ，得 ， 与平面 所成角的
15、大小为 （ ）设 中点为 ，以 为坐标原点， 、 、 方向分别为 轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）设 ，则点 的坐标为 则 ,又 设平面 的法向量为 ，则 , 即 令 ，解得 ， 由（ I）可知 平面 相关试题 2012-2013学年四川成都棠湖中学外语实验学校高二 5月月考理科数学试卷（带） 已知数列 的前 项和为 ，且 ， 数列 满足 ，且点 在直线 上 （ ）求数列 、 的通项公式； （ ）求数列 的前 项和 ； （ ）设 ，求数列 的前 项和 答案：（ ） （ ） （ ） 试题分析：解：（ ）当 ， ；当 时， ， 是等比数列，公比为 2，首项 又点 在直线 上， ， 是等差
16、数列，公差为 2，首项 ， （ ） 得 （ ） 考点：等差、等比数列 点评：对于求一般数列的通项公式或前 n项和时，常用方法有：错位相减法、裂变法等，目的是消去中间部分，本题就用到错位相减法。 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 上顶点为 ，在 轴负半轴上有一点 ，满足 ，且 （ ）求椭圆 的离心率； （ ） 是过 三点的圆上的点， 到直线 的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆 的方程； （ ）在（ ）的条件下，过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于两点，线段 的中垂线与 轴相交于点 ，求实数 的取值范围 答案：（ ） （ ） （ ） 试题分析：解：（ ）连接 ，因为 ， ，所以 ， 即 ，故椭圆的离心率 （ ）由（ 1）知 得 于是 , ， 的外接圆圆心为 ），半径 到直线 的最大距离等于 ，所以圆心到直线的距离为 ， 所以 ，得 ，椭圆方程为 （ ）由（ ）知 , ： 代入消 得 因为 过点 ，所以 恒成立 设 ， 则 ， 中点 当 时， 为长轴，中点为原点，则 当 时 中垂线方程 令 ， ， ， 可得 综上可知实数 的取值范围是 考点：椭圆的方程；椭圆的性质； 点评：关于曲线的大题，难度相对都较大。对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时，一般都可以用到跟与系数的关系式：在一元二次方程中， 。
