1、2012-2013学年湖南省师大附中高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（ ） A正三角形的直观图仍然是正三角形 . B平行四边形的直观图一定是平行四边形 . C正方形的直观图是正方形 . D圆的直观图是圆 答案： B 试题分析：由斜二测画法的步骤可知平行四边形的直观图一定是平行四边形，故选 B 考点：本题考查了斜二测画法的概念运用 点评：掌握斜二测画法的步骤是解决此类问题的关键 直线 被圆 所截得的弦长为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 圆心（ 4,0）到直线 x-y-2=0的距离为 ， 截得
2、的弦长为 ，故选 B 考点：本题考查了直线与圆的位置关系 点评：求直线与圆的弦长问题要注意利用重要的直角三角形处理。 已知圆锥的底面半径为 1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设即圆锥的母线长是 l，半圆的弧长是 l，由于圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，则 2=l，则 l =2，所以圆锥的高为 ，故圆锥的体积为 ，选 A 考点：本题考查了圆锥的性质 点评：弄清展开图与圆锥之间的长度关系是解决此类问题的关键 若 a、 b表示两条不同直线， 、 表示两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：对于
3、 B， 或 a与 b相交、异面，故 B不正确；对于 C， 或 a与 b异面，故 C不正确；对于 D， a可以与面斜交，故 D不正确故选 A 考点：本题考查了空间中的线面关系 点评：正确理解线面关系的平行、垂直定理是解决此类问题的关键 已知圆 与圆 相交，则圆与圆 的公共弦所在的直线的方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， 两圆的公共弦所在直线方程为 x+2y-1=0， 考点：本题考查了圆与圆的位置关系 点评：两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程 已知一个棱长为 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由正方体的体对角线为
4、其外接球的直径知， 2r= , 外接球的表面积为 考点：本题考查了球组合体的性质 点评：熟悉正方体、长方体等常见棱柱的外接球的球心和半径是解决此类问题的关键 已知直线 若 ，则 的值为（ ） A . B C D 答案： C 试题分析： ， 即 ，解得 m=考点：本题考查了两直线的位置关系 点评：掌握两直线垂直的充要条件是解决此类问题的关键 已知直线的倾斜角为 45，在 y轴上的截距为 2，则此直线方程为（ ） A . B C D 答案： A 试题分析： 直线的倾斜角为 45， k=tan45=1，又 y轴上的截距为 2，代入斜截式得直线方程 ，故选 A 考点：本题考查了直线方程的求法 点评：熟
5、练掌握五种类型的直线方程特点即可解决此类问题 填空题 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则它的体积等于 . 答案： 试题分析： 圆柱的侧面展开图是边长为的正方形， 圆柱的底面半径为 ，高为 4， 圆柱的体积为 。 考点：本题考查了圆柱的性质 点评：熟练掌握圆柱的展开图的性质是解决此类问题的关键 直线 与以 A(3,2)、 B(2,3)为端点的线段有公共点，则 k的取值范围是 _. 答案： 试题分析： 直线 恒过定点（ 0,1）， 直 与以 A（ 3， 2）、B（ 2， 3）为端点的线段有公共点，就是该直线与线段 AB相交，根据直线的斜率关系可知 ， k的取值范围是 考点：本题考查了直线的斜率
6、 点评：考查直线的斜率的应用，斜率的求法，考查数形结合的思想 无论 为何值，直线 恒过一定点 ，则点的坐标为 _. 答案： (3,1) 试题分析： ， ，由于与 x,y无关，故 ， ，即点 P（ 3,1） 考点：本题考查了直线恒过定点问题 点评：直线的恒过定点问题往往转化为方程组的求解问题 已知点 到平面 的距离分别为 和 ，当线段与平面 相交时，线段 的中点 到 平面的距离等于 _ 答案： 试题分析：易知 A、 B两点在平面 的异侧时，点 M到平面 的距离为 1 考点：本题考查了空间中的距离 点评：本题以点面距离为载体，主要考查点、线、面间的距离计算等基础知识，考查空间想象力和分类讨论思想
7、若球的表面积为 ，则该球的体积等于 。 答案： 试题分析：设球的半径为 r， ， r=3， 该球的体积等于 考点：本题考查了球的性质 点评：熟练掌握球的体积和表面积公式是解题的关键 如图，直四棱柱 的底面是边长为的正方形，侧棱长，则异面直线 与 的夹角大小等于 _.答案： 试题分析： AB， 异 面直线 与 的夹角为直线 AB与 的夹角，连接 ，在 中， ， 即异面直线 与 的夹角大小等于 考点：本题考查了异面直线的求法 点评：利用平移法把异面直线的夹角转化为三角形中的夹角问题 与圆 关于 轴对称的圆的方程为 _. 答案： 试题分析： 圆心（ 1,2）关于 y轴的对称点为（ -1,2），又圆的
8、半径不变，故所求圆的方程为 考点：本题考查了点关于直线对称的运用 点评：注意圆在对称过程中的变量关系即可 解答题 （本小题满分 12分） 已知直线 ： ， ： . （ 1）若 ，求实数 的值； （ 2）当 时，求直线 与 之间的距离 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由 知 ， 4 分 解得 ； 6 分 （ 2）当 时，有 ， 8 分 解得 ， 9 分 此时， 的方程为： ， 的方程为： 即 ， 则它们之间的距离为 .12 分 考点：本题考查了两直线间的距离及位置关系 点评：掌握两直线的平行、垂直的条件及距离公式是解决此类问题的关键 （本小题满分 12分） 如图示， AB是圆柱
9、的母线， BD是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上一点，E是 AC 中点，且 . （ 1）求证： ； （ 2）求直线 BD与面 A所成角的大小 . 答案：（ 1） BD是底面圆直径， ，又 面 ， 面， ，从而 面 （ 2） 试题分析：（ 1）证明： BD是底面圆直径， ， 分 又 面 ， 面 ， ， 分 从而， 面 ； 5 分 （ 2）连接，由（）知 ， 又 E是 AC 中点， ， 则 ，所以， 面 . 分 于是，直线 BD与面 A所成角为 ， 分 而 面 ，则 ，即 为直角三角形 . 又 ，则 而 ，所以 。 12 分 考点：本题考查了圆柱中线面关系 点评：空间几何体中的线面角一般都是利用
10、定义作出角，然后再直角三角形中求出即可 （本小题满分 11分） 如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为 2的正三角形，俯视图为半径等于 1的圆 .试求这个几何体的侧面积与体积 .答案：侧面积 ，体积 试题分析：根据几何体的三视图知， 原几何体是以半径为 1的圆为底面且体高为 的圆锥 .3 分 由于该圆锥的母线长为 2， 则它的侧面积 ， 7 分 体积 .11 分 考点：本题考查了空间几何体的三视图及性质 点评：由三视图想像几何体时，要根据 “长对正、高平齐、宽相等 ”的基本特征，想像视图中每部分对应的实物部分的形象，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线与面的位置 （
11、本小题满分 13分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ， ， 是的中点， 是 中点 . （ 1）求证： 面 ； （ 2）求直线 EF 与直线 所成角的正切值； （ 3）设二面角 的平面角为 ，求 的值 . 答案：（ 1）取 AC 中点 G，连 EG、 FG， ， 面面 而 面 ，则 面 ，即 面 ； （ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）证明：取 AC 中点 G，连 EG、 FG， ， 面 面 而 面 ，则 面 ， 即 面 ； 4 分 （ 2） . ，所以直线 EF 与直线 所成角为 ， 6 分 又 是直角三角形，且 ， 则 ； 8 分 （ 3）取 H为 中点，连接 、 ， 是
12、中点， G是 AC 中点， ， 又 ，则 ，于是 ， 而 面 ，则 ，从而 面 ，故 ， 则 是二面角 的平面角，所以， ， 11 分 又 是直角三角形，且 ， ， ， 则 。 13 分 考点：本题考查了空间中的线面关系及角的求法 点评：本题主要考查线面关系的判定及空间角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，对于立体几何问题的证明问题，要求我们熟练应用课本上的定理、性质、结论等， （本小题满分 13分） 已知 C经过点 、 两点，且圆心 C在直线 上 . （ 1）求 C的方程； （ 2）若直线 与 C总有公共点，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）解法 1：设
13、圆的方程为 ， 则 ， 5 分 所以 C方程为 .6 分 解法 2：由于 AB的中点为 ， ， 则线段 AB的垂直平分线方程为 而圆心 C必为直线 与直线 的交点， 由 解得 ，即圆心 ，又半径为， 故 C的方程为 . （ 2）解法 1：因为直线 与 C总有公共点， 则圆心 到直线 的距离不超过圆的半径，即， 11 分 将其变形得 ， 解得 .13 分 解法 2：由 ， 因为直线 与 C总有公共点，则 ， 解得 . 注：如有学生按这里提供的解法 2答题，请酌情记分。 考点：本题考查了圆的方程及直线与圆的位置关系 点评：从直线和圆的位置关系的角度考查圆的方程是高考中常见的形式。研究直线和圆的位置
14、关系的相关问题时通常采用 “几何法 ”即抓住圆心到直线的的距离与半径的关系 . (本小题满分 14分） 如图所示，在一个特定时段内，以点 E为中心的 10海里以内海域被设为警戒水域 .点 E正北 40 海里处有一个雷达观测站 A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东 30且与点 A相距 100海里的位置 B，经过 2小时又测得该船已行驶到点 A北偏东 60且与点 A相距 20 海里的位置 C. （ 1）求该船的行驶速度（单位：海里 /小时） ; （ 2）若该船 不改变航行方向继续行驶 .判断它是否会进入警戒水域，并说明理由 . 答案：（ 1） 10 ；（ 2）该船行驶的速度为 10
15、 海里 /小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域 试题分析：（ 1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为 10海里 则坐标平面中 AB = 10， AC = 2 A(0,0)， E(0, -4 ) 再由方位角可求得： B(5,5 )， C(3, )4 分 所以 |BC| = = 2 6 分 所以 BC 两地的距离为 20 海里 所以该船行驶的速度为 10 海里 /小时 7 分 （ 2）直 线 BC 的斜率为 = 2 所以直线 BC 的方程为： y- = 2 (x-3) 即 2 x-y-5 =010 分 所以 E点到直线 BC 的距离为 = 112 分 所以直线 BC 会与以 E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交， 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 14 分 答：该船行驶的速度为 10 海里 /小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 考点：本题考查了直线与圆的实际运用 点评：解直线与圆的问题 ,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质 ,利用几何法解题要比方法来得简捷
