1、2012-2013学年福建省师大附中高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 “ ， ”的否定是 A ， B ， C ， D ， 答案： B 试题分析：对于特称命题的否名： 改为 ，并对满足的条件加以否定 考点：特称命题的否定 点评： 的否定为 如图，椭圆 的四个顶点 构成的四边形为菱形，若菱形 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是 A B C D 答案： C 试题分析：连接上顶点 与右顶点 的直线为 ，圆的方程为 ，由直线与圆相切可得 ，整理的即 考点：圆锥曲线离心率 点评：求离心率关键是找到关于 的齐次方程或不等式 如图，已知正方形 的边长为 ， 分别是 的中点， 平面
2、 ，且 ，则点 到平面 的距离为 A B C D 1 答案： B 试题分析：以 C为原点 CD为 x轴 CB为 y轴 CG为 z轴建立空间坐标系，所以平面的一个法向量为 考点：空间向量法求点到面的距离 点评：空间向量求解立体几何题目关键是建立合适的坐标系找到相关点的坐标 已知抛物线 上的焦点 ，点 在抛物线上，点 ，则要使的值最小的点 的坐标为 A B C D 答案： A 试题分析：抛物线 焦点 准线 ， 的值等于 P到准线的距离，依据图形可知当直线 平行于 x轴时， 取得最小值，此时 P 考点：抛物线的定义求最值 点评：由抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将抛物线上的点
3、到焦点的距离转化为到准线的距离 已知 的顶点 、 分别为双曲线 的左右焦点，顶点在双曲线 上，则 的值等于 A B C D 答案： D 试题分析：在 中，由正弦定理可得 ，由方程 可知 考点：正弦定理及双曲线定义 点评：双曲线的定义：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于定值 ，在解题中经常用到，须加以重视 “方程 + =1表示焦点在 y轴上的椭圆 ”的充分不必要条件是 A B C D 答案： A 试题分析：方程 + =1表示焦点在 y轴上的椭圆，则有，其充分不必要条件是 考点：椭圆的几何性质 点评：椭圆焦点位置的确定是看标准方程中两分母的大小 过点 ，且与 有相同渐近线的双曲线方程是 A
4、B C D 答案： B 试题分析：设与 有相同渐近线的双曲线为 ，代入得 ， 即 考点：双曲线方程及性质 点评：与 有相同渐近线的方程可设为 如图，在正方体 A1B1C1D1-ABCD中， E是 C1D1的中点，则异面直线 DE与AC夹角的余弦值为 A B C D 答案： D 试题分析：取 中点 ,连接 则 即为异面直线夹角，设边长为1 由余弦定理的 考点：异面直线所成角 点评：先将异面直线平移为相交直线找到所求角，再在三角形中求三边余弦定理求角 已知正方体 中，点 为上底面 的中心，若，则 的值是 A B C D 答案： A 试题分析： , 考点：向量加法的平行四边形法则三角形法则 点评：将
5、所求向量利用三角形法则用其他向量首尾相接表示 抛物线 的焦点坐标为 A B C D 答案： C 试题分析：原抛物线方程整理成标准形式 ，所以焦点为 考点：抛物线性质 点评：求抛物线焦点准线时先要整理为标准方程 下列有关命题的说法正确的是 A命题 “若 ，则 ”的否命题为 “若 ，则 ” B命题 “若 ，则 ”的逆否命题是假命题 C命题 “若 ，则 全不为 0”为真命题 D命题 “若 ”，则 ”的逆命题为真命题 答案： D 试题分析： A项表述的是命题的否定， B项原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题， C项原命题是假命题，应该是 不全为 0， D命题是真命题 考点：四种命题 点评：原命题与逆
6、否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同 填空题 已知平面 经过点 ，且 是它的一个法向量 . 类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面 的方程是 . 答案： 试题分析：设平面内任意一点为 代入数据计算得平面 的方程为 考点：求动点的轨迹方程 点评：本题类比平面几何求轨迹方程的方法求解 如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面上的点 处，已知测得从 到库底与水坝的交线的距离分别为 米、 米，的长为 米， 的长为 米，则库底与水坝所成的二面角的大小 度 .答案： 试题分析： 库底与水坝所成的二面角的大小为 考点：二面角求解 点评：将求二面角转化为求两向量夹角，借助向量运算求
7、解 有一抛物线形拱桥，中午 点时，拱顶离水面 米，桥下的水面宽 米；下午 点，水位下降了 米，桥下的水面宽 米 . 答案： 试题分析：以拱顶作为坐标原点建立直角坐标系，由题意可知抛物线过点设抛物线为 代入点得 令 得 所以水面宽 考点：抛物线的实际应用 点评：从实际问题中抽象出抛物线模型求解 已知抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上的任意点，则线段 中点的轨迹方程是 . 答案： 试题分析：设中点为 代入 得化简得 考点：求动点的轨迹方程 点评：本题用到的是相关点法求轨迹方程 设 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为 . 答案： 试题分析：椭圆上点 P与椭圆两焦点 构成的三角形
8、成为焦点三角形，设则焦点三角形面积公式为 ，本题 得又 考点：焦点三角形面积 点评：椭圆的焦点三角形面积公式： 其中 已知向量 ， ，且 与 垂直，则 等于 答案： 试题分析： ，由 与 垂直考点：向量的坐标运算， 点评：向量运算经常用到的是坐标运算 解答题 （本小题满分 12分） 在如图的多面体中， 平面 ， , ， ， ， ， 是 的中点 ( ) 求证： 平面 ； ( ) 求二面角 的余弦值 . 答案： ( ) 四边形 是平行四边形 平面 ( ) 试题分析： ( )证法一： ， . 又 , 是 的中点， ， 四边形 是平行四边形， . 平面 ， 平面 ， 平面 . 证法二： 平面 ， 平面
9、 ， 平面 ， ， ，又 , 两两垂直 . 以点 E为坐标原点， 分别为 轴建立如图的空间 直角坐标系 . 由已知得， （ 0， 0， 2）， （ 2， 0， 0）， （ 2， 4， 0）， （ 0， 3， 0）， （ 0， 2， 2）， （ 2， 2， 0） , 设平面 的法向量为 则 ，即 ，令 ,得 . ，即 . 平面 , 平面 . ( )由已知得 是平面 的法向量 . 设平面 的法向量为 ， ， ，即 ，令 ,得 . 则 ， 二面角 的余弦值为 考点：空间线面平行的判定及二面角的求解 点评：利用向量法求解空间几何问题比其他方法思路简单 （本小题满分 10分） 已知抛物线 与直线 交于
10、两点 . ( )求弦 的长度； ( )若点 在抛物线 上，且 的面积为 ，求点 P的坐标 . 答案： ( ) ( ) （ 9， 6）或（ 4， -4） 试题分析： ( )设 A（ x1,y1)、 B(x2,y2), 由 得 x2-5x+4=0,0. 法一：又由韦达定理有 x1+x2=5,x1x2= , |AB|= = 法二：解方程得： x=1或 4， A、 B两点的坐标为（ 1,-2)、（ 4,4） |AB|= ( )设点 ,设点 P到 AB的距离为 d,则 , S PAB= =12， . ，解得 或 P点为（ 9， 6）或（ 4， -4） . 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：直线与圆锥曲线
11、相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路 (本小题满分 12分 ) 已知双曲线 C与椭圆 有相同的焦点，实半轴长为 . ( )求双曲线 的方程； ( )若直线 与双曲线 有两个不同的交点 和 ,且 (其中 为原点 ),求 的取值范围 . 答案： ( ) ( ) 试题分析： ( )设双曲线的方程为 , , 故双曲线方程为 . ( )将 代入 得 由 得 且 设 ,则由 得 = ,得 又 ， ,即 考点：椭圆方程及直线与椭圆的位置关系 点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路；圆锥曲线中的向量常转化成坐标表示计算 (本小题满分 12分 ) 如图，在平行四边形 中， ，将它们沿对角线
12、折起，折后的点 变为 ，且 ( )求证：平面 平面 ； ( ) 为线段 上的一个动点，当线段 的长为多少时 , 与平面 所成的角为 ？ 答案： ( ) 又 平面 平面 ( )1 试题分析： ( ) 又 ， 平面 平面 （ ）在平面 过点 B作直线 ,分别直线 为 x， y， z建立空间直角坐标系 B-xyz 则 A(0,0,1)， C1(1, ,0)， D(0, ,0) 设 ，则 又 是平面 BC1D的一个法向量 依题意得 ，即 解得 ，即 时， 与平面 所成的角为 考点：面面垂直的判定及线面角的求解 点评：向量法在求解点的位置的问题上比其他方法要简单实用，通过数据直接计算出点的位置 （本小题
13、满分 14分） 如图，已知椭圆 ， 是椭圆 的顶点，若椭圆的离心率 ，且过点 . ( )求椭圆 的方程； ( )作直线 ，使得 ，且与椭圆 相交于 两点（异于椭圆 的顶点），设直线 和直线 的倾斜角分别是 ，求证： . 答案： ( ) ( )可设直线 的方程为 ，设 ，由 得 ， ，故 试题分析：（ ）由已知得： ， 椭圆 C的方程为 （ ）由（ ）知： ， ， 故可设直线 的方程为 ，设 ， 由 得 ，即 , 异于椭圆 C的顶点， , ， ， 又 ， ,故 . 考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系 点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路，本题所证明的角的关系转化为直线斜率关系
