1、2012-2013学年福建省漳州市芗城中学高二上学期期末考试理科数学卷（带解析） 选择题 已知 i为虚数单位，则复数 i(i-1)对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 试题分析： .所以 i(i-1)的点位于第四象限 .选 D. 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题 动点 到两定点 , 连线的斜率的乘积为 （ ） ,则动点 P在以下哪些曲线上（ ）（写出所有可能的序号） 直线 椭圆 双曲线 抛物线 圆 A B C D
2、 答案： C 试题分析：由题设知直线 PA与 PB的斜率存在且均不为零 所以 kPA kPB= ， 整理得，点 P的轨迹方程为 kx2-y2=ka2（ xa）； 当 k 0，点 P的轨迹是焦点在 x轴上的双曲线（除去 A， B两点） 当 k=0，点 P的轨迹是 x轴（除去 A， B两点） 当 -1 k 0时，点 P的轨迹是焦点在 x轴上的椭圆（除去 A， B两点） 当 k=-1时，点 P的轨迹是圆（除去 A， B两点） 当 k -1时，点 P的轨迹是焦点在 y轴上的椭圆（除去 A， B两点） .故选 C. 考点：圆锥曲线的轨迹问题 点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨
3、论思想的合理运用 设椭圆 和 轴正方向交点为 A，和 轴正方向的交点为 B，为第一象限内椭圆上的点，使四边形 OAPB面积最大（为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由于点 P是椭圆 和上的在第一象限内的点， 设 P为（ acosa， bsina）即 x=acosa y=bsina （ 0 a ）， 这样四边形 OAPB的面积就可以表示为两个三角形 OAP和 OPB面积之和， 对于三角形 OAP有面积 S1= absin，对于三角形 OBP有面积 S2= abcos， 四边形的面积 S=S1+S2= ab（ sin+cos） = absin（ a
4、+ ）， 其最大值就应该为 ab，并且当且仅当 a= 时成立所以，面积最大值故选 D 考点：椭圆的标准性质 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值 已知方程 和 (其中 , )，它们所表示的曲线可能是（ ） 答案： B 试题分析：由题意 ax2+by2=ab可变为 ， 考察 A选项，由双曲线的特征知， b 0， a 0，由直线的特征知 a， b同号，故A不是要选项； 考察 B选项，由图中双曲线的特征知， a 0， b 0，由直线的特征结合 c 0知，a 0， b 0， B选项符合条件； 考察 C选项，由图中椭圆知，
5、a， b同号，由直线的特征知， a， b异号，故 C不符合条件； 考察 D选项，由图中的椭圆知， a， b同为正，由直线的特征知， a， b异号故 D不符合条件； 综上， B选项符合要求，故选 B. 考点：双曲线的简单性质 点评：本题考点是直线与圆锥曲线的关系，考察了圆锥曲线的图形特征与方程中参数的对应关系及直线的特征，解题的关键是熟练掌握图形的特征与方程中量的对应关系，本题考察了识图的能力及判断推理的能力。 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A 75 B 60 C 45 D 30 答案： C 试题分析：如图，四棱锥 P-ABCD中，过 P作 PO 平面 ABC
6、D于 O，连接 AO，则 AO 是 AP 在底面 ABCD上的射影 PAO 即为所求线面角， AO= ， PA=1， cos PAO= , PAO=45，即所求线面角为 45故答案：为 C. 考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征 点评：本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想 已知点 B是点 A（ 3， 4， -2）在 xOy平面上的射影，则 等于 ( ) A（ 3， 4， 0） B C 5 D 答案： C 试题分析：易知 的坐标为 ，所以 .选 C. 考点 :空间中点的坐标 点评：本题考查空间中点的坐标，本题解题的关键是写出点的坐标，根据在坐标平面上
7、的点的特点，即在那一个平面上，对应的那一个坐标等于 0 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A 75 B 60 C 45 D 30 答案： C 试题分析：如图，四棱锥 P-ABCD中，过 P作 PO 平面 ABCD于 O，连接 AO，则 AO 是 AP 在底面 ABCD上的射影 PAO 即为所求线面角， AO= ， PA=1， cos PAO= , PAO=45，即所求线面角为 45故答案：为 C. 考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征 点评：本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距
8、成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c， 则 2a+2c=22b， 即 a+c=2b （ a+c） 2=4b2=4（ a2-c2），所以 3a2-5c2=2ac，同除 a2， 整理得 5e2+2e-3=0， e= ，或 e=-1（舍去），故选 B 考点：椭圆的应用；数列的应用 点评：本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行 一只田径队有男运动员 48人，女运动员 36人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21人的样本，则抽取男运动员的人数为（ ） A 24 B 8 C 10 D
9、12 答案： D 试题分析： 田径队有男运动员 48人，女运动员 36人， 这支田径队共有 48+36=84人， 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21的样本， 每个个体被抽到的概率是 ， 田径队有男运动员 48人， 男运动员 要抽取 48 =12人， 考点：分层抽样方法 点评：本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 x=1时，满足循环条件，此时 x=2， y=2, 当 x=2时，满足循环条件，此时 x=4， y=-3, 当
10、x=4时，满足循环条件，此时 x=8， y=-4, 当 x=8时，不满足循环条件，退出循环 , 故输出结果为 4，选 A. 考点：程序框图 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 准线方程为 x=1的抛物线的标准方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知： =1， p=2且抛物线的标准方程的焦点在 x轴的负半轴上
11、 故可设抛物线的标准方程为： y2=-2px,将 p代入可得 y2=-4x选 A. 考点：抛物线的性质 点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：两个向量的模相等，这两个向量可能方向相同也可能相反，故两个非零向量的模相等是这两个向量相等的必要不充分条件 .选 B. 考点：相等向量与相反向量 点评：本题主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量这部分知识仍是继续命题的重点
12、 填空题 已知双曲线 的左焦点为 ，点 为双曲线右支上一点，且与圆 相切于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点， 则= 答案： 试题分析：设 是双曲线的右焦点，连接 ,因为 分别是 的中点，所以 ,所以 ,由双曲线的定义知，,故 . 考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系 点评：本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质 已知 A(4,1,3)、 B(2,-5,1),C为线段 AB上一点 , 且 , 则 C的坐标为_ 答案： ( , -1, ) 试题分析：设 ，又 , ,可得 , ，又 ， ，解得 ， ，故则 C的坐标为 . 考点：空间向量的数乘运算
13、点评：本题考查空间向量的数乘运算，及向量相等的充分条件，解题的关键是根据向量数乘运算的坐标表示，建立起关于点 C的坐标的方程，此过程利用到了向量的数乘运算，向量相等的坐标表示，本题有一定的综合性，属于知识性较强的题 已知某几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是 _（ ） 答案： 试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边为1，高为 1的三角形，面积是 ，三棱锥的高是 所以三棱锥的体积是. 考点：由三视图求面积、体积 点评：本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高本题是
14、一个基础题 命题 “ ”的否定是 _ 答案： 试题分析：命题 “ ”的否定是 . 考点：命题的否定 点评：本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写 解答题 已知 a 0， a1，设 p：函数 内单调递减， q：曲线 y x2 (2a-3)x 1与 x轴交于不同的两点 .如果 p与 q有且只有一个正确，求a的取值范围 答案： ,1 （ ， ） 试题分析：当 0 a 1时，函数 在 (0， )内单调递减 . 当 a 1时， 在 (0， )内不是单调递减函数 . 0
15、 a 1 曲线 y x2 (2a-3)x 1与 x轴交于不同的两点等价于 (2a-3)2-4 0，即 或. 若 p真 q假，则 (0， 1) ,1 1， = ,1 . 若 p假 q真，注意到已知 a 0， a1，所以有 (1, ) (0， （ ， ） =（ ， ） 综上可知， ,1 （ ， ） . 考点：对数的概念 命题的判断 点评：本题考查了对数函数的单调性、二次函数根的判定及否命题的知识 先后 2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为 a, b （ 1）求直线 ax by 5=0与圆 相切的概率； （ 2）将 a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形（含等边三角形）的
16、概率 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）先后 2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 66=36 直线 ax by c=0与圆 x2 y2=1相切的充要条件是 即： a2 b2=25，由于 a,b 1， 2， 3， 4， 5， 6 满足条件的情况只有 a=3,b=4,c=5；或 a=4,b=3,c=5两种情况 直线 ax by c=0与圆 x2 y2=1相切的概率是 （ 2）先后 2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 66=36 三角形的一边长为 5 当 a=1时， b=5，（ 1， 5， 5） 1种 当 a=2时， b=5，（ 2， 5，
17、5） 1种 当 a=3时， b=3， 5，（ 3， 3， 5），（ 3， 5， 5） 2种 当 a=4时， b=4， 5，（ 4， 4， 5），（ 4， 5， 5） 2种 当 a=5 时， b=1， 2， 3， 4， 5， 6，（ 5， 1， 5），（ 5， 2， 5），（ 5， 3， 5）， （ 5， 4， 5），（ 5， 5， 5），（ 5， 6， 5） 6种 当 a=6时， b=5， 6，（ 6， 5， 5），（ 6， 6， 5） 2种 故满足条件的不同情况共有 14种答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为 考点：直线与圆的位置关系；几何概型 点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都
18、相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解 如图，已知三棱锥 的侧棱 两两垂直，且 ， 是 的中点 （ 1）求异面直线 与 所成的角的余弦值 （ 2）求二面角 的余弦值 （ 3） 点到面 的距离 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：以 为原点 , 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 . 则有 、 、 、 (3)设平面 的法向量为 则由 知 : 由 知 : 取 由 (1)知平面 的法向量为 则 . 结合图形可知 ,二面角 的余弦值为 . 设平面 的法向量为 则由 由 ，则点 到面 的距离为 考点：异面直线所成角 二面角 点面距 点评：题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，点到平面的距离，属基础题 .
