1、2012-2013学年黑龙江省双鸭山一中高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 三段论： “ 雅安人一定坚强不屈 雅安人是中国人 所有的中国人都坚强不屈 ”中，其中 “大前提 ”和 “小前提 ”分别是等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据三段论可知 所有的中国人都坚强不屈是大前提， 雅安人是中国人是小前提 . 考点：本小题主要考查演绎推理的三段论 . 点评：解决演绎推理的题目，要分清大前提、小前提和结论 . 若函数 在 R 上可导，且满足 ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，即函数 在 R 上单调递增，所以 ，所以 . 考点：本小题主要考查利用
2、导数研究函数的单调性 . 点评：解决本小题的关键在于构造新函数 ，利用新函数的单调性比较函数值 . 已知函数 在 时有极值为 0，则 m+n=（ ） A 11 B 4或 11 C 4 D 8 答案： A 试题分析：由题意可知 ，代入求解可得 或 ，当时， ，所以 不是函数的极值点，所以应舍去，所以 考点：本小题主要考查函数的极值。 点评：本小题的易错点是忘记验根，从而得出两组解，函数的极值点一定是导函数值为 0的点，而导函数值为零的点不一定是极值点 . 设随机变量 ，若 ，则 的值为( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ， 所以 ，解得 ，或（舍）， 所以 ，所以根据二项分布
3、的概率计算公式可以求出 考点：本小题主要考查二项分布的概率计算 . 点评：二项分布是一类特殊的分布，它的概率计算公式比较重要，要记牢公式，仔细计算 . 若 是离散型随机变量， ，且 ，又已知 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据期望和方差的计算公式可知： ，求解可得 考点：本小题主要考查期望和方差的计算和应用 . 点评：解决有关期望和方差的问题时，要准确应用期望和方差公式，仔细计算 . 下列说法： 正态分布 在区间 内取值的概率小于 0.5； 正态曲线在 一定时， 越小，曲线越 “矮胖 ”； 若随机变量 ，且 ，则 其中正确的命题有（ ） A B C D 答案： D
4、试题分析：正态分布 在区间 内取值的概率等于 0.5，所以 不正确；正态曲线在 一定时， 越小，曲线越 “高 瘦 ”，所以 不正确；，则正态曲线以 2为对称轴，所以 ，所以 正确 . 考点：本小题主要考查正态曲线的理解与应用 . 点评：正态曲线是一类比较特殊的曲线，它的性质经常考查，要准确把握 . 设 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 恒成立，所以 A正确；因为，所以 恒成立，所以 B正确；而 ，因为是互不相等的正数，所以上式恒成立，所以 D正确；当 时， C不恒成立，所以 C不正确 . 考点：本小题主要考查不等式的性质和应用，基本不等
5、式的应用等 . 点评：解决此类问题，要注意各个性质的适用条件，比如基本不等式就要注意“一正二定三相等 ”三个条件缺一不可 . “ 在 a,b上为单调函数 ”是 “函数 在 a,b上有最大值和最小值 ”的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也非必要条件 答案： A 试题分析：由 “ 在 a,b上为单调函数 ”可以得出 “函数 在 a,b上有最大值和最小值 ”，但是由 “函数 在 a,b上有最大值和最小值 ”，得不出函数单调，不单调也一样有最大值和最小值，只要是闭区间上的连续函数都有最大值和最小值 . 考点：本小题主要考查函数的单调性与函数的最值之间的关系 . 点评
6、：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，而与单调与否无关 . 在 2013年 3月 15日，某市物价部门对本市的 5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查， 5家商场的售价 x元和销售量 y件之间的一组数据如下表所示： 价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量 y与价格 x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是： ，那么 的值为 ( ) A -24 B 35.6 C 40.5 D 40 答案： D 试题分析：线性回归方程过样本点中心，根据表中数据可得样本点中心为，代入回归方程可以求出 的值为 40. 考点：本小题主要考查
7、回归直线方程的应用 . 点评：线性回归方程过样本点中心，这一性质经常考查，要灵活运用 . 函数 在区间 内单调递增，那么 的范围为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为函数 在区间 内单调递增，所以导函数 在 内恒成立，所以 考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性 . 点评：导函数的正负决定原函数的增减，二次函数的恒成立问题可以借助图象，利用开口方向和判别式解决 . 有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为（ ） A 0.72 B 0.89 C 0.8 D 0.76 答案： A 试题分析：根据相互独
8、立事件的概率计算公式可知，随机抽取一粒种子能成长为幼苗的概率为 考点：本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率 . 点评：正确运用相互独立事件同时发生的概率公式是解决此类问题的关键 . 下列说法： 将一组数 据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； 设有一个回归方程 ，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 5 个单位； 相关系数 r越接近 1，说明模型的拟和效果越好； 其中错误的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0 答案： A 试题分析：根据方程的的运算性质知 正确；根据回归方程 可知，变量 x增加一个单位时， y平均减少 5 个单位，所以 正确；相关系数 r 越接
9、近 0，说明模型的拟和效果越好，所以 正确 . 考点：本小题主要考查统计中的概念。 点评：统计中的概念性问题也比较多，要仔细思考，正确区分应用 . 填空题 给出下列不等式：，则按此规律可猜想第 n个不等式为 . 答案： 试题分析：因为所以猜想第 n个不等式为 考点：本小题主要考查归纳推理 . 点评：解决归纳推理问题的关键是根据已知式子找出一般性的规律，归纳推理得出的结论不一定是正确的 . 曲线 上的点到直线 的最短距离是 _ 答案： 试题分析：设点 到直线 的距离最短，所以曲线在点处的切线斜率为 2，而 ，所以 根据点到直线的距离公式可知曲线上的点到直线的最短距离为 考点：本小题主要考查曲线上
10、的点到直线的距离的最值，导数的计算 等 . 点评：解决本小题的关键是找出曲线在所求的点处的切线与已知直线平行，所以斜率相等，进而利用导数计算 . 曲线 与直线 所围成平面图形的面积为 . 答案： 试题分析：画出函数 ， 的图象，根据定积分的几何意义可知所围成图形的面积为 考点：本小题主要考查定积分在几何中的应用 . 点评：解决本小题的关键是正确写出求解图形面积的式子，要注意被积式必须是上面的函数减去下面的函数，否则求出的定积分有可能是错误的，甚至是负的 . 解答题 设 ，且 ，证明不等式： 答案：利用基本不等式证明即可 试题分析：因为 ，且 ， 所以， 当且仅当 时等号成立 . 考点：本小题主
11、要考查不等式的证明和基本不等式的应用 . 点评：解决本小题的关键是正确应用基本不等式，应用基本不等式的条件是 “一正二定三相等 ”，三个条件缺一不可，还要注意 “1”的整体代换 . 已知函数 在区间 -2， 2的最大值为 20，求它在该区间的最小值。 答案：最小值为 -7. 试题分析：因为 ，所以令 ， 所以该函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数在 处取到最小值， 而 所以该函数在区间 -2， 2的最大值为 ， 所以该函数在区间 -2， 2的最小值为 考点：本小题主要考查函数的极值、最值。 点评：解决此类问题的关键是利用导数研究单调性、极值、最值等，要交代清楚函数的单调性，必要时可以
12、借助表格进行说明 . 为提高学生的素质，学校决定开设一批选修课程，分别为 “文学 ”、 “艺术 ”、“竞赛 ”三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的 ，现有 3名学生从中任选一个科目参加学习（互不影响），记 为 3 人中选择的科目属于 “文学 ”或 “竞赛 ”的人数，求 的分布列及期望。 答案： 的分布列为 0 1 2 3 p 1/64 9/64 27/64 27/64 9/4 试题分析：设 为 3人中选择的科目属于艺术的人数，则 ，由题设知， 则 ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 p 1/64 9/64 27/64 27/64 所以 考点：本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期
13、望 . 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的性质的灵活运用 函数 ，其中 为常数，且函数 和 的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离。 答案： 试题分析：由题意可知 ， 函数 的图象与坐标轴的交点为 ， 的图象与坐标轴的交点为 ， 又因为函数 和 的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ， 所以 所以函数 和 的图象在其与坐标轴的交点处的切线分别为：， 根据两平行线间的距离公式可知，两平行线间的距离为 . 考点：本小题主要考查利用导数研究切线上某点处的方程 . 点评：本小题主要考查导
14、数的应用，研究切线上某点处的切线方程时，要分清是某点处的切线还是过某点的切线，两者是不同的 . 为了解某班学生关注 NBA是否与性别有关，对本班 48人进行了问卷调查得到如下的列联表： 关注 NBA 不关注 NBA 合 计 男 生 6 女 生 10 合 计 48 已知在全班 48人中随机抽取 1人，抽到关注 NBA的学生的概率为 2/3 请将上面列连表补充完整，并判断是否有 的把握认为关注 NBA与性别有关？ 现从女生中抽取 2人进一步调查，设其中关注 NBA的女生人数为 X，求 X的分布列与数学期望。 附： ，其中 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706
15、 3.841 5.024 6.635 答案：（ 1）有 把握认为关注 NBA与性别有关 （ 2） X的分布列为 X 0 1 2 p 9/38 10/19 9/38 E（ X） =1 试题分析：（ 1）将列联表补充完整有： 关注 NBA 不关注NBA 合 计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 故有 把握认为关注 NBA与性别有关 （ 2）由题意可知， X的取值为 0， 1， 2， , , 所以 X的分布列为 X 0 1 2 p 9/38 10/19 9/38 所以根据数学期望的计算公式可知 E（ X） =1. 考点：本小题主要考查独立性检验，离散型随机变量的分
16、布列和数学期望 . 点评：此类题目一般注重于考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，难度不大 . 已知函数 （ I）若 为 的极值点，求实数 的值； （ II）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围； ( )当 时，方程 有实根，求实数 的最大值。 答案：（ I） （ II） ( ) 实数 的最大值为 0 试题分析：（ I） 因为 为 的极值点，所以 ，即 ， 解得 。经检验，合题意 （ II）因为函数 在 上为增函数，所以 在 上恒成立。 当 时， 在 上恒成立，所以 在 上为增函数，故 符合题意。 6分 当 时，由函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立， 故只能 ，所以 在 上恒成
17、立。 令函数 ，其对称轴为 ， 因为 ，所以 ， 要使 在 上恒成立， 只要 即可，即 ， 所以 。 因为 ，所以 。 综上所述， a的取值范围为 。 （ ）当 时，方程 可化为 。 问题转化为 在 上有解，即求函数 的值域。 因为函数 ，令函数 ， 则 ， 所以当 时， ，从而函数 在 上为增函数， 当 时， ，从而函数 在 上为减函数， 因此 。 而 ，所以 ，因此当 时， b取得最大值 0. 考点：本小题主要考查导数在研究函数性质中的应用，考查学生分类讨论思想的应用 . 点评：导数是研究函数性质的有力工具，求极值时要注意验根，因为极值点处的导数值为 0，但是导数值为 0的点不一定是极值点，涉及到含参数问题，一般离不开分类讨论，分类标准要尽量做到不重不漏 .
