1、2012-2013学年黑龙江省鹤岗一中高二下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为，= ，故选 B。 考点：函数的概念，集合的运算。 点评：简单题，为进行集合的运算，需要首先确定集合中的元素。注意借助于数轴处理。 已知 R上的不间断函数 满足： 当 时， 恒成立； 对任意的 都有 。又函数 满足：对任意的 ，都有成立，当 时， 。若关于 的不等式对 恒成立，则 的取值范围 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为，当 时， 恒成立，所以，函数 在区间（ 0，+）是增函数；又对任意的 都有 。所以， 是偶函数 ,且有
2、 g|（ x|） =g（ x）。而函数 满足：对任意的 ，都有成立，所有函数 是周期函数，周期为 。所以 gf（ x） g（ a2-a+2）在 R上恒成立， |f（ x） |a2-a+2|对 x - -2 ， -2 恒成立， 只要使得定义域内 |f（ x） |max|a2-a+2|min， 由于当 x - ， 时， f（ x） =x3-3x， 所以 ,f（ x） =3x2-3=3（ x+1）（ x-1）， 该函数过点（ - ， 0），（ 0， 0），（ ， 0）， 且函数在 x=-1处取得极大值 f（ -1） =2， 在 x=1处取得极小值 f（ 1） =-2， 又函数 是周期函数，周期为 所
3、以函数 f（ x）在 x - -2 ， -2 的最大值为 2，所以 ,令 2|a2-a+2|解得： a1或 a0 选 A.考点：利用导数研究函数的单调性、最值，函数的奇偶性、周期性，函数不等式。 点评：中档题，解函数不等式，往往需要将不等式具体化或利用函数的图象，结合函数的单调性。总之，要通过充分认识函数的特征，探寻解题的途径。 函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，都有 .当 时， .若直线 与函数 的图象有两个不同的公共点，则实数 的值为（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：因为，函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，都有.所以，函数 周期为 2，又当 时， .结合
4、其图象及直线 可知，直线 与函数 的图象有两个不同的公共点，包括相交、一切一交等两种情况，结合选项，选 C。 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象。 点评：中档题，解函数不等式，往往需要将不等式具体化或利用函数的图象，结合函数的单调性。总之，要通过充分认识函数的特征，探寻解题的途径。 方程 的解所在区间为（ ） A（ -1， 0） B（ 0， 1） C（ 1,2） D（ 2,3） 答案： C 试题分析：方法一，令 ， 因为， ， 故方程 的解所在区间为（ 1,2），选 C。 方法二：方程 即 ，所以，方程 的解所在区间就是 的图象交点横坐标所在区间（ 1,2）。选 C。 考点：函数的零点，函
5、数的图象，零点存在定理。 点评：简单题，函数的零点是函数图像与 x轴交点的横坐标。若在区间（ a,b）满足 f(a)f(b)3或 x0,函数为增函数； 12时， ； 时， 。故 的 的取值范围是 ，选 A。 考点：函数的奇偶性，函数的单调性，一元二次不等式的解法。 点评：小综合题，抽象不等式问题，往往要利用函数的单调性，结合函数的图象分析得解。本题较为典型。 函数 的图象是（ ） 答案： C 试题分析：函数与图象配伍问题，要注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。 该函数是奇函数，图象关于原点对称。所以，选 C。 考点：函数的图象 点评：简单题，函数与图象配伍问题，要注意定义域、值域、奇
6、偶性（对称性）、单调性等。 下列各组函数是同一函数的是（ ） A 与 B 与 C 与 D 与 答案： D 试题分析：函数的要素由两个：定义域与对应法则。 =x(x -1),所以，是同一函数的是 与 ，选 D。 考点：函数的概念 点评：简单题，函数的要素由两个：定义域与对应法则。 复数 的值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： = = ，故选 A。 考点：复数的代数运算 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 填空题 为了在 “十一 ”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（ 1）如果不超过 200元，则不予优
7、惠；（ 2）如果超过 200元，但不超过 500元，则按标价给予 9折优惠；（ 3）如果超过 500元，其中 500元按第（ 2）条给予优惠，超过 500元的部分给予 7折优惠。小张两次去购物，分别付款 168元和 423元，假设她一次性购买上述同样的商品，则应付款额为 答案： .6元 试题分析：依题意，付款总额 y与标价 x之间的关系为（单位为元） y=因为，小张两次去购物，分别付款 168元和 423元，所以，优惠前，购物应付款 168+ =638元， 一次性购买上述同样的商品，应付款额为 0.9500+0.7（ 638-500） =546.6元。 考点：函数模型，分段函数的概念。 点评：
8、中档题，本题解答思路明确，首先确定分段函数，求出优惠前，购物应付款，即可得到结论。 设 ，若 ，则 答案： 试题分析：因为， = ，所以， 。考点：定积分计算，分段函数，对数函数的性质。 点评：小综合题，本题思路清晰，通过计算定积分确定得到函数的式，进一步计算函数值。 若函数 在区间 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：因为， ，所以， 。又因为，函数在区间 上是单调递减函数，所以， 在不大于 0， 。 考点：利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质。 函数 的单调递减区间为 _ 答案：（ 0,1）答案：不唯一 试题分析：因为， ，所以，由 得， 0x1,故函数的单
9、调递减区间为（ 0,1）。 考点：利用导数研究函数的单调性 解答题 坐标系与参数方程 . 在直角坐标系 xoy中，直线 的参数方程为 （ t为参数） .在极坐标系（与直角坐标系 xoy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，圆 C的方程为 . （ 1）求圆 C的直角坐标方程； （ 2）设圆 C与直线 交于点 A、 B，若点 P的坐标为 ，求 |PA|+|PB|. 答案：（ 1） 。 （ 2） 。 试题分析：（ 1）由 得 ，即 4分 （ 2）将 l的参数方程代入圆 c的直角坐标方程，得 ，由于 ，可设 是上述方程的两个实根。 所以 ，又直线 l过点 P（ 3 ），可得：
10、 10分 考点：极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用。 点评：中档题，极坐标方程化为普通方程，常用的公式有， 等。参数方程化为普通方程，常用的 “消参 ”方法有，代入消参、加减消参、平方关系消参等。利用参数方程，往往会将问题转化成三角函数问题，或利用韦达定理，化 难为易。 几何证明选讲 . 如图，直线 过圆心 ，交 于 ，直线 交 于 (不与 重合 )，直线 与 相切于 ,交 于 ,且与 垂直，垂足为 ,连结 . 求证： (1) ; (2) . 答案： (1)连结 BC,得 ACB= AGC=90.根据 GC切 O于C, GCA= ABC. BAC= CAG. (2)连结 CF
11、,证得 ACF AEC. 推出 AC2=AE AF. 试题分析： (1)连结 BC, AB是直径， ACB=90, ACB= AGC=90. GC切 O于 C, GCA= ABC. BAC= CAG. 5分 (2)连结 CF, EC切 O于 C, ACE= AFC. 又 BAC= CAG, ACF AEC. , AC2=AE AF. 10分 考点：圆，弦切角定理，相似三角形。 点评：中档题，涉及平面几何选讲，难点往往不大，注意考查圆与三角形的基本性质及相关结论，注意充分考察图形的几何特征，探寻解题途径。 已知函数， （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值
12、； （ 3）若 ，使 成立，求实数 取值范围 . 答案：（ 1）函数 的单调递减区间 是 ， ，递增区间是 。 （ 2） 的最小值为 。 （ 3） 。 试题分析：函数 的定义域为 ，且 2分 （ 1）函数 当 且 时， ；当 时， 所以函数 的单调递减区间是 ， ，递增区间是 .5分 （ 2）因为 在 上为减函数，故 在 上恒成立 所以当 时， 又 故当 ，即 时， 所以 于是 ，故 的最小值为 .8分 （ 3）命题 “若 ，使 成立 ”等价于 “当 时，有 ” 由（ 2），当 时， ，所以 问题等价于： “当 时，有 ” 9分 （ i）当 时，由（ 2） 在 上为减函数 则 ，故 （ ii）
13、当 时，由于 在 上为增函数 故 的值域为 ，即 由 的单调性值域知 唯一 ，使 ，且满足： 当 时， ， 为减函数；当 时， ，为增函数；所以， 所以， ，与 矛盾，不合题意 综上， 12分 考点：利用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题。 点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据 “在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数 ”。确定函数的极值，遵循 “求导数，求驻点，研究单调性，求极值 ”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数， 研究函数的最值，使问题得到解决。本题的难点在于利用转化思想的灵活应用。 已知函数 ， （ 1）若
14、 x=1时 取得极值，求实数 的值； （ 2）当 时，求 在 上的最小值； （ 3）若对任意 ，直线 都不是曲线 的切线，求实数的取值范围。 答案：（ 1） 符合。 （ 2） ； （ 3） . 试题分析：（ 1） ， ，得 当 时， ； 当 时， 。 在 时取得极小值，故 符合。 4分 （ 2）当 时， 对 恒成立， 在 上单调递增， 当 时，由 得 ， 若 ，则 ， 在 上单调递减。 若 ，则 ， 在 上单调递增。 在 时取得极小值，也是最小值，即 。 综上所述， 8分 （ 3） 任意 ，直线 都不是曲线 的切线， 对 恒成立，即 的最小值大于 ， 而 的最小值为 ， ，故 . 12分 考点
15、：利用导数研究函数的单调性、极值，导数的几何意义。 点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据 “在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数 ”。确定函数的极值，遵循 “求导数，求驻点，研究单调性，求极值 ”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最 值，使问题得到解决。 设命题 ：函数 在 上为减函数 , 命题的值域为 ，命题 函数 定义域为 （ 1）若命题 为真命题，求 的取值范围。 （ 2）若 或 为真命题， 且 为假命题，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） C的取值范围为 。 试题分析：（ 1）若命题 T为真命题
16、，则 5分 （ 2）若 P为真 ，则 c1；若 Q为真，则 c=0, 或者 ；由题意有，命题 P、 Q中必有一个是真命题，另一个为假命题 7分 若 P为真， Q为假时，则 ，即 ； 9分 若 P为假， Q为真时，则 11分 所以 C的取值范围为 12分 考点：复合命题真值表，对数函数的性质，二次函数的图象和性质。 点评：中档题，本题综合性较强，全面考查复合命题真值表，对数函数的性质，二次函数的图象和性质。解题的关键之一，是认识到 或 为真命题， 且为假命题，意味着 P,Q有一个真命题，一个假命题。利用对数函数的性质研究命题 P,Q。 已知函数 对于任意的 满足. （ 1）求 的值； （ 2）求
17、证： 为偶函数； （ 3）若 在 上是增函数，解不等式 答案：（ 1） 。 （ 2）令 ，得 ，可得 。 （ 3）不等式的解集为： -1， 0） （ 0， 2 3， 5） （ 5， 6。 试题分析：（ 1）解： 对于任意的 满足 令 ，得到： 令 ，得到： 4分 （ 2）证明：有题可知，令 ，得 为偶函数； 8分 （ 3）由（ 2） 函数 是定义在非零实数集上的偶函数 不等式 可化为 .即： 且 在坐标系内，如图函数 图象与 两直线 由图可得 x -1， 0） （ 0， 2 3， 5） （ 5， 6 故不等式的解集为： -1， 0） （ 0， 2 3， 5） （ 5， 6 12分 考点：抽象函
18、数，函数的奇偶性，函数的图象，抽象不等式。 点评：中档题， 抽象函数问题，往往利用 “赋值法 ”。抽象不等式问题，往往要利用函数的单调性，结合函数的图象分析得解。 已知函数 的定义域为 ， （ 1）求 ； （ 2）当 时，求函数 的最大值。 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）函数 有意义，故： 解得： 5分 （ 2） ，令 ， 可得： ，可得： 12分 考点：函数的定义域，指数函数、对数函数的图象和性质，简单不等式的解法。 点评：中档题，本题综合性较强，综合考查函数的定义域，指数函数、对数函数的图象和性质，简单不等式的解法。确定函数的定义域，一般要考虑偶次根式根号下式子非负，分
19、式分母不等于 0，对数的真数大于 0，正切函数本身的定义域等。 不等式选讲 . 设函数 . （ 1）若 解不等式 ； （ 2）如果关于 的不等式 有解 ,求 的取值范围 . 答案：（ ）原不等式的解为 （ ） 的取值范围为 试题分析：（ ）当 时， 由 ，得， 当 时，不等式化为 即 所以，原不等式的解为 当 时，不等式化为 即 所以，原不等式无解 . 当 时，不等式化为 即 所以，原不等式的解为 综上，原不等式的解为 5分 （说明：若考生按其它解法解答正确，相应给分） （ ）因为关于 的不等式 有解，所以， 因为 表示数轴上的点到 与 两点的距离之和， 所以， 解得， 所以， 的取值范围为 10分 考点：绝对值不等式的解法 点评：中档题，绝对值不等式的解法，往往从 “去 ”绝对值的符号入手，主要方法有 “平方法 ”“分类讨论法 ”，有时利用绝对值的几何意义，会简化解题过程。
