1、2012届江苏省南京市高三年级学情调研卷数学 填空题 命题 “$x R， x2-2x 10”的否定是 答案： 在平面直角坐标系 xOy中，若直线 y kx 1与曲线 y x -x- 有四个公共点，则实数 k的取值范围是 答案： 已知抛物线 y2 4x的焦点为 F，准线为 l过点 F作倾斜角为 60的直线与抛物线在第一象限的交点为 A，过 A作 l的垂线，垂足为 A1，则 AA1F的面积是 答案： 如图，用半径为 2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是 答案： 已知 a， b均为单位向量若 a 2b ，则向量 a， b的夹角等于 答案： 在等比数列 an中，若 a1 ， a4 -4
2、，则 | a1| | a2| | a6| 答案： ABC中， A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且满足 csinA acosC，则角 C 答案： 已知函数 f(x)是 R上的奇函数，且当 x 0 时， f(x) ，则 f(-4)的值是 答案： 设函数 f(x) 的定义域为集合 A，则集合 AZ中元素的个数是 答案： 已知直线 l经过点 P(2， 1)，且与直线 2x 3y 1 0垂直，则 l的方程是 答案： 设复数 z满足 (z-1)i -1 i，其中 i是虚数单位，则 复数 z的模是 答案： 某工厂生产某种产品 5000件，它们来自甲、乙、丙 3条不同的生产线为检查这批产品的质量
3、，决定采用分层抽样的方法进行抽样若从甲、乙、丙三条生产线抽取的件数之比为 1:2:2，则乙生产线 生产了 件产品 答案： 有四条线段，其长度 分别为 2， 3， 4， 5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 答案： 阅读右面的流程图若输入 x的值为 8，则输出 y的值是 答案： 解答题 一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共 7个， 其中白球个数不少于红球个数依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为随机变量X若 P(X 2) （ 1）求口袋中的白球个数； （ 2）求 X的概率分布与数学期望 答案：解
4、：（ 1）设口袋中白球数为 ，则由 ， 得： 即： 解得： 因为白球数不少于红球数，故白球个数为 4。 （ 2）因为 ， 所以 的分布列为 1 2 3 4 即： 的数学期望为 选修 45 ：不等式选讲 解不等式： 2x-1 3x 1 答案：解：不等式 2x-1 3x 1同解于： 或 解得： 或 所以不等式解集为 选修 4 4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线 l： rcos(q )，圆 C： r 4cosq，求直线 l被圆 C截得的弦长 答案：解：直线 的极坐标方程可化为 化为直角坐标方程： 圆 C： 化为直角坐标方程为： ， 即： 因为圆心 C（ 2， 0）到直线 的距离 所以弦长为
5、 选修 42 ：矩阵与变换 答案： 选修 41 ：几何证明选讲如图， AB为圆 O 的直径， D为圆 O 上一点，过D作圆 O 的切线交 AB的延长线于点 C，若 DA DC，求证： AB 2BC 答案：证明：连结 因为 是圆 的切线，所以 因为 ，记 ，则 又 。 在 中， 所以， 所以 ，所以 （本小题满分 16分）设等差数列 an的前 n项和是 Sn，已知 S3 9， S6 36 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）是否存在正整数 m、 k，使 am， am ， ak成等比数列？若存在，求出 m和 k的值，若不存在，说明理 由； （ 3）设数列 bn的通项公式为 bn 3n-2集合
6、 A xx an， n N*， Bxx bn， n N*将集合 A B中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1， c2，c3， ，求 cn的通项公式 答案：解：（ 1）设等差数列 的公差是 ， 由 和 ，得 得 即：等差数列 的通项公式为 3 分 （ 2） 成等比数列等价于 等价于 即： ， 是正整数。 7 分 所以存在正整数 ，使 成等比数列 和 的值是 或 或 9 分 （ 3）因为 ， ； 12 分 所以 ， 14 分 即：当 时， ；当 ，当 时， ， 当 时， 所以 的通项公式是 即： 16 分 （本小题满分 16分）已知函数 f(x) x2-(1 2a)x alnx(a为常数 ) （
7、 1）当 a -1时，求曲线 y f(x)在 x 1处切线的方程； （ 2）当 a 0时，讨论函数 y f(x)在区间 (0， 1)上的单调性，并写出相应的单调区间 答案：解：（ 1）当 时， 则 所以 ，且 . 所以曲线 在 处的切线的方程为： ， 即： . (2).由题意得 = 由 得 当 时 ,由 ,又知 得 或 由 ,又知 ,得 所以函数 的单调增区间是 和 ,单调减区间是 当 时 , ,且仅当 时 , , 所以函数 在区间 上是单调增函数 . 当 时 , 由 ,又知 得 或 由 ,又知 ,得 所以函数 的单调增区间是 和 ,单调减区间是 当 时 , 由 ,又知 得 由 ,又知 ,得
8、所以函数 的单调增区间是 ,单调减区间是 （本小题满分 16分）经销商用一辆 J型卡车将某种水果从果园运送 (满载 )到相距 400km的水果批发市场据测算， J型卡车满载行驶时，每 100km所消耗的燃油量 u(单位：资、车损等其他费用平均每小时 300元已知燃油价格为每升 (L)7.5元 （ 1）设运送这车水果 的费用为 y(元 )(不计返程费用 )，将 y表示成速度 v的函数关系式； （ 2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？ 答案：解：由（ 1）题意，当 时， 当 时， 所以 8 分 （ 2）当 时， 是单调减函数， 故 时， 取得最小值 ； 当 时， 由 ，得 当
9、 时， ，函数 单调递增 . 所以当 时 , 取得最小值 由于 ,所以当 时 , 取得最小值 . 答：当卡车以 的速度驶时，运送这车水果的费用最少。 （本小题满分 14分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C的中心在坐标原点 O，右焦点为 F若 C的右准线 l的方程为 x 4，离心率 e （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）设点 P为直线 l上一动点，且 在 x轴上方圆 M经过 O、 F、 P三点，求当圆心 M到 x轴的距离最小时圆 M的方程 答案：解：（ 1）由题意，设椭圆 C的标准方程为 则 得： ， ， 所以所求椭圆 C的方程为 （ 2）方法一、由（ 1）知 ，由题意可设 线段
10、 的垂直平分线方程为 因为线段 的中心为 ，斜率为 . 所以线段 的垂直平分线方程为 即： 联立 ，解得 即：圆心 因为 ，所以 ，当且仅当 即： 时， 圆心 到 轴的距离最小，此时圆心为 ，半径为 ， 故所求圆 的方程为 . 方法二：由（ 1）知 F（ 2， 0）由题可设 的方程为 将点 F、 P的坐标代入得 解得： 所以圆心的坐标为 ，即： 因为 ，所以 ，当且仅当 即： 时， 所以圆心 到 轴的距离最小，此时 故所求圆 的方程为： （本小题满分 14分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D、 E分别在边BC、 B1C1上， CD B1E AC， DA CD 60 求证：（ 1
11、） BE 平面 AC1D； （ 2） 平面 ADC1 平面 BCC1B1 答案：证明：（ 1）由三棱柱 是直三棱柱，得 . 因为点 分别边 上， ， 所以 ， . 所以 四边形 是平行四形 ,所以 因为 ， 所以 (2)由三棱柱 是直三棱柱 ,得 因为 ,所以 在 中 ,由 得 所以 所以 ,即： 因为 ， ， 所以 因为 所以 （本小题满 分 14分）已知函数 f(x) 2 sinxcosx-2sin2x （ 1）求函数 f(x)的最小正周期； （ 2）求函数 f(x)在区间 - ， 上的最大值和最小值 答案：解：（ 1） 函数 的最小正周期 8 分 （ 2） 于是，当 ，即： 时， 取得最小值 ； 当 ，即： 时， 取得最小值 ； 14 分 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，点 P， Q， R 分别是棱 AB，CC1， D1A1的中点 （ 1）求证： B1D平面 PQR； （ 2）设二面角 B1-PR-Q 的大小为 q，求 |cosq| 答案：解：（ 1）在正方体 中，以点 A为原点，分别以所 在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 由于棱长为 ，所以 所以， 因为 所以 即： 又 且 ，所以， （ 2）由（ 1）知， 的一个法向量 设 是平面 的一个法向量，因为 则由 得 取 则 即：平面 的一个法向量 所以 所以
