1、2013-2014学年四川省成都外国语学校高二下学期期末文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , 则 =（ ） A B C D 答案： C 试题分析： , . 考点：集合的交集 . 定义在 上的奇函数 ,当 0时 , 则关于 的函数 （ 0 1）的所有零点之和为（ ） . A 1- B C D 答案： A 试题分析： ,即 的实数 为所求；当 时，所以 的数不存在，当 ，与 两个交点关于 对称，相加为 6，当 ，关于原点对称过去之和为 -6， 与 关于原点的对称图象交点 ，关于原点对称点 在函数图象上，因此 ，解答 ，因此所有零点之后为 . 考点：奇函数的应用 . 已知 是可导的函数
2、，且 对于 恒成立，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：令 ，则 ，由于对于 恒成立，所以 在 上恒成立，所以为减函数， ，即 ； ，即 . 考点：构造函数和函数单调性与导数的关系 . 设变量 满足不等式组 ，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ,令 ，则求函数 的最小值； 表示 到 距离的平方，直线 和直线的交点 到原点的距离最近， ；直线 和直线的交点 到原点距离最远， ，在 恒成立，当 ， . 考点：函数的最值和导数 . 函数 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上的最小值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 图象向左平移
3、单位得由于函数为奇函数，所以 ,得 ， ，由于， ，当 ，即 ， . 考点：正弦型函数的图象平移 . 若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（ ） 答案： B 试题分析：由于当 时，函数 始终满足 ，得 ，当 时， 在 为增函数，由于 为偶函数，因此在 为减函数，因此选 . 考点：函数图象 . 运行如下程序框图 ,如果输入的 ,则输出 s属于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：当 ， ；当 ，则 ，当 时，最大值 当 或 时，最小值 ，因此 ，综上 . 考点：分段函数求值域 . 、设 为等比数列 的前 项和 , ,则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ，得
4、，因此 ，. 考点：等差数列的性质和前 项和公式 . 下列命题错误的是 （ ） A命题 “若 ，则方程 有实数根 ”的逆否命题为 “若方程无实数根，则 ” B “ ”是 “ ”的充分不必要条件 C对于命题 ,使得 ，则 ，均有 D若 为假命题，则 均为假命题 答案： D 试题分析：命题若 “若 则 ”的逆否命题为 “若 ，则 ”； 对；由 能推出 ，但 ，得 ，或 ， “ ”是“ ”的充分不必要条件 , 对；特称命题的否定是全称命题， 对；若 为假命题，则 均为假命题 ，或 为一真一假， 错 考点：命题的真假性 . 已知 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： . 考点：二
5、倍角的余弦公式和同角三角三角函数基本关系 . 填空题 给出下列命题 ; 设 表示不超过 的最大整数，则； 定义在 上的函数 ，函数 与 的图象关于 轴对称； 函数 的对称中心为 ； 已知函数 在 处有极值 ，则 或 ； 定义：若任意 ，总有 ，就称集合 为 的 “闭集 ”，已知且 为 的 “闭集 ”，则这样的集合 共有 7个。 其中正确的命题序号是 _. 答案： 试题分析：对于 ， ，从 ，因此算下去，从到 有 128-64=64个 6，因此共有 2个 1， 4个 2,8个 3,16个 4,32个 5,64个 6,1个 7，所以之和为 真确；对于 函数 图像关于直线 对称的函数式,不对；对于
6、，相当于把 向左平移 个单位，再往上平移 得到，关于 ，错；对于 ，解得 或 ；当 ，在 时，取到极值， ；当， ，不存在极值，所以 ，错；对于 ，这样集合有共 7个，对 . 考点：函数的性质 . 如图，在等腰直角三角形 中， ， 是 的重心，是 内的一点（含边界），则 的最大值为 _. 答案： 试题分析：当向量 在 上射影最长是， 最大，由图可知，当 在点时 ，由于三角形为等腰直角三角形，因此 ，由重心性质得 ，在三角形 中， . 考点：平面向量数量积的运算 . 已知函数 ，则 . 答案： 试题分析： . 考点：求函数的值 . 若某几何体的三视图如右，该几何体的体积为 ，则俯视图中的 . 答
7、案： 试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为 2，底面为直角梯形面积，因此 ，解得 . 考点：几何体的体积 . 复数满足 ，则复数 的实部与虚部之差为 . 答案： 试题分析： ,实部和虚部为 1，因此实部与虚部之差为0. 考点：复数的四则运算 . 解答题 已知函数 , 的最大值为 2。 （ 1）求函数 在 上的值域； （ 2）已知 外接圆半径 ， ，角所对的边分别是 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析 :（ 1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到 的形式；利用辅助角公式 求最值；（ 2）利用正弦函数的单调区间，求在 的单调性；（ 3）求解较复杂三角函数的单调区间时，首
8、先化成 形式，再 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 相应的单调区间，注意先把 化为正数 ,这是容易出错的地方 ;（ 4）掌握正弦定理的 . 试题：（ 1）由题意 ， 的最大值为 ，所以 而 ， 于是 ， 在 上递增在 递减， 所以函数 在 上的值域为 ； （ 2）化简 得： 由正弦定理，得 ， 因为 ABC的外接圆半径为 所以 . 考点：（ 1）求三角函数的值域；（ 2）三角函数的化简和面积公式的应用 . 三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， AB BC。 （ 1）证明：平面 PAB 平面 PBC； （ 2）若 ， ， PB与底面 ABC成 60角， 分别是 与的中点， 是线段 上
9、任意一动点（可与端点重合），求多面体 的体积 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为 “证面面垂直，找线面垂直 ”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（ 2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面 .解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（ 3）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算 . 试题：（ 1）证明： ， ， 且
10、， 而 中， （ 2）解：（ 2） 与底面 成 角 即 ， 在 中， ，又 ， 在 中， 分别是 的中点， 面 . 考点：（ 1）平面与平面垂直的判断；（ 2）求几何体的体积 . 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0的小球 1个，标号为 1的小球 1个，标号为 2的小球 个。若从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号为 2的小球的概率为 。 （ 1）求 的值； （ 2）从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球的标号为 ，第二次取出的小球的标号为 。 记 “ ”为事件 ，求事件 的概率； 在区间 内任取 2个实数 ，求时间 “ 恒成立 ”的概率 . 答案：（ 1） ；
11、（ 2） ； . 试题分析：（ 1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（ 2）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（ 3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性 .（ 4）在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形 . 试题：解：（ 1）由题意， ， （ 2） 将标号为 2的小球记为 , ,两次不放回的取小球的所有基本为 : （ 0,1） ,（ 0, ） ,（
12、0, ） ,（ 1,0） ,（ 1, ） , （ 1, ） ,（ ,0） ,（ ,1） ,（ , ） ,（ ,0） ,（ ,1），（ , ） ,共 12个事件 A包含的基本事件为 : （ 0, ） ,（ 0, ） ,（ ,0） , （ ,0） . .事件 B等价于 : , 可以看作平面中的点 ,则全部结果所构成的区域 , 而事件 B的所构成的区域 B= , . 考点：（ 1）古典概型的概率计算；（ 2）几何概型的概率计算 . 工厂有一段旧墙长 m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为 m2的厂房，工程条件是：（ 1）建 1m新墙费用为 a元；（ 2）修1 m旧墙费用是 元；（
13、3）拆去 1 m旧墙，用所得材料建 1m新墙费用为 元，经过讨论有两种方案： 利用旧墙的一段 （ x14）为矩形厂房一面的边长； 矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长 x14。 问：如何利用旧墙，即 x 为多少 m 时，建墙费用最省？ 两种方案哪种更好？ 答案：采用第一种方案，利用旧墙的 12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省 . 试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（ 2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（ 3）基本不等式具有将 “
14、和式 ”转化为“积式 ”和将 “积式 ”转化为 “和式 ”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点 . 试题：解：（ 1）利用旧墙的一段 ，则修墙费用为 元，将剩余旧墙拆得材料建新 墙费 用为（ 14- ） 元，其余建新墙的费用为 元 总费用 ，当且仅当 ，即 时， （ 2）利用旧墙的一面，矩形边长 x ，则修旧墙费用为 元， 建新墙费用为 元 总费用 由 在 上为增函数，得 在 14， ）上为增函数 当 时， 综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的 12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省 . 考点：利用基本不等式解决实
15、际问题 . 已知数列 满足 ， （ ） . （ 1）证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求 的前 n项和 ； （ 3）设 ，数列 的前 n项和 ，求证：对. 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）证明见 试题分析：（ 1）等比数列的判定方法：（ 1）定义法：若 是常数，则是等比数列；中项公式法：若数列 中， ，则 是等比数列；通项公式法：若数列通项公式可写成 ；（ 2）熟记等比数列前 项和公式，注意利用性质把数列转化，利用等比数列前项和；（ 3）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，
16、在使用等比数列的前 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简 化运算过程 . 试题：解：（ 1） ， ， 又 ， 数列 是首项为 3，公比为 -2的等比数列， = ，即 （ 2） ， = = （ 3） = ， ， 当 n3时， = = = , 又 ， 对 . 考点：（ 1）证明数列为等比数列；（ 2）求数列的和；（ 3）证明不等式 . 设函数 . （ 1）当 时 ,求曲线 在 处的切线方程 ; （ 2）当 时 ,求函数 的单调区间 ; （ 3）在（ 2）的条件下 ,设函数 ,若对于 , ,使 成立 ,求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）当 时，函数 的单调递增
17、区间为 ；单调减区间 （ 3） . 试题分析：（ 1）利用导数的几何意义求曲线在点 处的切线方程，注意这个点的切点；（ 2）利用函数的单调性与导数的关系；若可导函数 在指定的区间 上单调递增（减），求参数问题，可转化为 恒成立，从而构建不等式，要注意 “=”是否可以取到 ;（ 3）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（ 1） ，（ 2）. 试题：解 :函数 的定义域为 , （ 1）当 时， ， ， 在 处的切线方程为 当 ，或 ， ，当 时， 故当 时，函数 的单调递增区间为 ；单调减区间 当 时，由以上知函数 在 上为减函数，所以 在 上的最小值 若对于 使 成立 在 上的最小值不大于 在 1,2上的最小值 （ *） 又 当 时， 在 上为减函数， 相关试题 2013-2014学年四川省成都外国语学校高二下学期期末文科数学试卷（带）
