1、2013-2014学年江西赣州四所重点中学高一上学期期末联考数学卷（带解析） 选择题 设 ， ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：集合 为函数 的定义域 ,故,所以 ,故选 A. 考点： 1.集合的运算； 2.函数的定义域 . 已知 ，若对任意 与 的值至少有一个为正数，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：（采用特值检验法），若 ， 满足题意，可排除 A、 D，若 ， ，显然满足题意，故选 B. 考点：二次函数、一次函数的图像与性质的综合运用 . 函数 的图像大致为（ ） 答案： A 试题分析：因为 的定义域是 且,所以 是奇函数 .又 变形成 :
2、 ,解得 .又 ，所以函数在 上单调递减，故选 A. 考点：函数的图像 . 将函数 的图像向左平移 个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能为（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 答案： B 试题分析：法一（检验法）当 时 ,将函数 的图像向左平移 个单位 ,得 与原函数相同 .当 时 ,将函数 的图像向左平移 个单位 ,得与原函数不相同 .故选 B； 法二：将 函数 的图像向左平移 个单位后式变为,因为平移后图像与 的图像重合 , 所以 所以 的值不可能等于 6，故选 B. 考点：三角函数的变换及图象的变换 . 函数 的图象与函数 图象交点的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D
3、 4 答案： C 试题分析：在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像 由上图可知可知有 3个交点，故选 C. 考点：函数图象的交点 . 函数 在一个周期内的图像如图，此函数的式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由图可得 ， ，又点在图像上，代入 A、 B、 D，经验算知选 A. 考点： 1.三角函数的图像及其性质 . 若点 坐标为 ，则点 在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试题分析： ，故角 的终边在第三象限，所以，所以点 在第三象限，故选 C. 考点： 1.三角函数的的定义 . 设偶函数 对任意 都有 ，且当 时，则 （ ） A 10 B C
4、D 答案： C 试题分析： 是偶函数 ,有 , 由 ， 是周期为 6的周期函数 , , 当 时 , , ,又 , , 当 时 , , , ，故选 C. 考点： 1.偶函数的性质； 2.分段函数的式求法； 3.周期函数的性质 . （ ） A 0 B 1 C 2 D 4 答案： C 试题分析：，故选 C. 考点：对数的运算 . 在定义域内既是奇函数又为增函数的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：对于 A, 是底数为 的指数函数，不是奇函数，是减函数而不是增函数；对于 B， 是周期为 的函数，在定义域 内不是增函数；对于 C，设 ，则有 ，该函数为奇函数，而 ，故该函数在其定义域内是单调
5、递增函数，故 C正确；对于 D， 是底数为 的对数函数，定义域为 ，不是奇函数，故选 C. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调性 . 填空题 已知函数 为 上的偶函数 ,且对任意 均有 成立且 ，当 且 时 ,有 ,给出四个命题 : ； 函数 的图像关于 对称； 函数 在 上为增函数； 方程 在 上有 4个实根 . 其中所有正确命题的序号为 . 答案： 试题分析：当 ,则 ,所以 ,周期 ，故;当 , 时 ,有成立 ,则 在 上单调递增 ,又 在 上单调递减 .其图像如下 : 则 正确 , 不正确，应该是 0， 不正确 ,应该是单减 . 考点： 1.函数的奇偶性与周期性； 2.函数图像
6、的应用 . 已知 ，则 . 答案： 试题分析：由 ,可得 即，即 ， ，由诱导公式可得 . 考点： 1.角的和差公式； 2.三角函数的辅助角公式； 3.三角函数的诱导公式 . 若方程 的两实根分别为 ，且 ，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：因为关于 的方程 的两个根为 ，且则满足 ,这样可以解得 的范围 . 考点： 1.一元二次方程根的分布； 2.二次函数的图像与性质； 3.简单不等式组的解法 . 已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为 . 答案： 试题分析： ， ， 或（舍去），或 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 （当且仅当 即 时等号成立），所以 的取值范围是 . 考点： 1.对数函
7、数的性质； 2.均值不等式的应用 . 若函数 (其中 且 )的图像经过定点 ,则 . 答案： 试题分析：根据指数函数 恒过定点 ，由 ，令，此时 ，故函数 的图像经过定点，故 . 考点：指数函数性质的运用 . 解答题 设实数集 为全集， . （ 1）当 时，求 及 ； （ 2）若 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）首先解出集合 ，然后求出 、 即可；（ 2）若，则 ，然后对 分 与 两类进行讨论，可得到参数 的取值范围 . 试题：（ 1） 1分 当 时， 2分 4分 6分 （ 2）由（ 1）可知 7分 由 可知 8分 当 时，即 时成立 9分 当 ，即
8、 时， 10分 此时要使 ，须有 11分 综上可知 的取值范围是： . 考点： 1.集合的运算； 2.子集的性质 . 已知 . ( )求 的值 ; ( )求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）利用正切的两角和公式求 的值；（ 2）利用第一问的结果求第二部，但需要先将式子 化简，最后变形成关于 的式子，需要运用三角函数的倍角公式将 化成单角的三角函数，然后分子分母都除以 ，然后代入 的值即可。 试题：（ 1）由 3分 6分 （ 2） 12分 . 考点： 1.正切的两角和公式； 2.正余弦的倍角公式 . 已知二次函数 满足 ，且 . （ 1）求式 ； （ 2）当 时，函数 的
9、图像恒在函数 的图像的上方，求实数 的取值范围 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析： (1)根据二次函数 满足条件 ,及 ,可求, ,从而可求函数 的式 ;(2)在区间 上 , 的图象恒在 的图象上方 ,等价于 在 上恒成立 ,等价于在 上恒成立 ,求出左边函数的最小值 ,即可求得实数 的取值范围 . 试题： (1)由 ,令 ,得 ;令 ,得 . 设 ,故 解得 故 的式为 . (2)因为 的图像恒在 的图像上方 ,所以在 上 ,恒成立 .即 : 在区间 恒成立 .所以令,故 在 上的最小值为 ,. 考点： 1.函数的式求法； 2.二次函数的图像与性质 . 已知 的图像上相邻两对称轴的
10、距离为 . （ 1）若 ，求 的递增区间； （ 2）若 时， 的最大值为 4，求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：首先利用二倍角公式与两角和差公式进行化简可得，然后对两相邻对称轴的距离可求得 ，（ 1）由正弦函数的单调增区间可求出函数 的递增区间；（ 2）由题中所给 的范围，求出整体 的范围，再结合 的图像，不难求得 的取值范围，即可求出 的最大值，再利用所给最大值 4，可求出 的值 . 试题：由3分 因为 的图像上相邻对称轴的距离为 ，故 5分 6分 （ 1）由 可解得 故 的增区间是 9分 （ 2）当 时， 10分 11分 12分 考点： 1.二倍角公式和两角和差公式；
11、 2.三角函数的图像及 性质 . 已知函数 ，且 . （ 1）求 的值； （ 2）设 , , ,求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： (1)由 ，代入即可计算得到 的值；（ 2）将已知条件, 代入，可求出 、 ，然后根据与同角三角函数的基本关系式，可求出 ，最后应用两和的余弦公式展开，代入可求得 的值 . 试题：（ 1）由 3分 5分 （ 2）由 7分 由 9分 ，故 11分 13分 . 考点： 1.三角函数的图像与性质； 2.诱导公式； 3.两角和差公式 . 已知函数 满足 . （ 1）求 的式； （ 2）对于（ 1）中得到的函数 ，试判断是否存在 ，使在区间 上的值域为 ？
12、若存在，求出 ；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）存在 满足条件 试题分析：（ 1）由条件 结合幂函数的图像与性质可知 在第一象限单调递增，从而可得 ，解出 的整数解即可得到函数的式；（ 2）先假设存在 的值满足题意，然后根据二次函数取得最值的位置：区间的端点与对称轴的位置，进行确定 在什么位置取得最大值与最小值，最后根据题目所给的最值即可得到参数 的值 . 试题： (1) ，由幂函数的性质可知， 在第一象限为增函数 ，得 ，又由 ，所以 或 5分 6分 （ 2）假设存在 满足条件，由已知 8分 而 9分 所以两个最值点只能在端点 和顶点 处取得 而 11分 且 解得 13分 存在 满足条件 14分 . 考点：幂函数及二次函数的单调性与最值 .
