1、2013届江西南昌 10所省重点中学高三第二次模拟冲刺理科数学试卷与答案（七）（带解析） 选择题 复平面内，复数 ，则复数 的共轭复数 对应的点所在象限为 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析：因为 = ，所以 =1+2i, 对应的点所在象限为第一象限 ,选 A. 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念，复数的几何意义。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。先计算 z，在求其共轭复数。 如图 ,已知正方体 的棱长为 1,动点 在此正方体的表面上运动 ,且 ,记点 的轨迹的长度为 ,则函数 的图像可能是 ( )答案： B 试题分析： P的轨迹为
2、以 A为球心， PA为半径的球面与正方体的交线。所以在时，轨迹长度直线增加，而 时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，故选 B。 考点：本题主要考查正方体、球的几何特征，轨迹的概念。 点评：中档题，解题的关键是认识到 P的轨迹为以 A为球心， PA为半径的球面与正方体的交线。定性分析 “交线 ”的长度变化规律。 已知 ，已知数列 满足 ，且，则 ( ) A有最大值 6030 B有最小值 6030 C有最大值 6027 D有最小值 6027 答案： A 试题分析： ，当 时，=6030 对于函数 , ,在 处的切线方程为 即 ， 则 成立， 所以 时，有 考点：本题主要考查导数的几何意义，导数
3、的应用，不等式性质。 点评：难题，本题思路不易探寻得到，特别是 这一条件，在此方法下，是多余的，迷惑考生。 已知函数 是 R上的单调增函数且为奇函数，数列 是等差数列， 0，则 的值 ( ) A恒为正数 B恒为负数 C恒为 0 D可正可负 答案： A 试题分析： 函数 f（ x）是 R上的奇函数且是增函数数列， 取任何 x2 x1，总有 f（ x2） f（ x1）。 函数 f（ x）是 R上的奇函数， f（ 0） =0， 函数 f（ x）是 R上的奇函数且是增函数， 当 x 0， f（ 0） 0， 当 x 0， f（ 0） 0 数列 an是等差数列， a1+a5=2a3， a3 0， a1+a
4、5 0， 则 f（ a1） +f（ a5） 0， f（ a3） 0， f（ a1） +f（ a3） +f（ a5）恒为正数，故选 A。 考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，等差数列的性质。 点评：中档题，本题综合应用函数奇偶性及单调性，逐步确定得到满足的条件。有一定综合性 ，较为典型。 已知一组正数 的方差为 ，则数据的平均数为 ( ) A 2 B 4 C -2 D不确定 答案： B 试题分析：设正数 的平均数为 ，由方差的计算公式得，所以。 =2，故的平均数为 4，选 B。 考点：本题主要考查方差和平均数的性质。 点评：简单题，一般地设有 n个数据， x1， x2， x n，若每个数据都
5、放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍。 观察下列各式： ， ， ， 若，则 （ ） A 43 B 57 C 73 D 91 答案： C 试题分析：因为 ， ， ，所以由 m=9， n= =82, =73，故选 C. 考点：本题主要考查归纳推理。 点评：简单题，关键在于根据题意推出规律 m=9， n= ，推出 m 和 n 的值。 有以下命题： 命题 “ ”的否定是： “ ”； 已知随机变量 服从正态分布 ， 则 ； 函数 的零点在区间 内；其中正确的命题的个数为 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： D 试题分析：存在
6、性命题的否定是全称命题， 命题 “ ”的否定是： “ ”正确； 因为随机变量 服从正态分布 ，所以正态分布曲线对称轴为 x=1, 由正态分布的性质，当 则 所以； 正确； 由幂函数、指数函数的性质可知 ，所以由零点存在定理， 函数 的零点在区间 内，正确。故选 D。 考点：本题主要考查命题的概念，全称命题与存在性命题的关系，正态分布的性质，函数零点存在定理。 点评：简单题，本题通过判断命题的真假，综合考查命题的概念，全称命题与存在性命题的关系，正态分布的性质，函数零点存在定理，对学生灵活运用数学知识解题的能力有较好的考查。 若 ，且 ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，
7、且 ，所以，故选 D。 考点：本题主要考查二倍角的三角公式，三角函数同角公式。 点评：典型题，涉及三角函数同角公式 “平方关系 ”时，要注意开方运算 “ ”的选取。 若 ，则 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析： ，故选C。 考点：本题主要考查分段函数的概念，分段函数定积分的计算。 点评：简单题，根据函数表达式的不同，分别计算定积分。 设全集为 R，集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 = ， = ， 所以 ，故选 B。 考点：本题主要考查集合的运算，简单绝对值不等式、分式不等式解法。 点评：简单题，欲求集合的交集、并集、补集等，首先需要
8、明确集合中的元素。 填空题 （ 1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，曲线与 的交点的极坐标为 _ (2) （不等式选讲选做题）对于任意 恒成立，则实数 a的取值范围 _ 答案： 试题分析：（ 1）曲线 即 x+y=2; 即 x-y=2，解联立方程组的两曲线交点的直角坐标为（ 2,0），所以曲线与 的交点的极坐标为 ； （ 2）因为 -1,1，所以对于任意 恒成立， 即 5-2 ，而 5-2 最小值为 3，所以 3 ，解得，实数 a的取值范围是 。 考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，绝对值不等式的性质，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，（ 2）是恒成立问题，这类题目的一般解法
9、是转化成求函数的最值问题，本题转化成求 5-2 最小值，是问题易于得解。 已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率的取值范围为 . 答案： 试题分析： B和 A关于原点对称， B也在椭圆上。 设左焦点为 F，根据椭圆定义： |AF|+|AF|=2a 又 |BF|=|AF| |AF|+|BF|=2a O 是 Rt ABF的斜边中点， |AB|=2c 又 |AF|=2csin |BF|=2ccos 将 代入 2csin+2ccos=2a ，即 ， ， )1，故椭圆离心率的取值范围为 。 考点：本题主要考查椭圆的定义及其几何性质，两角和的正弦公式，正弦函数的
10、图象和性质。 点评：中档题，本题利用椭圆的定义及直角三角形中的边角关系，确定得到了椭圆离心率的表达式，根据角的范围确定离心率的范围，该题综合性较强，也较为典型。 设函数 ， ， = ，则 ； 答案： 试题分析：因为 ， ，且= ， 设 ，则 a1 -， ， 由 = ， 得 23-cos cos cos 3， 即 6-( 1)cos 3. 当 0时，左边是 的增函数，且 满足等式； 当 时， 6 6，而 ( 1)cos 3cos3，等式不可能成立； 当 0时， 6 0，而 ( 1)cos 3，等式也不可能成立 故 . 2（ + + ） -(cos +cos +cos +cos+cos+cos +
11、cos +cos2+cos +cos )= . 考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，两角和与差的余弦函数，特殊角的三角函数值。 点评：中档题，这是一道根据高考题改编的题目，综合考查等差数列的通项公式、求和公式，两角和与差的余弦函数，特殊角的三角函数值，对考生的分析问题解决问题的能力有较好的考查。 已知 则 展开式中的常数项为 ； 答 案： -160 试题分析：由定积分的定义及其几何意义，所以 展开式中的通项为 ，令 6-2r=0得， r=3，所以展开式中的常数项为 -160。 考点：本题主要考查定积分的计算，二项展开式的通项公式。 点评：小综合题，拼凑痕迹明显，解答思路明确，对计算
12、能力要求较高。 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其外接球的表面积是 _； 答案： 试题分析：该几何体是正三棱柱，底面边长为 ，高为 4，所以其外接球半径为 ，其外接球的表面积是 4R = . 考点：本题主要考查三视图，几何体的特征及 球的表面积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。 解答题 某人上楼梯，每步上一阶的概率为 ，每步上二阶的概率为 ，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第 阶的概率为 . (1)求 ； ; (2)该人共走了 5步，求该人这 5步共上的阶数 的数学期望 . 答案：
13、(1) P2= + ； (2)的分布列为： 5 6 7 8 9 10 P =5( )5+6 。 试题分析： (1) 从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达， 2分 故概率为 P2= + 6分 (2)该人走了五步，共上的阶数 取值为 5， 6， 7， 8， 9， 10 .8分 的分布列为： 5 6 7 8 9 10 P 10分 =5( )5+6 12分 考点：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望。 点评：中档题，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题的计算能力要求较高。 已知函数 , 其中 ，其中 若 相邻两对称轴间的距
14、离不小于（ 1）求 的取值范围； （ 2）在 中， 、 、 分别是角 A、 B、 C的对边， ，当最大时， 求 的面积 . 答案：（ 1） . （ 2） . 试题分析：（ 1） . , 函数 的周期 ，由题意可知 ，即 ，解得，即 的取值范围是 . 6分 （ 2）由（ 1）可知 的最大值为 1， 而 ， 8分 由余弦定理知 ， ，又 . 联立解得 ， . 12分 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质，三角形面积公式。 点评：中档题，本题综合性较强，关键是准确进行向量的坐标运算，并运用三角公式对三角函数式进行化简。（ 2）小题之中，角
15、的范围对确定角的大小至关重要。 在数列 中， ， . （ 1）求 的通项公式； （ 2）令 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） .（ 2） . 试题分析：（ 1）由条件得 ，又 时， ， 故数列 构成首项为 1，公式为 的等比数列从而 ，即 . 6分 （ 2）由 得 ， ， 两式相减得 ： ， 所以 . 12分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识， “错位相减法 ”求和。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从确定通项公式入手，认识到数列的特征，利用 “错位相消法 ”达到求和目的。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考到数列求和方法。 已知某几
16、何体的直观图和三视图如下图所示 , 其正视图为矩形 ,左视图为等腰直角三角形 ,俯视图为直角梯形 .（ 1）证明： 平面 （ 2）求平面与平面 所成角的余弦值； 答案：（ 1）通过建系证明 ，得到 , .故 平面 . （ 2）二面角 C-NB1-C1的余弦值为 试题分析：（ 1）证明 : 该几何体的正视图为矩形 ,左视图为等腰直角三角形 ,俯视图为直角梯形 , 两两垂直 .以 分别为 轴建立空间直角坐标系如图 则 ， , . 又 与 相交于 ， 平面 . 6 分 （ 2） 平面 , 是平面 的一个法向量 , 设 为平面 的一个法向量 ,则, 所以可取 则 所求二面角 C-NB1-C1的余弦值为
17、 12分 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了 “以算代证 ”，对计算能力要求较高。 过点 的直线 交直线 于 ，过点 的直线 交 轴于 点， ， . （ 1）求动点 的轨迹 的方程； (2)设直线 l与 相交于不同的两点 、 ，已知点 的坐标为 (-2,0)，点 Q(0，)在线段 的垂直平分线上且 4，求实数 的取值范围 . 答 案： (1)
18、； (2)综上所述， 且 0. 试题分析： (1)由题意，直线 的方程是 ， ， 的方程是 若直线 与 轴重合，则 ，若直线 不与 重合，可求得直线 的方程是 ，与 的方程联立消去 得 ，因 不经过 ，故动点动 的轨迹 的方程是 6分 (2)设 (x1， y1)，直线 l的方程为 y k(x 2) 于是 、 两点的坐标满足方程组 由方程消去 y并整理得 (1 4k2)x2 16k2x 16k2-4 0由-2x1 得 x1 ，从而 y1 设线段 的中点为 N，则N( ， ) 8分 以下分两种情况： 当 k 0时，点 的坐标为 (2,0)，线段 的垂直平分线为 y轴， 于是 ，由 4得： . 当
19、k0 时，线段 的垂直平分线方程为 y- - (x )令 x 0， 得 m ， ， 由 -2x1-m(y1-m) ( )4 解得 m 11分 当 当 时， 4 综上所述， 且 0.13 分 考点：本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，均值定理的应用。 点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 1）求椭圆方程时，应用了参数法，并对可能的情况进行了讨论。（ 2）则在应用韦达定理的基础上，将 m用 k表示，并利用均值定理，逐步求得 m的范围。 设 是函数 的一个极值点。 （ 1）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
20、 （ 2）设 ，若存在 ，使得成立，求实数 的取值范围。 答案：（ 1） ； 当 时，单增区间为： ；单减区间为： 、 ； 当 时，单增区间为： ；单减区间为： 、 ； （ 2） 的取值范围为 。 试题分析：（ 1） 2分 由题意得： ，即 ， 3分 且 令 得 ， 是函数 的一个极值点 ，即 故 与 的关系式 5分 当 时， ，由 得单增区间为： ； 由 得单减区间为： 、 ； 当 时， ，由 得单增区间为： ； 由 得单减区间为： 、 ； 8分 （ 2）由（ 1）知：当 时， ， 在 上单调递增，在上单调递减， ， 在 上的值域为 10分 易知 在 上是增函数 在 上的值域为 12分 由于 ， 又 要存在 ，使得 成立， 必须且只须 解得： 所以： 的取值范围为 14分 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，确定参数的范围。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。
