1、2013届江西南昌 10所省重点中学高三第二次模拟突破冲刺理科数学（八）（带解析） 选择题 复数 （ 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析：因为 ，所以 在复平面上对应的点位于第 二象限 . 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念， 合理运用复数的几何意义进行解题 设函数 的定义域为 ,若存在常数 ,使 对一切实数均成立 ,则称 为 “好运 ”函数 .给出下列函数 : ; ; ; . 其中 是 “好运 ”函数的序号为 .
2、 A B C D 答案： C 试题分析：对于 ， ，显然不存在常数 ，使得 ，故不满足题意 . 对于 ， ，由于 时， 不成立，故错误； 对于 ， ，令 ，则 ，使 对一切实数 均成立 .故 正确 . 对于 ， ，由于 时， 不成立，故错误 . 考点：函数恒成立问题 点评：本题考查阅读题意的能力，考查学生对新定义的理解，根据 “好运 ”的定义进行判定 是关键 如图， AB是圆 O 的直径， C、 D是圆 O 上的点， CBA=60， ABD=45 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 设圆的半径为 1，以 作为坐标原点建立坐标系，则 , , ， , , , ， , 因为 ，所以
3、 ，所以， ，所以 . 考点：向量运算 点评：本题关键是建立坐标系，求出向量坐标，利用向量相等解题是关键，属中档题 . 已知椭圆： 和圆 ： ，过椭圆上一点 引圆的两 条切线，切点分别为 . 若椭圆上存在点 ，使得 ，则椭圆离心率的取值范围 是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ,及圆的性质可得 ， 所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ， 所以 . 考点：椭圆的简单性质 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于 基础题 设等差数列 满足： ，公差 . 若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项的取值范围是 ( ) A B C
4、 D 答案： B 试题分析：所以 ，又 最大，所以 ，即 且 ，解得 . 考点：数列与三角函数的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前 n项和 点评：本题考查数列与三角函数的综合 , 突出化归思想与函数与方程思想的考查，属于难题 执行如图所示的程序框图，输出的 值是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 试题分析：第一次执行： ； 第二次执行： 第三次执行： ； 第四次执行： 第五次执行： ；满足条件，输出 . 考点：循环结构；选择结构 点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程 图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的
5、数学模型解答 在数列 中，若对任意的 n均有 为定值 ，且， ， 则数列 的前 100项的和 S100 ( ) A 132 B 299 C 68 D 99 答案： B 试题分析：在数列在数列 中，若对任意的 n均有 为定值， 所以 ，即数列各项以 3为周期呈周期变化， 因为 ，所以 ， ， ， 所以 ，所以 . 考点：数列的求和 点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 设 ， ， 是空间三条直线， 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立 的是 ( ) A当 时，若 ，则 B当 时，若 ，则 C当 ，且 c是 a在 内的射影时，若 ，则 D当 ，且 时， ，则 答案： B
6、 试题分析： A、其逆命题是：当 时，或 ，则 ，由面面平行的性质定理知正确 B、其逆命题是：当 ，若 ，则 ，也可能平行，相交不正确 C、其逆命题是当 ，且 是 在 内的射影时，若 ，则 ，由三垂线定理知正确 D、其逆命题是当 ，且 时，若 ，则 ，由线面平行的判定定理知正确故选 B 考点：平面与平面之间的位置关系；四种命题；空间中直线与直线之间的位置关系 点评：本题主要考查线面平行的判定理，三垂线定理及其逆定理，面面平行的性质定理等，做这样的题目要多观察几何体效果会更好 在长为 10的线段 AB上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形的面 积介于 25cm2与 49 cm2
7、之间的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为以线段 AP 为边的正方形的面积介于 与 之间 所以线段 的长介于 与 之间 满足条件的 点对应的线段长 而线段 总长为 故正方形的面积介于 与 之间的概率 . 考点：几何概型 点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型的概率估算公式中的 “几何度量 ”，可以为 线段长度、面积、体积等，而且这个 “几何度量 ”只与 “大小 ”有关，而与形状和位置无关 命题甲： 或 ；命题乙： ，则甲是乙的 ( ) A充分非必要条件； B必要非充分条件； C充要条件； D既不是充分条件，也不是必要条件 . 答案： B 试题分析：因为 不能推出 ，所以
8、甲成立不能推出已成立 .但 可 以推出 ，所以甲是乙的必要非充分条件 . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 点评：本题主要考查了充分与必要条件的判断，属于基础试题 填空题 （ 1）若关于 的不等式 的解集非空，则实数 的取值范 围是 . （ 2）直线 的参数方程是 （其中 为参数），圆 的极坐标方程为 ，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 . 答案：（ 1） （ 2） 2 试题分析：（ 1）关于 的不等式 的解集非空等价于 ，所以 或 ，所以实数 的取值范围是 . （ 2）因为 ，所以 ， 所以圆 的直角坐标系方程为 ， 即 ，所以圆心直角坐标为 因为直线 的普通方程为 ，圆心
9、 到直线 距离是， 所以直线 上的点向圆 引的切线长的最小值是 . 考点：绝对值不等式 简单曲线的极坐标方程 点评：第（ 1）题考查绝对值不等式的解法，转化思想的应用，考查计算能力，第（ 2）题考 查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系 和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 研究问题： “已知关于 的不等式 的解集为（ 1， 2），解关于的 不等式 ”，有如下解法：由 ，令 ，则 ，所以不等式 的解集为 。类比上述解法，已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集 为 . 答案： 试题分析：关于 的不等式 的解
10、集为 ，用 替代, 不等式可以化为： ，可得， 可得 或 . 考点：类比推理 其它不等式的解法 点评：本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键是难题，将方程问题和 不等式问题进行转化是解答本题的关键 设随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4），若 P（ 2a-3） P（ a 2），则 a的值为 _. 答案： 试题分析：因为随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4） P（ 2a-3） P（ a 2），所以 与 关于 对称， 所以 ，所以 ，所以 . 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于 x=3对称， 考查关
11、于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目 已知 M， N 为平面区域 内的两个动点向量 =（ 1， 3）则 的最 大值是 答案： 试题分析： 作出不等式组 对应的平面区域， 如图中阴影部分三角形， 由 得 ,由 得 ,结合图形得，当时， 的最大值为： . 考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角 点评：本题给出平面区域内的两个点 N、 M，求数量积的最大值，着重考查了平面向量数量积 的坐标运算和简单的线性规划等知识，属于基础题 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大，则它的常数项是 答案： 试题分析：因为 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，所以 ，
12、，令 ，则 ，所以常数项为 . 考点：二项式系数的性质 点评：本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区 别 解答题 设函数 . （ ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （ ）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求 的式； （ ）将满足（ ）的函数 的图像向右平移 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍，再向下平移 ，得到函数 ，求 图像与 轴的正半轴、直线所围成图形的 面积 . 答案：（ ） ， （ ） （ ） 1 试题分析：（ ） ， . 由 ，得 . 故函数 的单调递减区间是 . （ 2） . 当 时，原函数的最大值与最小值的和 ， . （ 3
13、）由题意知 =1 考点：三角函数的恒等变换及化简求值 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的单调性 点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法， 正弦函数的值域，正弦函数的单调性，其中根据二倍角公式，和辅助角公式，化简函数的形 式，是解答本题的关键 已知几何体 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形 ( )求此几何体的体积； ( )求异面直线 与 所成角的余弦值； ( )探究在 上是否存在点 Q，使得 ，并说明理由 答案： ( ) ( ) ( ) 在 上存在点 Q，使得 . 试题分析：（ ）由该几何体的三视图可知 垂
14、直于底面 ，且， ， ， ， 此几何体的体积为 ； 解法一：（ ）过点 作 交 于 ，连接 ，则 或其补角即为异面直线 与 所成角，在 中， ， ， ；即异面直线 与 所成角的余弦值为 . （ ）在 上存在点 Q，使得 ；取 中点 ，过点 作于点 ，则点 为所求点； 连接 、 ，在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 以 为圆心， 为直径的圆与 相切，切点为 ，连接 、 ，可得； ， ， ， ， ， ； 解法二：（ ）同上。 （ ）以 为原点，以 、 、 所在直线为 、 已知函数 ，若存在 使得 恒成立，则称 是的 一个 “下界函数 ” (I)如果函数 （ t为实数）为 的一个 “下
15、界函数 ”， 求 t的取值范围； （ II）设函数 ，试问函数 是否存在零点，若存在，求出零点个数； 若不存在，请说明理由 答案： (I) （ II）函数 不存在零点 试题分析：（ ） 恒成立， ， ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上是减函数，当 时， 在 上是增函数， （ ）由（ I）知， ， ， 令 ，则 ， 则 时， ， 上是减函数， 时， ， 上是增函数， ， ， 中等号取到的条件不同， 函数 不存在零点 . 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值 点评：本题考查函数的最值的求法，利用函数的导函数求函数的最值，本题是一个综合题目， 可以作为高考卷的压轴题目，
16、注意本题对于新定义的理解是解题的关键 已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是轴、 轴上的动点，且满足 若点 满足 ( )求点 的轨迹 的方程； ( )设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线分别交 于点 、 （ 为坐标原点），试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是， 请说明理由 答案： ( ) ( ) 的值是定值，且定值为 试题分析： ( ) 椭圆 右焦点 的坐标为 ， ， 由 ，得 设点 的坐标为 ，由 ，有 ， 代入 ，得 （ ）解法一：设直线 的方程为 ， 、 ， 则 ， 由 ，得 ， 同理得 ， ，则 由 ，得 ， 则 因此， 的值是定值，且定值为 解法
17、二： 当 时， 、 ，则 ， 由 得点 的坐标为 ，则 由 得点 的坐标为 ，则 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 、，同解 法一，得 由 ，得 ， 则 因此， 的值是定值，且定值为 已知 A( , )， B( , )是函数 的图象上的任意两点（可以重合），点 M在直线 上，且 . （ 1）求 + 的值及 + 的值 （ 2）已知 ，当 时， + + + ，求 ； （ 3）在（ 2）的条件下，设 = ， 为数列 的前 项和，若存在正整数、 ， 使得不等式 成立，求 和 的值 . 答案：（ 1） + . （ 2） =1-n. （ 3） c=1, m=1. 试题分析：（ ） 点 M在直线 x=
18、 上，设 M . 又 ，即 ， ， + =1. 当 = 时， = ， + = ； 当 时， ， + = + = = =综合 得， + . （ ）由（ ）知，当 + =1时 , + ， k= . n2时， + + + ， ， 得， 2 =-2(n-1),则 =1-n. 当 n=1时， =0满足 =1-n. =1-n. （ ） = = ， =1+ + = . . =2- ， = -2+ =2- ， ，、 m为正整 数， c=1，当 c=1时， ， 1 3， m=1. 考点：分段函数的式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式；相等向量与相反 向量 点评：本题考查分段函数，数列的求和，数列递推式，相等向量与相反向量，考查学生分析 问题解决问题的能力，是中档题
