1、2013届陕西省师大附中高三上学期第一次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数为纯虚数，则实数 的值为 A 3 B 1 C -3 D 1或 -3 答案： C 试题分析：由题意得 考点：纯虚数概念 点评： 是纯虚数需满足 已知函数 对任意 都有，若 的图象关于直线 对称，且，则 A 2 B 3 C 4 D 0 答案： A 试题分析：中令 得 又 的图象关于直线 对称关于 y轴对称，是偶函数， 考点：函数的奇偶性，周期性及图像平移 点评：若函数满足 则 是奇函数，若 则 是偶函数；若 则 周期为 在抛物线 上取横坐标为 , 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该
2、抛物线和圆 相切，则抛物线的顶点坐标是 A (-2,-9) B (0,-5) C (2,-9) D (1,-6) 答案： A 试题分析： ，割线斜率为 ，设切线方程为由于 相切可得 ，由与 相切得方程 有两个相等的实数根 ，顶点为 考点：直线与圆相切，直线与曲线相切 点评：直线与圆相切：圆心到直线的距离等于圆的半径。直线与抛物线相切，联立方程有一组解 已知，则函数 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：令 =0得 设 ， 表示以 为圆心，半径为的圆在 x轴上方的部分， 表示过 斜率为 的两条直线，所以圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相切，有 4个公共点 考点：函
3、数与方程的转化及直线与圆的位置关系 点评：函数的零点与方程的根的转化，进而转化为两函数的交点，结合函数图象求解 已知直线 与圆 交于 两点，且 （其中为坐标原点），则实数 的值为 A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：由 及向量加法的平行四边形法则可知 ，圆的半径为 2，所以圆心到直线的距离为，即 考点：向量的平行四边形法则及直线与圆相交 点评：本题的题眼在于由 得到 新学期开始，学校接受 6名师大学生生到校实习，学校要把他们分配到三个年级，每个年级 2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 A 18 B 15 C 12 D 9 答案： D 试题分析：当乙
4、丙都在高 二时，余下的三人中选一人在高一，其余二人在高三，共有 3种安排方法；当乙丙一个在高一，一个在高二时，先选择一人在高一， 2种选法，余下的三人选其一在高二共有 3种选法，所以有 6种安排方法。两种方案共有 9种安排种数 考点：排列组合问题 点评：本题中甲乙丙三元素较特殊，应优先安排 设 ， ，则 是 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：不等式 的解集为 ，不等式的解集为 ，命题 的解集是命题 的解集的真子集，所以 是 的必要不充分条件 考点：解不等式及充分条件与必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 函数
5、（其中 ）的图象如图所示，为了得到的图像，则只需将 的图像 A向右平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位 答案： A 试题分析：由图像可知函数 周期为 代入点 得 ，要得到 只需将 向右平移个长度单位 考点：由图像求函数式及图像平移 点评：图像向左平移 需在 x的基础上加平移量，向右平移需在 x的基础上减平移量 若椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的离心率为 A B C D 2 答案： B 试题分析：椭圆离心率 ， 双曲线离心率考点：椭圆双曲线离心率 点评：椭圆中由 ，双曲线中有 已知 为等差数列 ,若 ,则 的值为 A B C D 答案： A 试
6、题分析： 为等差数列， ， 考点：等差数列性质及特殊角三角函数值 点评：等差数列中若有，则 填空题 不等式 的解集为 答案： 试题分析：当 时，不等式化为 ；当 时，不等式化为 ，无解；当 时，不等式化为 ，无解。综上可知不等式的解集为 考点：绝对值不等式 点评：绝对值不等式要分绝对值符号内式子的为正为负两种情况分别去掉绝对值符号求解 在二项式 的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大 992，则 的值为 . 答案： 试题分析：令 得各项系数和为 ，各项的二项式系数和为 ， 考点：二项式定理系数与二项式系数 点评： 展开式的二项式系数和等于 ，系数和只需令变量都等于 1即可求出 某棉纺厂
7、为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间 5,40中，其频率分布直方图如图所示 .从抽样的 100根棉花纤维中任意 抽取一根，则其棉花纤维的长度小于 20mm的概率为 . 答案： 试题分析：由频率分布直方图可知小于 20的 3组的频率依次为 0.05,0.05,0.2，长度小于 20的频率为 0.05+0.05+0.2=0.3，所以从抽样的 100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于 20mm的概率为 考点：频率分布直方图 点评：频率分布直方图每一个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积和为 1 已
8、知 2 ， 3 , 4 , .若 8 （ 均为正实数），类比以上等式，可推测 的值，则 . 答案： 试题分析：观察已知各式特点可知，分子 等于等式左边被开方数的整数部分，分母 等于 考点：考查学生的观察类比归纳能力 点评：此题较简单，学生易得分 右图中的三个直角三角形是一个体积为 的几何体的三视图，则 h= cm 答案： 试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，且底面是直角三角形，直角顶点处的侧棱垂直于底面，其体积为 考点：三视图及椎体体积公式 点评：先由三视图得到其直观图，还原出几何体后带入相应的体积公式计算 解答题 已知函数 为偶函数， 且 （ ）求 的值； （ ）若 为三角形 的一个内角
9、，求满足 的 的值 . 答案：（ ） （ ） 或 试题分析：（ ） 由 为偶函数得 又 （ ）由 得 ,又 为三角形内角， 考点：三角函数二倍角公式，函数奇偶性 点评：基本公式的考查，难度不大，要求学生熟记掌握的基础上加强练习 甲、乙两个盒子里各放有标号为 1， 2， 3， 4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球 ，记下号码 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码 . （ ）求 的概率； （ ）设随机变量 ，求随机变量 的分布列及数学期望 . 答案：（ ） （ ）随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 试题分析：（ ） （ ）随机变量 可取的值为 0， 1， 2， 3 当 =
10、0时， 当 =1时， 同理可得 随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 考点：概率分布列期望 点评：求随机变量分布列首先分析随机变量可以取到的值，再找到各随机变量值对应的事件，求其概率 如图， PA垂直于矩形 ABCD所在的平面， AD=PA=2， ， E、 F分别是 AB、PD的中点 . （ ）求证：平面 PCE 平面 PCD； （ ）求四面体 PEFC的体积 答案：（ ）取 中点 G，连接 平面 平面 平面 平面 PCE 平面 PCD（ ） 试题分析：（ ）取 中点 G，连接 平面 （ ）由（ 2）知 ， 考点：面面垂直的判定及三棱锥体积求解 点评：在第二小题中充分利用第一小题的结论，选
11、择合适的底面和高方便于计算 数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列 . ( )求数列 的通项公式； ( )设 ,数列 的前 项和为 ,求证 : . 答案： ( ) ( ) 试题分析：（ ）由已知：对于 ，总有 成立 （ n 2） - 得 均为正数， （ n 2） 数列 是公差为 1的等差数列 又 n=1时， ， 解得 =1, .( ) ( ) 解：由（ 1）可知 考点：数列求通项求和及放缩法证明不等式 点评：由 求的计算公式中的条件要引起注意 已知 的边 所在直线的方程为 , 满足 , 点在 所在直线上且 （ ）求 外接圆的方程； （ ）一动圆过点 ，且与 的外接圆
12、外切，求此动圆圆心的轨迹 的方程； （ ）过点 斜率为 的直线与曲线 交于相异的 两点，满足 ，求的取值范围 答案：（ ） （ ） （ ） 试题分析：（ ） ,从而直线 AC的斜率为 所以 AC边所在直线的方程为即 由 得点 的坐标为 ， 又 所以 外接圆的方程为 : （ ）设动圆圆心为 ，因为动圆过点 ，且与 外接圆外切， 所以 ，即 故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 ，半焦距 的双曲线的左支 从而动圆圆心的轨迹方 程 为 ( ) 直线方程为： ,设 由 得 解得： 故 的取值范围为 考点：圆的方程，双曲线定义及直线与双曲线相交问题 点评：利用圆锥曲线定义求动点的轨迹方程是常出现的考点，要
13、注意的是动点轨迹是整条圆锥曲线还是其中一部分 设函数 . （ ）若 ，求 的最小值； （ ）若当 时 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） 1（ ） 试题分析：（ ） 时， . 当 时， ；当 时， . 所以 在 上单调减小，在 上单调增加 故 的最小值为 （ ） ， 当 时， ，所以 在 上递增， 而 ，所以 ，所以 在 上递增， 而 ，于是当 时， . 当 时，由 得 当时， ，所以 在上递减， 而 ，于是当时， ，所以 在上递减， 而 ，所以当时， . 综上得 的取值范围为 . 考点：利用函数导数求函数的最值，判定函数单调性 点评：本题第二问用到了对函数导函数的再次求导，从而确定导函数的单调区间，导函数的最值导数值的范围，进而得到原函数的单调性，难度较大
