1、2013届黑龙江省大庆铁人中学高三第三次阶段理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以。 考点：集合的运算；正弦函数的值域。 点评：直接考查集合的运算和正弦函数的值域，属于基础题型。 已知 为 R上的可导函数，且 均有 （ x），则有（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 均有 ，即 ，构造函数，则 ，所以为 R上的单调递减函数，所以 ，即，所以。 考点：利用导数研究函数的单调性。 点评：做本题的关键是构造函数 。属于中档题。 已知球的直径 SC 4， A， B是该球球面上的两点， AB ， ASC BSC 30，则
2、棱锥 S-ABC的体积为（ ） A 3 B 2 C D 1 答案： C 试题分析： 取 SC 的中点 D，则 D 为球心，则 AD=BD=DS=2， ASC= BSC= SBD=300，过 A做 AE SC与 E,连接 BE，则 BE SC.在 BDE中，DE=BDcos BED=1,BE=BDsin BED= ,故三棱锥 S-ABC的体积等于棱锥 S-ABE和棱锥 C-ABE的体积之和，即 。 考点：棱锥的体积公式；球的有关性质。 点评：求三棱锥的体积关键是确定底面和高。一般的时候，找一个易求高的底面。属于中档题。 设函数 的最小正周期为 ，且 ，则（ ） A 在 单调递减 B 在 单调递减
3、 C 在 单调递增 D 在 单调递增 答案： A 试题分析： ，因为函数的最小正周期为 ，所以 。又因为 ，所以 是偶函数，即 ，因为 ，所以 。所以，因此 在 单调递减。 考点：和差公式；三角函数的单调性、周期性、奇偶性。 点评：若函数 为偶函数，则 ；若函数为奇函数，则 。 已知双曲线 ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 两点， 为坐标原点若 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意易知 ，所以 ,因为 ，所以 ，即 ，所以 e=. 考点：双曲线的简单性质。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和
4、（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 已知 为互相垂直的单位向量，向量 a ， b ，且 a与 a+ b的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： a2 ， , ，。因为 a与 a+ b的夹角为锐角，所以 且 ，所以，且 ，解得 。 考点：向量的数量积；向量垂直的条件；向量的夹角。 点评： 是 夹角为锐角的必要不充分条件。此题为易错题，容易把当做 夹角为锐角的冲要条件来做。 若某几何体的三视图如图 1所示，则此几何体的表面积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知；原几何体为圆锥
5、的一半，其中圆锥的底面半径为 1，高为 ，所以几何体的表面积 。 考点：三视图；圆锥的侧面积公式。 点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确还原几何体的形状是解题的关键，同时还考查了学生的空间想象能力和基本的运算能力 曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得： ，所以曲线 与直线 及所围成的封闭图形的面积 。 考点：定积分。 点评：熟练掌握应用定积分求不规则图形的面积，属于基础题型。 已知 -1， a， b， -4成等差数列， -1， c， d, e， -4成 等比数列，则 （ ） A B - C D 或 - 答案
6、： C 试题分析：因为 -1， a， b， -4成等差数列，所以公差为 ，所以 ；因为 -1， c， d, e， -4成等比数列，所以 ， ，所以 。所以 = 。 考点：等差数列的性质；等比数列的性质。 点评：在等比数列中，所有的奇数项一定同号，所有的偶数项也一定同号。 给出下列不等式： a2 12a； 2； x2 1其中正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析： a2 12a正确； 当 a0,b0时， 2； 。所以正确的是 ，共两个。 考点：基本不等式。 点评：注意不等式 适用的范围是 ，而基本不等式 适用的范围是 +。 若复数 是纯虚数，则 的值为（ ） A
7、 B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以，所以 ，所以 =。 考点：复数的概念；复数的分类。 点评： 复数 ，当 b=0时，为实数；当 b0时，为复数；当a=0,b0时为纯虚数。 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： A 是偶函数； B 的定义域为 R，又因为，所以是奇函数； C 的定义域为 R，又 ，所以是偶函数； D 的定义域为 ，所以既不是奇函数也不是偶函数。 考点：函数的奇偶性；对数的运算法则。 点评：判断一个函数奇偶性的步骤：一求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称；二判断 。有时，若 的关系不好判断时，可以根据定义域进行化简
8、。 填空题 下列四个命题： 直线 与圆 恒有公共点； 为 ABC的内角，则 最小值为 ； 已知 a， b是两条异面直线，则过空间任意一点 P都能作并且只能作一条直线与 a， b都垂直； 等差数列 中， 则使其前 n项和成立的最大正整数为 2013; 其中正确命题的序号为 。（将你认为正确的命题的序号都填上） 答案： 试题分析： 因为 ，所以直线与圆 恒有公共点； 为 ABC的内角，则最小值为 ； 已知 a， b是两条异面直线，则过空间任意一点 P都能作并且只能作一条直线与 a， b都垂直；命题正确。过点 P分别作 a、 b的平行线，设 a、 b确定的平面为 ，因为过点 P做平面 的垂线有且只有
9、一条，所以则过空间任意一点 P都能作并且只能作一条直线与 a， b都垂直； 等差数列 中， 则 ，所以使其前 n项和 成立的最大正整数为 2012; 考点：点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；三角函数的最值；等差数列的性质。 点评：此题考查的知识点较多，较为综合。这要求我们在平常学习中对每一个知识点都要熟练掌握。属于中档题。 设等比数列 的各项均为正数，公比为 ，前 项和为 若对 ，有 ，则 的取值范围是 。 答案： 试题分析：当 时， ，所以满足 ； 当 时， ，因为 ，所以，解得 。 综上知： 的取值范围是 。 考点：等比数列的性质；等比数列的前 n项和。 点评：本题是易错题，出错的主
10、要原因是忘记讨论 时的情况。注意等比数列的前 n项和公式有两种情况： 。 设 F为抛物线 y2 4x的焦点， A、 B、 C为该抛物线上三点，若 0，则 | | | | | | _。 答案： 试题分析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，抛物线焦点坐标 F(1， 0)，准线方程： x=-1，因为 0，所以点 F 是 ABC 重心，则 x1+x2+x2=3， y,+y2+y3=0，而 |FA|=x1-(-1)=x1+1， |FB|=x2-(-1)=x2+1， |FC|=x3-(-1)=x3+1，所以|FA|+|FB|+|FC|= x1+1+ x2+1+ x3+1=
11、( x1+ x2+ x3)+3=3+3=6。 考点：抛物线的简单性质；重心的性质；重心的坐标公式。 点评：在 ABC中，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，则 ABC 重心的坐标为。 若实数 ， 满足条件 则 的最大值为 _。 答案： 试题分析：画出线性约束条件 的可行域，由此可求目标函数的最大值为 9. 考点： 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 解答题 （本小题满分 10分）在直
12、角坐标系 xOy中，以原点 O 为圆心的圆与直线x- y-4 0相切， （ ）求圆 O 的方程； （ ）若已知点 P（ 3,2），过点 P作圆 O 的切线，求切线的方程。 答案：（ ） x2 y2 4；（ ） 12x-5y-26 0或 y-2 0。 试题分析：（ ）设圆的方程为 x2 y2 r2， 由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故 r 2， 圆的方程是 x2 y2 4； （ ） |OP| 2， 点 P在圆外 显然，斜率不存在时，直线与圆相离。 故可设所求切线方程为 y-2 k（ x-3），即 kx-y 2-3k 0 又圆心为 O（ 0,0），半径 r 2，而圆心到切线的距离 d 2，即
13、|3k-2| 2 ， k 或 k 0， 故所求切线方程为 12x-5y-26 0或 y-2 0。 考点：圆的有关性质；直线方程的点斜式；点到直线的距离公式。 点评：充分利用直线与圆相切的性质来求直线方程，注意设直线方程点斜式的时候，一定要注意讨论直线的斜率是否存在。 （本小题满分 12分）在锐角 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 ，且满足 ， （ ）求角 的大小； （ ）若 ,求 的取值范围。 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）由已知， 对角 A运用余弦定理 :cosA= ， ， ； （ ） 由题，, 且在锐角 ABC中， , , 的取值范围是 。 考点：余弦定理；和差公式。
14、三角函数的值域；二倍角公式。 点评：此题是常见题型，也是基础题型。主要考查公式的熟练应用。本题一定要注意锐角三角形这个条件！ （本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差 ，它的前 n 项和为 ，若 ，且 成等比数列， （ ）求数列 的通项公式； （ ）若数列 的前 n项和为 ，求证： 。 答案：（ ） ；（ ） ，显然， 。 试题分析：（ ）由已知， ， 又 成等比数列，由 且 可解得 ， ，故数列 的通项公式为 ； （ ）证明：由（ ）， ， 显然， 。 考点：等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的前 n项和的求法。 点评：常见的裂项公式： ， ， ， 。 （本小题满分
15、 12分）如图，四边形 与 均为菱形， ，且 ， （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： AE 平面 FCB； （ ）求二面角 的余弦值。 答案：（ ）只需证 ， ；（ ）只需证平面 /平面；（ ） 。 试题分析：（ ）证明：设 与 相交于点 ，连结 ， 菱形 中， ，且 为 中点， 又 ，所以 ， 又 ， 所以 平面 ； （ ）证明：因为四边形 与 均为菱形， 所以 / ， / ， ， 所以 平面 /平面 ,又 平面 ， AE 平面 FCB； （ ）解：菱形 中， ， 为 中点，所以 ， 故 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ， 则 ， ， 设平面 的法向量为 ，则有 即 取 ，得
16、 ； 易知平面 的法向量为 ， 由于二面角 是锐二面角，所以二面角 的余弦值为 。 考点：线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；二面角。 点评：本题主要考查了空间的线面平行，线面垂直的证明即二面角的求法，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。 （本小题满分 12分）已知椭圆的焦点坐标为 ， ，且短轴一顶点 B满足 ， （ ） 求椭圆的方程； （ ）过 的直线 l与椭圆交于不同的两点 M、 N，则 MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及 此时的直线方程；若不存在，请说明理由。 答案：（ ） =1；（ ）直线 l:x=1， AMN 内切圆面积的最大值为 。
17、试题分析：（ ）由题，设椭圆方程为 =1（ ab0），不妨设 B（ 0，b）， 则 ， 故椭圆方程为 =1； （ ） 设 M ， N ,不妨设 0, 0,设 MN 的内切圆半径为 R， 则 MN 的周长 =4a=8， （ MN+ M+ N） R=4R 因此 最大，R就最大， ， 由题知，直线 l的斜率不为零，可设直线 l的方程为 x=my+1， 由 得 +6my-9=0， 则 = = ， 令 t= ,则 t1,则 , 令 f（ t） =3t+ ，则 f（ t） =3- ，当 t1时， f（ t） 0,f（ t）在 1,+）上单调递增， 故有 f（ t） f（ 1） =4, =3, 即当 t=1
18、,m=0时， =3, =4R， = ， 这时所求内切圆面积的最大值为 故直线 l:x=1， AMN 内切圆面积的最大值为 。 考点：椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。 点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法 （本小题满分 12分）已知函数 ， （ ） 若 a =1，求函数 的图像在点 处的切线方程； （ ）求 的单调区间； （ ）如果当 且 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 答案：（ ） ；（ ）当 时， 增区间为 ； 当 时，
19、增区间为 ，增区间为 ； （ ） 。 试题分析：由题， （ ）当 a =1时， ， ， 函数 的图像在点 处的切线方程为 ； （ ）设 当 时， 故 增区间为 ； 若设 设 两根分别为 ， 当 时， ，所以 增区间为 ； 当 时， ，所以 增区间为，增区间为 ； 综上，当 时， 增区间为 ； 当 时， 增区间为 ，增区间为 ； （ ） 可化为 ，设 由（ ）可知： 若有 ，由单调性，对 ， 此时， ， 同理，对 ， 此时， ， 所以 符合题意； 若有 ，可知 则对 ， 此时， 不符合题意； 综上，符合题意的 。 考点：导数的几何意义；曲线的切线方程的求法；利用导数研究函数的单调性。 点评： 我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。 利用导数求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域。
