1、2013届黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高三三模文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，。故选 A。 考点：集合的运算 点评：集合有三种运算：交集、并集和补集。在运算前，一般需将集合进行变化，像本题就是结合指数函数的性质对集合 A进行变化。 函数 的定义域为 ， ，对 ，有 ，则不等式的解集为（ ） A B C或 D或 答案： A 试题分析：由 得， ，令 ，则，因为 ，即有，所以 ，因而 为增函数，又因为 ，所以 ，要使，只要取 ，即不等式 的解集为。故选 A。 考点：不等式的解集 点评：求不等式的解 集，当不等式不是具体的
2、式子时，常结合不等式设一个函数，通过求这个函数的导数来得到函数的单调性，进而求出不等式的解集。 过双曲线 （ ）的右焦点 作圆 的切线 ，交 轴于点 ，切圆于点 ，若，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：如图，由（平行四边形法则）知，点 M是 的中点，因为点 为切点，所以，则 ，所以 ，由 得，所以 。故选 D。 考点：双曲线的性质 点评：解决平面几何的题目，首先是画图。当题目出现曲线的方程时，假如不是标准形式，则需要将其变成标准形式。 在 角 的对边分别为 ，若 成等差数列，则等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：若 成等差数列，则 ，结合得， ，化为
3、，又因为 ，所以 ，解得 。故选 B。 考点：等差中项 点评：解三角形的题目，都离不开正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，有时还跟三角函数结合起来。 已知四棱锥 中，侧棱都相等，底面是边长为 的正方形，底面中心为 ，以 为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：如图， G为侧棱 PB的中点，结合题意得 ，所以 ，又因为 ，所以 ，球的半径为 1，其体积为 。故选 C。 考点：几何体的体积 点评：求 几何体的表面积和体积是常考知识点，我们要知道柱体、锥体和球的表面积公式和体积公式。 函数 的图象是（ ） 答案： A 试题分析：函数 的定义域为 ，它的导
4、数为 ，导数是增函数，若 时， ，则 ，函数为减函数，图像下降； ，函数 为增函数，图像上升，综上，函数 的图象在区间 上先下降后上升。选 A。 考点：函数的图像 点评：由函数的导数画函数的图像是一个考点，这过程用到结论：为增函数； 为减函数。 在一次对 “学生的数学成绩与物理成绩是否有关 ”的独立性检验的试验中，由列联表算得 的观测值 ，参照附表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 判断在此次试验中，下列结论正确的是（ ） A. 有 99.9%以上的把握认为 “数学成绩与物理成绩有关 ” B. “数学成绩与物理成绩有关 ” 的概率为 99% C. 在犯
5、错误的概率不超过 0.01的前提下，认为 “数学成绩与物理成绩有关 ” D. 在犯错误的概率不超过 0.001的前提下，认为 “数学成绩与物理成绩有关 ” 答案： C 试题分析：结合独立性检验的知识点知，本题在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，认 为 “数学成绩与物理成绩有关 ”。故选 C。 考点：独立性检验 点评：解决关于独立性检验问题的步骤：第一步：提出假设检验问题；第二步：选择检验的指标 ;第三步：查表得出结论。 执行右面的程序框图，如果输入 ，则输出的 是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， 不成立， ， ； 不成立， ； 成立，输出 。故选 B。 考点：程序框图 点
6、评：关于程序框图的题目，相对都比较简单，只要按照过程一步步写就可以了，但一些题目需要找出里面的规律。 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 18 B 21 C 24 D 27 答案： C 试题分析：几何体是一个去掉一个小正方体的正方体，其表面积跟不切去小正方体的正方体一样，所以 。故选 C。 考点：几何体的表面积 点评：求几何体的表面积和体积是常考知识点，我们要知道柱体、锥体和球的表面积公式和体积公式。 下列说法正确的是（ ） A “ ”是 “ 上为增函数 ”的充要条件 B命题 “ 使得 ”的否定是： “ ” C “ ”是 “ ”的必要不充分条件 D命题 p： “ ”，则
7、p是真命题 答案： A 试题分析：结合对数函数 的性质可判断 A项正确；命题“ 使得 ”的否定是： “ ”， B项错误；因为“ ” “ ”且 “ ” “ ”，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件， C项错误；因为，所以命题 p为真命题，则 p是假命题。故选 A。 考点：命题 点评：在命题这类题目中，判断两个条件的关系（像本题的 A、 C项）是常考热点。 抛物线 的准线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：抛物线 化为， ，其准线为 。故选 D。 考点：抛物线的性质 点评：要得到抛物线的性质：焦点和准线，需将其方程化为标准形式。同样地，要求出椭圆和双曲线等其他曲线的性质，也需将其方
8、程化为标准形式。 在复平面内，复数满足（为虚数单位），则复数表示的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析：令 ，则由得， ，化为 ，所以 ，解得 ，所以 ，其表示的点 在第一象限。故选A。 考点：复数的几何意义 点评：复数的几何意义有两个：表示点和表示向量。要得到复数的几何意义，需将复数变成 的形式，则复数对应的点和向量的坐标都是 。 填空题 已知 ，若 均为正实数，则由以上等式，可推测 . 答案： 试题分析：结合前面的式子知： ，所以 考点：归纳推理 点评：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概
9、括出一般结论的推理，称为归纳推理 . 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 . 已知点 ，点 为平面区域 ： 内一点， 是坐标原点，则 的最大值为 _. 答 案： 试题分析：结合数量积的几何意义，当 P点与 D点重合时， 为最大值，则最大值是 。 考点：数量积的几何意义 点评：本题需要理解数量积的几何意义：向量 与 的数量 积等于向量 （ ）的模乘以向量 （ ）在向量 （ ）方向上的投影 （ ）。 已知 的值为 _. 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，即有，解得 考点：三角恒等变换 点评：在三角恒等变换中，要用到的公式比较多，这需要多 做一些题目来巩固这些公式。 已知直线 与圆
10、交于 两点，且 ,其中 为坐标原点，则正实数 的 值为 _. 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，画图如下，则。 考点：向量的数量积 点评：对于几何问题，通过画图能使问题形象化，有利于我们解决问题。 解答题 曲线 的参数方程为 （ 为参数），将曲线 上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲线 . （ ）求曲线 的普通方程； （ ）已知点 ，曲线 与 轴负半轴交于点 ， 为曲线 上任意一点， 求 的最大值 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：解：（ 1）曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 则曲线 的普通方程为 （ 2） ，设 则 = 所以当 时， 取得最大值为 。 考点：
11、参数方程 点评：解决关于参数方程的问题， 需将问题转化为直角坐标系中的问题，转化只需消去参数，需要注意的是，要结合参数去得到 x和 y的取值范围。 如图 , O为 的外接圆，直线 为 O的切线，切点为 ，直线 ，交于，交 O于 ， 为 上一点，且 . 求证：（ ） ； （ ）点 、 、 共圆 . 答案：证明如下 试题分析：证明： 直线 为 O的切线 , 1 . , 1 . , 又 , . . . （ ）由（ ）可知 . , , . 180. 点 、 、 共圆 . 考点：几何证明 点评：在几何证明中，要证明关于四段线段的等式成立，只需找到四段线段所在的两个三角形，然后证明它们相似就好； 而要证明
12、四点共圆，只需证明四点形成的四边形的一对对角互补即可。 已知函数 . （ ）若 在 处取得极值，求实数 的值； （ ）若 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：解：（ ）函数 定义域为 ， 由 ，得 当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，即 在 处取得极大值，符合题意。 （ ）设，则当 时， 恒成立 由 ，得 方程 有一负根 和一正根 ， 其中 不在函数定义域内 在 上是减函数，在 上是增函数即在定义域上的最小值为 依题意只需 ，即 又 ，所以， ， . 所以， 即 . 令 ，则 当时， ，所以是增函数。由 ，所以 的解集为 ，即 ，所
13、以 即 的取值范围是 解法二： ，即 设 ，则， 设 ，则 ， 当 时， ， 是减函数 ，即是减函数， 当 时，先证 ， 设 ， ， 相关试题 2013届黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高三三模文科数学试卷（带） 如图，已知椭圆 的中心在原点，其上、下顶点分别为 ，点在直线 上，点 到椭圆的左焦点的距离为 . （ ）求椭圆的标准方程； （ ）设 是椭圆上异于 的任意一点，点 在 轴上的射影为 ， 为的中点，直线 交直线 于点 ， 为的中点，试探究： 在椭圆上运动时，直线 与圆 : 的位置关系，并证明你的结论 . 答案：（ ） （ ）直线 与圆 相切 试题分析：解（ 1）依题意有： ， 所以椭圆方程为
14、 （ 2） 圆 : 在椭圆上运动时，直线 与圆 相切 证明：设 , ，则 点 在圆 上 . 直线 方程为 令，得 ， 直线 与圆 相切。 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系 点评：关于曲线的大题，第一个问题一般是让我们求出曲线的方程，这个相对较容易，而第二个问题，常与直线结合在一起，当曲线与直线相交时，在联立方程组求交点过程中，常用到根与系数的关系式： ，（ ） 如图，已知三棱锥 ， 分别为 的中点，且 为正三角形 . （ ）求证： 平面 ； （ ）若 ， ，求点 到平面 的距离 . 答案：（ ）如下证明（ ） 试题分析：（ ）解： 为正三角形， 为中点 , ， 又， 平面 ，又 平面
15、 （ ）设点 到平面 的距离为 ， ，在 中， 为中点， 点 到平面 的距离为 考点：直线与平面垂直的判定定理；点到平面的距离 点评：直线与平面平行、垂直的判定定理是常考知识点，在证明时，需结合定理的条件写，不可凭自己的主观意识去写。另外，求点到平面的距离常结合几何体的体积来求。 2012年伦敦奥运会前夕，在海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行了 7轮比赛 ,得分的情况如茎叶图所示（单位：分） . 甲 乙 8 7 9 5 4 5 4 1 8 4 4 6 7 4 1 9 1 （ ）分别求甲、乙两名运动员比赛成绩的平均分与方差； （ ）若从甲运动员的 7
16、轮比赛的得分中任选 3个不低于 80分且不高于 90分的得分，求这 3个得分与其平均分的差的绝对值都不超过 2的概率 . 答案：（ ） ， ， （ ） 试题分析：解：（ ） （ ）甲运动员的 7轮比赛得分中不低于 80分且不高于 90分的得分共有 5个，分别为81,84,85,84,85. 选出的三个得分记为 ，则不同的结果有：（ 81,84,85），（ 81,84,84），（ 81,84,85），（ 81,85,84），（ 81,85,85），（ 81,84,85），（ 84,85,84） ，（ 84,85,85），（ 84,84,85），（ 85,84,85），共 10种； 记 “这三个得
17、分与其平均得分的差的绝对值都不超过 2”为事件 A，事件 A包含的基本事件有：（ 84,85,84），（ 84,85,85），（ 84,84,85），（ 85,84,85），共 4种 . 考点：茎叶图；数字特征；古典概型的概率 点评：在统计中，常用到茎叶图和频率分布直方图，由于此类题目跟实际问题联系较紧密，因而常成为考点。 已知公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）令 （ ），求数列 的前 项和 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：解：（ ）设数列 的公差为 . 解得： 或 （舍）， （ ） 考点：数列的通项公式；数列的前 n项和 点评：对于求一般数列的通项公式或前 n项和时，常用方法有：错位相减法、裂变法等，目的是消去中间部分，本题在求数列的前 n项和时，就用到裂变法。 已知函数 ， （ ）若函数 ，求 的取值范围； （ ）若不等式有解，求 的取值范围 答案：（ ） -3， 7（ ） 试题分析：解：（ ）由题意得 ，即 得 ，所以 的取值范围是 -3， 7. （ ） ， 因为有解，即 有解 , 因为 所以 ，即 的取值范围是 . 考点：绝对值不等式 点评：在求绝对值不等式中，常用公式是： 。
