1、2014届人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练 22练习卷与答案（带解析） 选择题 已知 A、 B分别为椭圆 + =1(ab0)的左、右顶点 ,C(0,b),直线 l:x=2a与 x轴交于点D,与直线 AC交于点 P,若 DBP= ,则此椭圆的离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D) 答案： D 直线 y=x与椭圆 C: + =1的交点在 x轴上的射影恰好是椭圆的焦点 ,则椭圆 C的离心率为 ( ) A B C D 答案： A 如图所示 ,已知 A,B分别为椭圆 + =1(ab0)的右顶点和上顶点 ,直线 l AB,l与 x轴、 y轴分别交于 C,D两点 ,直线 CE,DF为椭圆的切
2、线 ,则 CE与 DF的斜率之积 kCE kDF等于 ( ) A B C D 答案： C 已知 F是椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点 ,点 P在椭圆 C上 ,线段 PF与圆（ x- ）2+y2= 相切于点 Q,且 =2 ,则椭圆 C的离心率等于 ( ) A B C D 答案： A 定义 :关于 x的不等式 |x-A|b0)的左、右顶点分别是 A、 B,左、右焦点分别是 F1、 F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列 ,则此椭圆的离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D) -2 答案： B 设 F1,F2是椭圆 E: + =1(ab0)的左、右焦点 ,P为直线 x=
3、上一点 ,F2PF1是底角为 30的等腰三角形 ,则 E的离心率为 ( ) A B C D 答案： C 从椭圆 + =1(ab0)上一点 P向 x轴作垂线 ,垂足恰为左焦点 F1,A是椭圆与 x轴正半轴的交点 ,B是椭圆与 y轴正半轴的交点 ,且 AB OP(O是坐标原点 ),则该椭圆的离心率是 ( ) A B C D 答案： C 椭圆 + =1上有两个动点 P、 Q,E(3,0),EP EQ,则 的最小值为 ( ) A 6 B 3- C 9 D 12-6 答案： A 已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C的方程是 ( ) A + =1 B + =1 C + =
4、1 D + =1 答案： D 已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C的两个焦点 ,过 F2且垂直于 x轴的直线交 C于 A、 B两点 ,且=3,则 C的方程为 ( ) (A) +y2=1 (B) + =1 (C) + =1 (D) + =1 答案： C 设椭圆 +y2=1的左焦点为 F,P为椭圆上一点 ,其横坐标为 ,则 |PF|等于 ( ) A B C D 答案： D 若点 O和点 F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点 ,点 P为椭圆上的任意一点 ,则 的最大值为 ( ) A 2 B 3 C 6 D 8 答案： C 已知椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点为 F,C与过原点的直线
5、相交于 A,B两点 ,连接AF,BF.若 |AB|=10,|BF|=8,cos ABF= ,则 C的离心率为 ( ) A B C D 答案： B 设椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P是 C上的点 ,PF2 F1F2,PF1F2=30,则 C的离心率为 ( ) A B C D 答案： D 填空题 已知点 F1、 F2分别是椭圆 x2+2y2=2的左、右焦点 ,点 P是该椭圆上的一个动点 ,则的最小值是 . 答案： 已知椭圆 + =1的两个焦点是 F1、 F2,点 P在该椭圆上 ,若 |PF1|-|PF2|=2,则 PF1F2的面积是 . 答案： 椭圆 mx2+y2=
6、1的焦点在 y轴上 ,长轴长是短轴长的 3倍 ,则 m= . 答案： 已知椭圆 C: + =1(a0,b0)的右焦点为 F(3,0),且点 (-3, )在椭圆 C上 ,则椭圆 C的标准方程为 . 答案： + =1 椭圆 + =1的焦点为 F1、 F2,点 P在椭圆上 .若 |PF1|=4,则 |PF2|= , F1PF2的大小为 . 答案： 120 椭圆 : + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= (x+c)与椭圆 的一个交点满足 MF1F2=2 MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案： -1 已知 F1、 F2是椭圆 C: + =1(ab0)的两个焦
7、点 ,P为椭圆 C上一点 ,且 ,若PF1F2的面积为 9,则 b= . 答案： 解答题 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E（ 1, ） .过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N分别为线段 AB,CD的中点 . (1)求椭圆的标准方程 ; (2)若 P为线段 AB的中点 ,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN恒过定点 ,并求出定点坐标 . 答案： (1) + =1 (2) - (3)证明见 （ 0,- ） 解 :(1)依题设 c=1,且右焦点 F(1,0). 所以 2a=|EF|+|EF|= + =2 , b2=a2-c2=2,
8、故所求的椭圆的 标准方程为 + =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1, + =1. - ,得 + =0. 所以 k1= =- =- =- . (3)依题设 ,k1k2. 设 M(xM,yM), 又直线 AB的方程为 y-1=k1(x-1), 即 y=k1x+(1-k1), 亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 (2+3 )x2+6k1k2x+3 -6=0. 于是 ,xM= ,yM= , 同理 ,xN= ,yN= . 当 k1k20时 , 直线 MN的斜率 k= = = . 直线 MN的方程为 y- = (x- ), 即 y= x+( + ), 亦即 y
9、= x- . 此时直线过定点（ 0,- ） . 当 k1k2=0时 ,直线 MN即为 y轴 , 此时亦过点（ 0,- ） . 综上 ,直线 MN恒过定点 ,且坐标为（ 0,- ） . 椭圆 E: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2,过 F1作垂直于椭圆长轴的弦 PQ,|PQ|为 3. (1)求椭圆 E的方程 ; (2)若过 F1的直线 l交椭圆于 A,B两点 ,判断是否存在直线 l使得 AF2B为钝角 ,若存在 ,求出 l的斜率 k的取值范围 . 答案： (1) + =1 (2)存在，斜率 k的取值范围为 - 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+
10、x2=- ,x1 x2= . =(x1-1,y1), =(x2-1,y2). AF2B为钝角 , b0)的离心率为 ,以原点为圆心 ,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x-y+ =0相切 ,过点 P(4,0)且不垂直于 x轴直线 l与椭圆 C相交于 A、 B两点 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)求 的取值范围 ; (3)若 B点关于 x轴的对称点是 E,证明 :直线 AE与 x轴相交于定点 . 答案： (1) + =1 (2) (3)见 (1)解 :由题意知 e= = , e2= = = , 即 a2= b2. 又 b= = , b2=3,a2=4, 故椭圆的方程为 + =1. (2)解 :
11、由题意知直线 l的斜率存在 , 设直线 l的方程为 y=k(x-4). 由 得 (4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. 由 =(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)0, 得 k2b0),焦距为 2c,则 A(0,b),|OB1|=|OB2|= . 由 =4得 c b=4, 即 bc=8. 又 AB1B2是直角三角形 , 且 |OB1|=|OB2|, b= . 由 可得 b=2,c=4. a2=20. 椭圆的标准方程为 + =1,离心率 e= = . (2)由 (1)知 B1(-2,0),B2(2,0). 由题意知 ,直线 PQ的倾斜角不为 0, 故可设直线 PQ的方
12、程为 x=my-2. 代入椭圆方程得 (m2+5)y2-4my-16=0.(*) 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 y1,y2是方程 (*)的两根 . y1+y2= ,y1 y2=- . 又 =(x1-2,y1), =(x2-2,y2). =(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2 =(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 =- - +16 =- . 由 PB2 B2Q知 =0, 即 - =0, 16m2-64=0,解得 m=2. 当 m=2时 ,y1+y2= ,y1y2=- , |y1-y2|= = . = |B1B2| |y1-y
13、2|= . 当 m=-2时 ,由椭圆的对称性可得 = . 综上所述 ,PB2Q的面积为 . 已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2倍 . (1)求动点 M的轨迹 C的方程 ; (2)过点 P(0,3)的直线 m与轨迹 C交于 A,B两点 ,若 A是 PB的中点 ,求直线 m的斜率 . 答案： (1) + =1 (2) - 或 解 :(1)设 M到直线 l的距离为 d, 根据题意 ,d=2|MN|. 由此得 |4-x|=2 , 化简得 + =1, 所以 ,动点 M的轨迹方程为 + =1. (2)法一 由题意 ,设直线 m的方程为 y=kx+3,A(x1,
14、y1),B(x2,y2). 将 y=kx+3代入 + =1中 , 有 (3+4k2)x2+24kx+24=0, 其中 ,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0, 由求根公式得 , x1+x2=- , x1x2= . 又因 A是 PB的中点 , 故 x2=2x1, 将 代入 , ,得 x1=- , = , 可得 = , 且 k2 , 解得 k=- 或 k= , 所以 ,直线 m的斜率为 - 或 . 法二 由题意 ,设直线 m的方程为 y=kx+3, A(x1,y1),B(x2,y2). A是 PB的中点 , x1= , y1= . 又 + =1, + =1. 联立 , , ,
15、 解得 或 即点 B的坐标为 (2,0)或 (-2,0), 所以 ,直线 m的斜率为 - 或 . 椭圆 C: + =1(ab0)的离心率 e= ,a+b=3. (1)求椭圆 C的方程 ; (2)如图 ,A,B,D是椭圆 C的顶点 ,P是椭圆 C上除顶点外的任意一点 ,直线 DP交 x轴于点 N,直线 AD交 BP于点 M,设 BP的斜率为 k,MN的斜率为 m.证明 2m-k为定值 . 答案： (1) +y2=1 (2)见 (1)解 :因为 e= = , 所以 a= c,b= c. 代入 a+b=3, 得 c= ,a=2,b=1. 故椭圆 C的方程为 +y2=1. (2)证明 :因为 B(2,
16、0),P不为椭圆顶点 , 则直线 BP的方程为 y=k(x-2)（ k0,k ） , 把 代入 +y2=1, 解得 P . 直线 AD的方程为 y= x+1. 与 联立解得 M . 由 D(0,1),P ， N(x,0)三点共线知 = , 解得 N . 所以 MN的斜率为 m= = = , 则 2m-k= -k= (定值 ). 已知椭圆 C: + =1(ab0)的焦距为 4,且过点 P( , ). (1)求椭圆 C的方程 ; (2)设 Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆 C上一点 .过点 Q作 x轴的垂线 ,垂足为 E.取点 A(0,2 ),连接 AE,过点 A作 AE的垂线交 x轴于点 D
17、.点 G是点 D关 于 y轴的对称点 ,作直线 QG,问这样作出的直线 QG是否与椭圆 C一定有唯一的公共点 并说明理由 . 答案： (1) + =1 (2) 直线 QG与椭圆 C一定有唯一的公共点，理由见 解 :(1)因为焦距为 4, 所以 a2-b2=4. 又因为椭圆 C过点 P( , ), 所以 + =1, 故 a2=8,b2=4, 从而椭圆 C的方程为 + =1. (2)一定有唯一的公共点 . 由题意 ,E点坐标为 (x0,0). 设 D(xD,0),则 =(x0,-2 ), =(xD,-2 ). 再由 AD AE知 , =0, 即 xDx0+8=0. 由于 x0y00,故 xD=-
18、. 因为点 G是点 D关于 y轴的对称点 ,所以点 G（ ,0） . 故直线 QG的斜率 kQG= = . 又因 Q(x0,y0)在椭圆 C上 , 所以 +2 =8. 从而 kQG=- . 故直线 QG的方程为 y=- （ x- ） . 将 代入椭圆 C方程 ,得 ( +2 )x2-16x0x+64-16 =0. 再将 代入 ,化简得 x2-2x0x+ =0. 解得 x=x0,y=y0, 即直线 QG与椭圆 C一定有唯一的公共点 . 设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F且与 x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (1)求椭圆的方程 ; (2)设 A,B分别为椭圆的左
19、、右顶点 ,过点 F且斜率为 k的直线与椭圆交于 C,D两点 .若 + =8,求 k的值 . 答案： (1) + =1 (2) k= 解 :(1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= c. 过点 F且与 x轴垂直的直线为 x=-c, 代入椭圆方程有 + =1, 解得 y= , 于是 = ,解得 b= , 又 a2-c2=b2,从而 a= ,c=1, 所以椭圆的方程为 + =1. (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 F(-1,0)得直线 CD的方程为 y=k(x+1). 由方程组 消去 y,整理得 (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0, 则 x1+x2=- ,x1x2
20、= . 因为 A(- ,0),B( ,0), 所以 + =(x1+ ,y1) ( -x2,-y2)+(x2+ ,y2)( -x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+ . 由已知得 6+ =8,解得 k= . 已知椭圆 C: + =1(ab0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C的方程 ; (2)当 AMN的面积为 时 ,求 k的值 . 答案： (1) + =1 (2) k=1 解 :(1)由题设知 ,椭
21、圆焦点在 x轴上 , a=2. 由 e= = 得 c= , b2=a2-c2=2. 椭圆 C的方程为 + =1. (2)由 消去 y, 整理得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2). 则 =(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)0( ) 且 x1+x2= ,x1 x2= , |MN|= = = = = 设点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离为 d, 则 d= . SAMN= |MN| d= = , 解得 k=1, 代入 ( )式成立 , k=1. 已知椭圆 + =1(ab0),点 P（ a, a）在椭圆上 . (1)求椭圆的离
22、心率 ; (2)设 A为椭圆的左顶点 ,O为坐标原点 ,若点 Q在椭圆上且满足 |AQ|=|AO|,求直线 OQ的斜率的值 . 答案： (1) (2) k= 解 :(1) 点 P（ a, a）在椭圆上 , + =1整理得 = . e= = = = = = . (2)由题意可知 ,点 A坐标为 (-a,0),|AO|=a. 设直线 OQ的斜率为 k, 则其方程为 y=kx, 设点 Q坐标为 (x0,y0). 则 消去 y0,整理得 = 由 |AQ|=|AO|得 (x0+a)2+k2 =a2. 整理得 (1+k2 2ax0=0. 由于 x00, 得 x0=- . 把 代入 得 = , 整理得 (1
23、+k2)2=4k2 +4. 由 (1)知 = , 故 (1+k2)2= k2+4, 即 5k4-22k2-15=0, 解得 k2=5. 直线 OQ的斜率 k= . 设椭圆 + =1(ab0)的左 ,右焦点分别为 F1,F2,点 P(a,b)满足 |PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2与椭圆相交于 A,B两点 .若直线 PF2与圆 (x+1)2+(y- )2=16相交于 M,N两点 ,且 |MN|= |AB|,求椭圆的方程 . 答案： (1) (2) + =1 解 :(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c0), 因为 |PF2|=|F1F2|, 所以
24、 =2c, 整理得 2（ ） 2+ -1=0, 得 =-1(舍去 ),或 = , 所以 e= . (2)由 (1)知 a=2c,b= c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2的方程为 y= (x-c). A、 B两点的坐标满足方程组 消去 y并整理 ,得 5x2-8cx=0, 解得 x1=0,x2= c. 得方程组的解 不妨设 A（ c, c） ,B(0,- c), 所以 |AB|= = c. 于是 |MN|= |AB|=2c. 圆心 (-1, )到直线 PF2的距离 d= = . 因为 d2+ =42, 所以 (2+c)2+c2=16. 整理得 7c2+12c-52=0
25、, 解得 c=- (舍去 )或 c=2. 所以椭圆方程为 + =1. 设椭圆 C: + =1(ab0)过点 (0,4),离心率为 . (1)求 C的方程 ; (2)求过点 (3,0)且斜率为 的直线被 C所截线段的中点坐标 . 答案： (1) + =1 (2) （ ,- ） 解 :(1)将 (0,4)代入 C的方程得 =1, b=4, 又由 e= = ,得 = , 即 1- = , a=5, C的方程为 + =1. (2)过点 (3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3). 设直线与 C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程 y= (x-3)代入 C的方程 , 得 +
26、 =1, 即 x2-3x-8=0, x1+x2=3. 设线段 AB的中点坐标为 (x,y), 则 x= = , y= = (x1+x2-6)=- , 即中点坐标为（ ,- ） . 已知椭圆 C: + =1(ab0),左、右两个焦点分别为 F1,F2,上顶点 A(0,b),AF1F2为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C的标准方程及离心率 ; (2)O为坐标原点 ,P是直线 F1A上的一个动点 ,求 |PF2|+|PO|的最小值 ,并求出此时点 P的坐标 . 答案： (1) + =1 e= (2) ( , ) 解 :(1)由题设得 解得 a=2,b= ,c=1. 故 C的方程为 + =1,离心率 e= . (2)直线 F1A的方程为 y= (x+1), 设点 O关于直线 F1A对称的点为 M(x0,y0), 则 所以点 M的坐标为 (- , ). |PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|MF2|, |PF2|+|PO|的最小值为 |MF2|= = . 直线 MF2的方程为 y= (x-1), 即 y=- (x-1). 由 所以此时点 P的坐标为 ( , ).
