1、1 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名 、 考生号 等 填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再 选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设 ，则 A B C D 2已知集合 ，则 A B C D 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍
2、，实现翻番 .为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前 经济收入构成比例 建设后 经济收入构成比例 则下 面 结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 1i2i1iz |z0 12 1 2 2 20A x x x AR 12xx 12xx | 1 | 2x x x x | 1 | 2x x x x 2 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 记 为等差数列 的前 项和 .若 ， ，则 A B C D 5 设函数
3、 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A B C D 6在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A B C D 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为 A B C 3 D 2 8设抛物线 C： y2=4x的焦点为 F，过点（ 2， 0）且斜率为 的直线与 C交于 M， N两点，则= A 5 B 6 C 7 D 8 9已知函数 若 g（ x）存在 2个零点，则 a的取值范围是 A 1， 0） B 0， +） C 1， +） D 1， +）
4、10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC 的三边所围成的区域记为 ，nS na n 3 2 43S S S 1 2a 5a12 10 10 1232( ) ( 1 )f x x a x a x ()fx ()y f x (0,0)2yx yx 2yx yxABC AD BC E AD EB3144AB AC 1344AB AC 3144AB AC1344AB ACM AN B M N172 5223 FM FNe0()l n 0x xfxxx ， ， ，( ) ( )g x f x x a A
5、BC3 黑色部分记为 ，其余部分记为 在整个图形中随机取一点，此点取自 ， ， 的概率分别记为 p1， p2， p3，则 A p1=p2 B p1=p3 C p2=p3 D p1=p2+p3 11已知双曲线 C： ， O为坐标原点， F为 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M、 N.若 为直角三角形，则 |MN|= A B 3 C D 4 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角 都 相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _ 1
6、4记 为数列 的前 项和 .若 ，则 _ 15从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案） 16 已知函数 ，则 的最小值是 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 60 分。 17 （ 12分） 在平面四边形 中， ， ， ， . （ 1）求 ； （ 2）若 ，求 . 2 2 13x yOMN32 23334 233 324 32x y 2 2 0100xyxyy 32z x
7、 ynS na n 21nnSa 6S 2 s i n s i n 2f x x x fxABCD 90ADC 45A 2AB 5BDcos ADB22DC BC4 18（ 12分） 如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 . （ 1）证明：平面 平面 ； （ 2）求 与平面 所成角的正弦值 . 19（ 12分） 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为. （ 1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （ 2）设 为坐标原点，证明： . 20（ 12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对
8、产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品 检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立 （ 1）记 20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 （ 2）现对一箱产品检验了 20件，结果恰有 2件不合格品，以（ 1）中确定的 作为 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 （ i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ; （ ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策
9、依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21（ 12分） 已知函数 ABCD ,EF ,ADBC DF DFCC P PF BFPEF ABFDDP ABFD2 2:12xCyF F l C ,AB M(2,0)l x AMO O M A O M B )10( pp)(pf)(pf 0p0p pX EX1( ) l nf x x a xx 5 （ 1）讨论 的单调性； （ 2）若 存在两个极值点 ，证明： （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程
10、为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （ 1） 求 的直角坐标方程； （ 2） 若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程 . 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 已知 . （ 1）当 时，求不等式 的解集； （ 2）若 时不等式 成立，求 的取值范围 . ()fx()fx 12,xx 12122f x f x axx xOy 1C | | 2y k x x2C 2 2 c o s 3 0 2C1C 2C 1C( ) | 1 | | 1 |f x x a x 1a ( ) 1fx(0,1)x ()f x x a6 参考答案： 1 2 3 4 5
11、6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14. 15.16 16. 17.（ 12分） 解：（ 1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 . （ 2）由题设及（ 1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 . 18.（ 12分） 解：（ 1）由已知可得， BF PF， BF EF，所以 BF 平面 PEF. 又 平面 ABFD，所以平面 PEF 平面 ABFD. （ 2）作 PH EF，垂足为 H.由（ 1）得， PH 平面 ABFD. 以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的
12、空间直角坐标系 Hxyz. 63 332ABDs i n s i nB D A BA A D B52s i n 4 5 s i n A D B 2s i n 5A D B90ADB 2 2 3c o s 12 5 5A D B 2c o s s i n 5B D C A D B BCD2 2 2 2 c o sB C B D D C B D D C B D C 22 5 8 2 5 2 2 5 255BCBFHF |BF7 由（ 1）可得， DE PE.又 DP=2， DE=1，所以 PE= .又 PF=1， EF=2，故 PE PF. 可得 . 则 为平面 ABFD的法向量 . 设 DP与平
13、面 ABFD所成角为 ，则 . 所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 . 19.（ 12分） 解：（ 1）由已知得 ， l的方程为 x=1. 由已知可得，点 A的坐标为 或 . 所以 AM的方程为 或 . （ 2）当 l与 x轴重合时， . 当 l与 x轴垂直时， OM为 AB的垂直平分线，所以 . 当 l与 x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为 ， ， 则 ， 直线 MA， MB的斜率之和为 . 由 得 . 333,22P H E H3 3 3 3( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) , ( 1 , , 0 ) , (1 , , ) ,2 2 2 2H P D D P
14、 3( 0 , 0 , )2HP 334s i n | |4| | | | 3H P D PH P D P 34(1,0)F2(1, )2 2(1, )22 22yx 2 22yx0O M A O M B O M A O M B ( 1 ) ( 0 )y k x k 1 2 21( , ) , ( , )Ay x yx B122 , 2xx2121 22M A M B xxyykk 11 22,y k k xykx k 1 2 1 212(2 3 ( ) 42 ) ( 2 )M A M Bx x x xkkxx kkk 8 将 代入 得 . 所以， . 则 . 从而 ， 故 MA， MB的倾斜
15、角互补 ， 所以 . 综上， . 20.（ 12分） 解：（ 1） 20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 .因此 . 令 ，得 .当 时， ；当 时， . 所以 的最大值点为 . （ 2）由（ 1）知， . （ i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ，即 . 所以 . （ ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400元 . 由于 ，故应该对余下的产品作检验 . 21.（ 12分） 解 :（ 1） 的定义域为 ， . （ i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减 . （ ii）若 ，令 得， 或 . ( 1)y k x 2 2 12x
16、 y2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k x k 21 2212224 2 2,2 1 2 1x x xkkk x k 3131322 24 4 1 2 8 42 3 ( ) 4 021k k k k kk k k kx x x x 0MA MBkk O M A O M B O M A O M B 2 2 1 820( ) C (1 )f p p p2 1 8 2 1 7 2 1 72 0 2 0( ) C 2 (1 ) 1 8 (1 ) 2 C (1 ) (1 1 0 )f p p p p p p p p ( ) 0fp 0.1p (0, 0.1)p ( ) 0fp (0.
17、1,1)p ( ) 0fp ()fp 0 0.1p 0.1pY (1 8 0 , 0 .1)YB:2 0 2 2 5XY 40 25XY( 4 0 2 5 ) 4 0 2 5 4 9 0E X E Y E Y 400EX()fx (0, ) 22211( ) 1 a x a xfx x x x 2a ( ) 0fx 2a 1x ( ) 0fx ()fx (0, )2a ( ) 0fx 2 42aax 2 42aax 9 当 时， ； 当 时， . 所以 在单调递减，在 单调递增 . （ 2）由（ 1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ，
18、 所以 等价于 . 设函数 ，由（ 1）知， 在 单调递减，又 ，从而当时， . 所以 ，即 . 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10分） 解 :（ 1） 由 ， 得 的直角坐标方程为 （ 2）由（ 1）知 是圆心为 ，半径为 的圆 由题设知， 是过点 且关于轴对称的两条射线 记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或与 只有一个公共点且 与 有两个公共点 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 2244( 0 , ) ( , )a a a ax U( ) 0fx
19、 2244(,)a a a ax ( ) 0fx ()fx2244( 0 , ) , ( , )a a a a 2244( , )a a a a ()fx 2a()fx 12,xx 2 10x ax 121xx 12xx 2 1x 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 22( ) ( ) l n l n l n l n 2 l n1 1 2 21f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx 1212( ) ( ) 2f x f x axx 2221 2 l n 0xxx 1( ) 2 l ng x x xx ()gx (0, ) (1) 0g
20、 (1, )x ( ) 0gx2221 2 l n 0xxx 1212( ) ( ) 2f x f x axx cosx siny 2C 22( 1) 4xy 2C ( 1,0)A 2 1C (0,2)B yy 1l y 2l B 2C1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l2C 1l 2C1l 2C A 1l 2 2| 2 | 21kk 43k0k10 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与有两个公共点 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点 综上，所求 的方程为 23 选修
21、 4 5：不等式选讲 （ 10分） 解：（ 1）当 时， ，即 故不等式 的解集为 （ 2）当 时 成立等价于 当 时 成立 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 综上， 的取值范围为 . 0k 1l 2C 43k 1l 2C 2l 2C2l 2C A 2l 2 2| 2 | 21kk 0k43k0k 1l 2C 43k 2l 2C1C 4 | | 23yx 1a ( ) | 1 | | 1 |f x x x 2 , 1 ,( ) 2 , 1 1 ,2 , 1 .xf x x xx ( ) 1fx 1 | 2xx(0,1)x | 1 | | 1 |x a x x (0,1)x | 1| 1ax0a (0,1)x | 1| 1ax0a | 1| 1ax 20 x a 2 1a 02aa (0,2
