1、1 2018 年全国高考理科数学分类汇编 函数与导数 1.（北京） 能说明 “若 f（ x） f（ 0）对任意的 x （ 0， 2都成立，则 f（ x）在 0， 2上是增函数 ”为假命题的一个函数是 f（ x） =sinx 【解答】解：例如 f（ x） =sinx，尽管 f（ x） f（ 0）对任意的 x （ 0， 2都成立， 当 x 0， ）上为增函数，在（ ， 2为减函数，故答案为： f（ x） =sinx 2. （北京） 设函数 f（ x） =ax2（ 4a+1） x+4a+3ex （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行，求 a； （ ）若 f（ x）
2、在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解答】解：（ ）函数 f（ x） =ax2（ 4a+1） x+4a+3ex 的导数为 f（ x） =ax2（ 2a+1） x+2ex由题意可得曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 0， 可得（ a 2a 1+2） e=0，解得 a=1； （ ） f（ x）的导数为 f（ x） =ax2（ 2a+1） x+2ex=（ x 2）（ ax 1） ex， 若 a=0 则 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）递增； x 2， f（ x） 0， f（ x）递减 x=2 处 f（ x）取得极大值，不符题意； 若 a 0，且 a= ，
3、则 f（ x） = （ x 2） 2ex 0， f（ x）递增，无极值； 若 a ，则 2， f（ x）在（ ， 2）递减；在（ 2， + ），（ ， ）递增， 可得 f（ x）在 x=2 处取得极小值； 若 0 a ，则 2， f（ x）在（ 2， ）递减；在（ ， + ），（ ， 2）递增， 可得 f（ x）在 x=2 处取得极大值，不符题意； 若 a 0，则 2， f（ x）在（ ， 2）递增；在（ 2， + ），（ ， ）递减， 可得 f（ x）在 x=2 处取得极大值，不符题意 综上可得， a 的范围是（ ， + ） 3. （江苏） 函数 f（ x） = 的定义域为 2， + ） 【
4、解答】解：由题意得： 1，解得： x 2， 函数 f（ x）的定义域是 2， + ） 故答案为： 2， + ） 2 4. （江苏） 函数 f（ x）满足 f（ x+4） =f（ x）（ x R），且在区间（ 2， 2上， f（ x） = ，则 f（ f（ 15）的值为 【解答】解：由 f（ x+4） =f（ x）得函数是周期为 4 的周期函数，则 f（ 15） =f（ 16 1） =f（1） =| 1+ |= ， f（ ） =cos（ ） =cos = ，即 f（ f（ 15） = ， 故答案为： 5. （江苏） 若函数 f（ x） =2x3 ax2+1（ a R）在（ 0， + ）内有且只有
5、一个零点，则 f（ x）在 1， 1上的最大值与最小值的和为 3 【解答】解： 函数 f（ x） =2x3 ax2+1（ a R）在（ 0， + ）内有且只有一个零点， f（ x） =2x（ 3x a）， x （ 0， + ）， 当 a 0 时， f（ x） =2x（ 3x a） 0， 函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增， f（ 0） =1， f（ x）在（ 0， + ）上没有零点，舍去； 当 a 0 时， f（ x） =2x（ 3x a） 0 的解为 x ， f（ x）在（ 0， ）上递减，在（ ，+ ）递增，又 f（ x）只有一个零点， f（ ） = +1=0，解得 a=3， f
6、（ x） =2x3 3x2+1， f（ x） =6x（ x 1）， x 1， 1， f（ x） 0 的解集为（ 1， 0）， f（ x）在（ 1， 0）上递增，在（ 0， 1）上递减 ； f（ 1） = 4， f（ 0） =1， f（ 1） =0， f（ x） min=f（ 1） = 4， f（ x） max=f（ 0） =1， f（ x）在 1， 1上的最大值与最小值的和为： f（ x） max+f（ x） min= 4+1= 3 6. （江苏） 记 f（ x）， g（ x）分别为函数 f（ x）， g（ x）的导函数若存在 x0 R，满足 f（ x0）=g（ x0）且 f（ x0） =g（
7、 x0），则称 x0 为函数 f（ x）与 g（ x）的一个 “S 点 ” （ 1）证明：函数 f（ x） =x 与 g（ x） =x2+2x 2 不存在 “S 点 ”； （ 2）若函数 f（ x） =ax2 1 与 g（ x） =lnx 存在 “S 点 ”，求实数 a 的值； （ 3） 已知函数 f（ x） = x2+a， g（ x） = 对任意 a 0，判断是否存在 b 0，使函数 f（ x）与 g（ x）在区间（ 0， + ）内存在 “S 点 ”，并说明理由 【解答】解：（ 1）证明： f（ x） =1， g（ x） =2x+2， 则由定义得 ，得方程无解，则 f（ x） =x 与 g（
8、 x） =x2+2x 2 不存在 “S 点 ”； 3 （ 2） f（ x） =2ax， g（ x） = ， x 0，由 f（ x） =g（ x）得 =2ax，得 x= ， f（ ） = =g（ ） = lna2，得 a= ； （ 3） f（ x） = 2x， g（ x） = ，（ x 0）， 由 f（ x0） =g（ x0），得 b = 0，得 0 x0 1， 由 f（ x0） =g（ x0），得 x02+a= = ，得 a=x02 ， 令 h（ x） =x2 a= ，（ a 0， 0 x 1）， 设 m（ x） = x3+3x2+ax a，（ a 0， 0 x 1）， 则 m（ 0） = a
9、 0， m（ 1） =2 0，得 m（ 0） m（ 1） 0， 又 m（ x）的图象在（ 0， 1）上连续不断，则 m（ x）在（ 0， 1）上有零点，则 h（ x）在（ 0，1）上有零点，则 f（ x）与 g（ x）在区间（ 0， + ）内存在 “S”点 7. （全国 1 卷） 设函数 f（ x） =x3+（ a 1） x2+ax若 f（ x）为奇函数，则曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切线方程为（ ） D A y= 2x B y= x C y=2x D y=x 【解答】解：函数 f（ x） =x3+（ a 1） x2+ax，若 f（ x）为奇函数，可得 a=1，所以函数 f（ x
10、）=x3+x，可得 f（ x） =3x2+1，曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切线的斜率为： 1，则曲线 y=f（ x）在点（ 0， 0）处的切线方程为： y=x故选： D 8. （全国 1 卷） 已知函数 f（ x） = ， g（ x） =f（ x） +x+a若 g（ x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（ ） C A 1， 0） B 0， + ） C 1， + ） D 1， + ） 【解答】解：由 g（ x） =0 得 f（ x） = x a，作出函数 f（ x）和 y= x a 的图象如图： 当直线 y= x a 的截距 a 1，即 a 1 时，两个函数的图象都有 2 个
11、交点， 即函数 g（ x）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是 1， + ），故选： C 4 9. （全国 1 卷） 已知函数 f（ x） =2sinx+sin2x，则 f（ x）的最小值是 【解答】解：由题意可得 T=2 是 f（ x） =2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑 f（ x） =2sinx+sin2x 在 0， 2）上的值域，先来求该函数在 0， 2）上的极值点， 求导数可得 f（ x） =2cosx+2cos2x=2cosx+2（ 2cos2x 1） =2（ 2cosx 1）（ cosx+1）， 令 f（ x） =0 可解得 cosx= 或 cosx= 1，可
12、得此时 x= ， 或 ； y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ， 或 和边界点 x=0 中取到， 计算可得 f（ ） = ， f（ ） =0， f（ ） = ， f（ 0） =0， 函数的最小值为 ， 故答案为： 10. （全国 1 卷） 已知函数 f（ x） = x+alnx （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）若 f（ x）存在两个极值点 x1， x2，证明： a 2 【解答】解：（ 1）函数的定义域为（ 0， + ）， 函数的导数 f（ x） = 1+ = ， 设 g（ x） =x2 ax+1， 当 a 0 时， g（ x） 0 恒成立，即 f（ x） 0 恒成立
13、，此时函数 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， 当 a 0 时，判别式 =a2 4， 当 0 a 4 时， 0，即 g（ x） 0，即 f（ x） 0 恒成立，此时函数 f（ x）在（ 0， + ）5 上是减函数， 当 a 2 时， x， f（ x）， f（ x）的变化如下表： x （ 0，） （ ，） （ ，+ ） f（ x） 0 + 0 f（ x） 递减 递增 递减 综上当 a 2 时， f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， 当 a 2 时，在（ 0， ），和（ ， + ）上是减函数， 则（ ， ）上是增函数 （ 2）由（ 1）知 a 2， 0 x1 1 x2， x1x2=1，
14、则 f（ x1） f（ x2） =（ x2 x1）（ 1+ ） +a（ lnx1 lnx2） =2（ x2 x1） +a（ lnx1 lnx2）， 则 = 2+ ，则问题转为证明 1 即可， 即证明 lnx1 lnx2 x1 x2，即证 2lnx1 x1 在（ 0， 1）上恒成立， 设 h（ x） =2lnx x+ ，（ 0 x 1），其中 h（ 1） =0， 求导得 h（ x） = 1 = = 0，则 h（ x）在（ 0， 1）上单调递减， h（ x） h（ 1），即 2lnx x+ 0，故 2lnx x ，则 a 2 成立 11.（全国 2 卷） 函数 f（ x） = 的图象大致为（ ）
15、B 6 A B C D 【解答】解：函数 f（ x） = = = f（ x），则函数 f（ x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，当 x=1 时， f（ 1） =e 0，排除 D当 x+ 时， f（ x） + ，排除 C， 故选： B 12.（全国 2 卷） 已知 f（ x）是定义域为（ ， + ）的奇函数，满足 f（ 1 x） =f（ 1+x），若f（ 1） =2，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 50） =（ ） C A 50 B 0 C 2 D 50 【解答】解： f（ x）是奇函数，且 f（ 1 x） =f（ 1+x）， f（ 1 x） =f（ 1+x） = f（
16、 x 1）， f（ 0） =0， 则 f（ x+2） = f（ x），则 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x）， 即函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数， f（ 1） =2， f（ 2） =f（ 0） =0， f（ 3） =f（ 1 2） =f（ 1） = f（ 1） = 2， f（ 4） =f（ 0） =0，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） =2+0 2+0=0， 则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 50） =12f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 49） +f（ 50） =f（ 1） +f（ 2） =2+0=
17、2，故选： C 13.（全国 2 卷） 曲线 y=2ln（ x+1）在点（ 0， 0）处的切线方 程为 y=2x 【解答】解： y=2ln（ x+1）， y= ，当 x=0 时， y=2， 曲线 y=2ln（ x+1）在点（ 0， 0）处的切线方程为 y=2x故答案为： y=2x 7 14.（全国 2 卷） 已知函数 f（ x） =ex ax2 （ 1）若 a=1，证明：当 x 0 时， f（ x） 1； （ 2）若 f（ x）在（ 0， + ）只有一个零点，求 a 【解答】证明：（ 1）当 a=1 时，函数 f（ x） =ex x2则 f（ x） =ex 2x， 令 g（ x） =ex 2x
18、，则 g（ x） =ex 2，令 g（ x） =0，得 x=ln2 当 （ 0， ln2）时， h（ x） 0，当 （ ln2， + ）时， h（ x） 0， h（ x） h（ ln2） =eln2 2ln2=2 2ln2 0， f（ x）在 0， + ）单调递增， f（ x） f（ 0） =1， 解：（ 2）， f（ x）在（ 0， + ）只有一个零点 方程 ex ax2=0 在（ 0， + ）只有一个根， a= 在（ 0， + ）只有一个根，即函数 y=a 与 G（ x） = 的图象在（ 0， + ）只有一个交点 G ， 当 x （ 0， 2）时， G（ x） 0，当 （ 2， + ）时，
19、 G（ x） 0， G（ x）在（ 0， 2）递增，在（ 2， + ）递增， 当 0 时， G（ x） + ，当 + 时， G（ x） + ， f（ x）在（ 0， + ）只有一个零点时， a=G（ 2） = 15.（全国 3 卷） 函数 y= x4+x2+2 的图象大致为（ ） D A B CD 8 【解答】解：函数过定点（ 0， 2），排除 A， B函数的导数 f（ x） = 4x3+2x= 2x（ 2x2 1）， 由 f（ x） 0 得 2x（ 2x2 1） 0，得 x 或 0 x ，此时函数单调递增，排除 C， 故选： D 16.（全国 3 卷） 设 a=log0.20.3， b=lo
20、g20.3，则（ ） B A a+b ab 0 B ab a+b 0 C a+b 0 ab D ab 0 a+b 【解答】解： a=log0.20.3= ， b=log20.3= ， = ， ， ， ， ab a+b 0故选： B 17.（全国 3 卷） 曲线 y=（ ax+1） ex 在点（ 0， 1）处的切线的斜率为 2，则 a= 3 【解答】解：曲线 y=（ ax+1） ex，可得 y=aex+（ ax+1） ex，曲线 y=（ ax+1） ex 在点（ 0， 1）处的切线的斜率为 2，可得： a+1= 2，解得 a= 3故答案为： 3 18.（全国 3 卷） 已知函数 f（ x） =（
21、 2+x+ax2） ln（ 1+x） 2x （ 1）若 a=0，证明：当 1 x 0 时， f（ x） 0；当 x 0 时， f（ x） 0； （ 2）若 x=0 是 f（ x）的极大值点，求 a 【解答】（ 1）证明：当 a=0 时， f（ x） =（ 2+x） ln（ 1+x） 2x，（ x 1） ， ， 可得 x （ 1， 0）时， f（ x） 0， x （ 0， + ）时， f（ x） 0 f（ x）在（ 1， 0）递减，在（ 0， + ）递增， f（ x） f（ 0） =0， f（ x） =（ 2+x） ln（ 1+x） 2x 在（ 1， + ）上单调递增，又 f（ 0） =0 当
22、1 x 0 时， f（ x） 0；当 x 0 时， f（ x） 0 （ 2）解：由 f（ x） =（ 2+x+ax2） ln（ 1+x） 2x，得 f（ x） =（ 1+2ax） ln（ 1+x） + 2= ， 令 h（ x） =ax2 x+（ 1+2ax）（ 1+x） ln（ x+1）， h（ x） =4ax+（ 4ax+2a+1） ln（ x+1） 当 a 0， x 0 时， h（ x） 0， h（ x）单调递增， h（ x） h（ 0） =0，即 f（ x） 0， 9 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增，故 x=0 不是 f（ x）的极大值点，不符合题意 当 a 0 时， h（ x）
23、 =8a+4aln（ x+1） + ， 显然 h（ x）单调递减， 令 h（ 0） =0，解得 a= 当 1 x 0 时， h（ x） 0，当 x 0 时， h（ x） 0， h（ x）在（ 1， 0）上单调递增，在（ 0， + ）上单调递减， h（ x） h（ 0） =0， h（ x）单调递减，又 h（ 0） =0， 当 1 x 0 时， h（ x） 0，即 f（ x） 0， 当 x 0 时， h（ x） 0，即 f（ x） 0， f（ x）在（ 1， 0）上单调递增，在（ 0， + ）上单调递减， x=0 是 f（ x）的极大值点，符合题意； 若 a 0，则 h（ 0） =1+6a 0，
24、h（ e 1） =（ 2a 1）（ 1 e ） 0， h（ x） =0 在（ 0， + ）上有唯一一个零点，设为 x0， 当 0 x x0 时， h（ x） 0， h（ x）单调递增， h（ x） h（ 0） =0，即 f（ x） 0， f（ x）在（ 0， x0）上单调递增，不符合题意； 若 a ，则 h（ 0） =1+6a 0， h（ 1） =（ 1 2a） e2 0， h（ x） =0 在（ 1， 0）上有唯一一个零点，设为 x1， 当 x1 x 0 时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， h（ x） h（ 0） =0， h（ x）单调递增， h（ x） h（ 0） =0，即 f（
25、 x） 0， f（ x）在（ x1， 0）上单调递减，不符合题意 综上， a= 19. （上海） 设常数 a R，函数 f（ x） =1og2（ x+a）若 f（ x）的反函数的图象经过点（ 3， 1），则 a= 7 【解答】解： 常数 a R，函数 f（ x） =1og2（ x+a） f（ x）的反函数的图象经过点（ 3， 1）， 10 函数 f（ x） =1og2（ x+a）的图象经过点（ 1， 3）， log2（ 1+a） =3，解得 a=7故答案为： 7 20.（上海） 已知 2， 1， ， 1， 2， 3，若幂函数 f（ x） =x为奇函数，且在（ 0，+ ）上递减，则 = 1 【解
26、答】解： 2， 1， ， 1， 2， 3，幂函数 f（ x） =x 为奇函数，且在（ 0， + ）上递减， a 是奇数，且 a 0， a= 1故答案为： 1 21.（上海） 已知常数 a 0，函数 f（ x） = 的图象经过点 P（ p， ）， Q（ q， ）若2p+q=36pq，则 a= 6 【解答】解：函数 f（ x） = 的图象经过点 P（ p， ）， Q（ q， ） 则： ，整理得： =1， 解得： 2p+q=a2pq，由于： 2p+q=36pq，所以： a2=36，由于 a 0，故： a=6故答案为： 6 22.（上海） 设 D 是含数 1 的有限实数集， f（ x）是定义在 D 上
27、的函数，若 f（ x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中， f（ 1）的可能取值只能是（ ） B A B C D 0 【解答】解：设 D 是含数 1 的有限实数集， f（ x）是定义在 D 上的函数， 若 f（ x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，故 f（ 1） =cos = ，故选： B 23.（上海） 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 S 中 x%（ 0 x 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（ x） = （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受
28、 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （ 1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （ 2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（ x）的表达式；讨论 g（ x）的单调性，并说明其实际意义 11 【解答】解；（ 1）由题意知，当 30 x 100 时， f（ x） =2x+ 90 40， 即 x2 65x+900 0，解得 x 20 或 x 45， x （ 45， 100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （ 2）当 0 x 30 时， g（ x） =30x%+40（ 1 x%） =40 ； 当 30 x 1
29、00 时， g（ x） =（ 2x+ 90） x%+40（ 1 x%） = x+58； g（ x） = ； 当 0 x 32.5 时， g（ x）单调递减；当 32.5 x 100 时， g（ x）单调递增； 说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少 24. （天津） 已知 a=log2e， b=ln2， c=log ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） D A a b c B b a c C c b a D c a b 【解答】解： a=log2e 1， 0
30、b=ln2 1， c=log =log23 log2e=a， 则 a， b， c 的大小关系 c a b，故选： D 25.（天津） 已知 a 0，函数 f（ x） = 若关于 x 的方程 f（ x） =ax 恰有 2个互异的实数解，则 a 的取值范围是 （ 4， 8） 【解答】解：当 x 0 时，由 f（ x） =ax 得 x2+2ax+a=ax，得 x2+ax+a=0， 得 a（ x+1） = x2，得 a= ， 设 g（ x） = ，则 g（ x） = = ， 由 g（ x） 0 得 2 x 1 或 1 x 0，此时递增， 由 g（ x） 0 得 x 2，此时递减，即当 x= 2 时，
31、g（ x）取得极小值为 g（ 2） =4， 当 x 0 时，由 f（ x） =ax 得 x2+2ax 2a=ax， 12 得 x2 ax+2a=0，得 a（ x 2） =x2，当 x=2 时，方程不成立， 当 x 2 时， a= 设 h（ x） = ，则 h（ x） = = ， 由 h（ x） 0 得 x 4，此时递增， 由 h（ x） 0 得 0 x 2 或 2 x 4，此时递减，即当 x=4 时， h（ x）取得极小值为 h（ 4） =8， 要使 f（ x） =ax 恰有 2 个互异的实数解，则由图象知 4 a 8，故答案为：（ 4， 8） 26. （天津） 已知函数 f（ x） =ax，
32、 g（ x） =logax，其中 a 1 （ ）求函数 h（ x） =f（ x） xlna 的单调区间； （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ x1， f（ x1）处的切线与曲线 y=g（ x）在点（ x2， g（ x2）处的切线平行，证明 x1+g（ x2） = ； （ ）证明当 a e 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（ x）的切线，也是曲线 y=g（ x）的切线 【解答】（ ）解：由已知， h（ x） =ax xlna，有 h（ x） =axlna lna， 令 h（ x） =0，解得 x=0 由 a 1，可知当 x 变化时， h（ x）， h（ x）的变化情况如下表： x （ ，
33、 0） 0 （ 0， + ） h（ x） 0 + h（ x） 极小值 函数 h（ x）的单调减区间为（ ， 0），单调递增区间为（ 0， + ）； （ ）证明：由 f（ x） =axlna，可得曲线 y=f（ x）在点（ x1， f（ x1）处的切线的斜率为 lna 13 由 g（ x） = ，可得曲线 y=g（ x）在点（ x2， g（ x2）处的切线的斜率为 这两条切线平行，故有 ，即 ， 两边取以 a 为底数的对数，得 logax2+x1+2logalna=0， x1+g（ x2） = ； （ ）证明：曲线 y=f（ x）在点（ ）处的切线 l1： ， 曲线 y=g（ x）在点（ x2，
34、 logax2）处的切线 l2： 要证明当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（ x）的切线，也是曲线 y=g（ x）的切线， 只需证明当 a 时，存在 x1 （ ， + ）， x2 （ 0， + ）使得 l1 与 l2 重合， 即只需证明当 a 时，方程组 由 得 ，代入 得： ， 因此，只需证明当 a 时，关于 x1 的方程 存在实数解 设函数 u（ x） = ，既要证明当 a 时，函数 y=u（ x）存在零点 u（ x） =1（ lna） 2xax，可知 x （ ， 0）时， u（ x） 0； x （ 0， + ）时， u（ x）单调递减， 又 u（ 0） =1 0， u =
35、0， 故存在唯一的 x0，且 x0 0，使得 u（ x0） =0，即 由此可得， u（ x）在（ ， x0）上单调递增，在（ x0， + ）上单调递减， u（ x）在 x=x0 处取得极大值 u（ x0） ，故 lnlna 1 14 = 下面证明存在实数 t，使得 u（ t） 0， 由（ ）可得 ax 1+xlna，当 时，有 u（ x） = 存在实数 t，使得 u（ t） 0 因此，当 a 时，存在 x1 （ ， + ），使得 u（ x1） =0 当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（ x）的切线，也是曲线 y=g（ x）的切线 27. （浙江） 函数 y=2|x|sin2x 的
36、图象可能是（ ） D A B C D 【解答】解：根据函数的解析式 y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除 A 和 B当 x= 时，函数的值也为 0，故排除 C故选： D 28. （浙江） 我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题： “今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ ”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x， y， z，则 ，当 z=81 时， x= 8 ， y= 11 15 【解答】解： ，当 z=81 时，化为： ， 解得 x=8， y=11故答案为： 8； 11 29.（浙江） 已知 R，函数 f（ x） = ，当
37、 =2 时，不等式 f（ x） 0 的解集是 x|1 x 4 若函数 f（ x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是 （ 1， 3 【解答】解：当 =2 时函数 f（ x） = ，显然 x 2 时，不等式 x 4 0 的解集：x|2 x 4； x 2 时，不等式 f（ x） 0 化为： x2 4x+3 0，解得 1 x 2，综上，不等式的解集为： x|1 x 4 函数 f（ x）恰有 2 个零点， 函数 f（ x） = 的草图如图： 函数 f（ x）恰有 2 个零点，则 （ 1， 3 故答案为： x|1 x 4；（ 1， 3 30.（浙江） 已知函数 f（ x） = lnx （ ）若 f（ x）
38、在 x=x1， x2（ x1 x2）处导数相等，证明： f（ x1） +f（ x2） 8 8ln2； （ ）若 a 3 4ln2，证明：对于任意 k 0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（ x）有唯一公共点 【解答】证明：（ ） 函数 f（ x） = lnx， x 0， f（ x） = ， f（ x）在 x=x1， x2（ x1 x2）处导数相等， = ， 16 x1 x2， + = ， 由基本不等式得： = ， x1 x2， x1x2 256， 由题意得 f（ x1） +f（ x2） = = ln（ x1x2）， 设 g（ x） = ，则 ， 列表讨论： x （ 0， 16） 16 （ 1
39、6， + ） g（ x） 0 + g（ x） 2 4ln2 g（ x）在 256， + ）上单调递增， g（ x1x2） g（ 256） =8 8ln2， f（ x1） +f（ x2） 8 8ln2 （ ）令 m=e（ |a|+k） ， n=（ ） 2+1， 则 f（ m） km a |a|+k k a 0， f（ n） kn a n（ k） n（ k） 0， 存在 x0 （ m， n），使 f（ x0） =kx0+a， 对于任意的 a R 及 k （ 0， + ），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（ x）有公共点， 由 f（ x） =kx+a，得 k= ， 设 h（ x） = ，则 h（ x） = = ， 其中 g（ x） = lnx， 由（ 1）知 g（ x） g（ 16）， 又 a 3 4ln2， g（ x） 1+a g（ 16） 1+a= 3+4ln2+a 0， h（ x） 0，即函数 h（ x）在（ 0， + ）上单调递减， 方程 f（ x） kx a=0 至多有一个实根， 综上， a 3 4ln2 时，对于任意 k 0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（ x）有唯一公共点
