1、 page 1 of 17 燕尾定理： 在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ， 那么 ， :A B O A C OS S B D D C OFED CBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的 手段，因为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 . 通过一道例题 证明燕尾定理 ： 如右图， D 是 BC 上任意一点，请你说明 ：1 4 2 3: : :S S S S B D D CS 3S
2、 1 S 4S 2 EDCBA【解析】 三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底，所以有14:S S BD DC； 三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，12:S S ED EA； 三角形 ACE 与三角形 CED 同高，43:S S ED EA， 所以1 4 2 3:S S S S； 综上可得 ， 1 4 2 3: : :S S S S B D D C. 例题精讲 燕尾定理 page 2 of 17 【例 1】 （ 2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在BC 上，且 : 1 : 2BD D
3、C ， AD 与 BE 交于点 F 则四边形 DFEC 的面积等于 FED CBA33321FED CBAAB CDEFFEDCBA【解析】 方法一： 连接 CF ， 根据燕尾定理， 12ABFACFS BDS DC，1ABFCBFS AES EC, 设 1BDFS 份，则 2DCFS 份， 3ABFS 份， 3AEF EFCSS 份，如图所标 所以 551 2 1 2D C E F A B CSS方法二 ： 连 接 DE ，由 题目条件可得到 1133A B D A B CSS ， 1 1 2 12 2 3 3A D E A D C A B CS S S ，所以 11ABDADESBFFE
4、S， 1 1 1 1 1 1 12 2 3 2 3 2 1 2D E F D E B B E C A B CS S S S ， 而 2 1 13 2 3C D E A B CSS 所以 则四边形 DFEC 的面积等于 512 【巩固】如图，已知 BD DC ， 2EC AE ，三角形 ABC 的面积是 30 ，求阴影部分面积 . DEFCBADEFCBADEFCBA【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积 . 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对 它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一
5、 )连接 CF ，因为 BD DC ， 2EC AE ，三角形 ABC 的面积是 30， 所以 1 103A B E A B CSS ， 1 152A B D A B CSS 根据燕尾定理， 12ABFCBFS AES EC，1ABFACFS BDS CD, 所以 1 7 . 54A B F A B CSS ， 1 5 7 . 5 7 . 5BFDS ， 所以阴影部分面积是 3 0 1 0 7 .5 1 2 .5 (法二 )连接 DE ，由 题目条件可得到 1 103A B E A B CSS ， 1 1 2 102 2 3B D E B E C A B CS S S ，所以 11ABEBDE
6、SAFFD S， 1 1 1 1 1 1 2 . 52 2 3 2 3 2D E F D E A A D C A B CS S S S ， page 3 of 17 而 21 1032C D E A B CSS 所以阴影部分的面积为 12.5 【巩固】 如图，三角形 ABC 的面积是 2200cm ， E 在 AC 上 ，点 D 在 BC 上，且 : 3 : 5AE EC , : 2 : 3BD DC ，AD 与 BE 交于点 F 则四边形 DFEC 的面积等于 FED CBAAB CDEFFEDCBA【解析】 连接 CF ， 根据燕尾定理， 2639ABFA C FS BDS D C ， 3
7、65 1 0ABFC B FS AES E C , 设 6ABFS 份，则 9ACFS 份 , 10BCFS 份， 5 4 593 5 8EFCS 份， 31 0 623CDFS 份，所以24 5 4 52 0 0 ( 6 9 1 0 ) ( 6 ) 8 ( 6 ) 9 3 ( c m )88D C F ES 【巩固】如图， 已知 3BD DC ， 2EC AE ， BE 与 CD 相交于点 O ,则 ABC 被分成的 4 部分面积各占 ABC 面积的几分之几？ OED CBA13 . 5 4 . 59211213OED CBA【解析】 连接 CO ,设 1AEOS 份，则其他部分的面积如图所
8、示，所以 1 2 9 1 8 3 0ABCS 份，所以四部分按从小到大各占 ABC 面积的 1 2 4 . 5 1 3 9 3 1 3 . 5 9, , ,3 0 3 0 6 0 3 0 1 0 3 0 2 0 【巩固】 (2007 年香港圣公会数学竞赛 )如图所示，在 ABC 中， 12CP CB， 13CQ CA， BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC 的面积为 6 ，则 ABX 的面积等于 XQ PA BCXQ PA BC4411XQ PCBA【解析】 方法一： 连接 PQ 由于 12CP CB， 13CQ CA，所以 23ABQ ABCSS， 1126B P Q B C Q A
9、B CS S S 由蝴蝶定理知， 21: : : 4 : 136A B Q B P Q A B C A B CA X X P S S S S ， 所以 4 4 1 2 2 6 2 . 45 5 2 5 5A B X A B P A B C A B CS S S S 方法二：连接 CX 设 1CPXS 份，根据燕尾定理标出其他部分面积， page 4 of 17 所以 6 ( 1 1 4 4 ) 4 2 . 4ABXS 【巩固】 如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， 2BD DC ， 2CE AE ， AD 与 BE 相交于点 F ，请写出这 4 部分的面积各是多少 ? ABCDEF 4862
10、1ABCDEF【解析】 连接 CF ，设 1AEFS 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEFS , 6221 7ABFS , 821BDFS , 2 4 22 1 7FDCES 【巩固】 如图， E 在 AC 上， D 在 BC 上，且 : 2 : 3AE EC , : 1 : 2BD DC ， AD 与 BE 交于点 F 四边形 DFEC的面积等于 222cm ，则三角形 ABC 的面积 ABCDEFABCDEF2 .41 .62ABCDEF1 2【解析】 连接 CF ,根据燕尾定理， 12ABFACFS BDS DC， 23ABFCBFS AES EC, 设 1B
11、DFS 份，则 2DCFS 份， 2ABFS 份， 4AFCS 份， 24 1 . 623AEFS 份 , 34 2 . 423EFCS 份 ,如图所标 ,所以 2 2 .4 4 .4E F D CS 份 , 2 3 4 9ABCS 份 所以 22 2 4 . 4 9 4 5 ( c m )ABCS 【巩固】三角形 ABC 中， C 是直角，已知 2AC ， 2CD ， 3CB ， AM BM ，那么三角形 AMN (阴影部分 )的面积为多少？ ABC DMNABC DMN【解析】 连接 BN ABC 的面积为 3 2 2 3 根据燕尾定理， : : 2 : 1A C N A B N C D
12、B D ； 同理 : : 1 : 1C B N C A N B M A M 设 AMN 面积为 1 份，则 MNB 的面积也是 1 份，所以 ANB 的面积是 1 1 2 份，而 ACN 的面积就是 2 2 4 份， CBN 也是 4 份，这样 ABC 的面积为 4 4 1 1 10 份，所以 AMN 的面积为 3 10 1 0.3 【巩固】 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， 2EC DE ， F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少page 5 of 17 平方厘米 ? x yyxAB CDEFGGF EDCBA3 3GF EDCBA213【解析】 设 1DEFS 份，则根据
13、燕尾定理其他面积如图所示 551 2 1 2B C DSS阴 影平方厘米 . 【例 2】 如图所示，在四边形 ABCD 中， 3AB BE ， 3AD AF ，四边形 AEOF 的面积是 12 ，那么平行四边形 BODC 的面积为 _ OFE DCBA684621 OFE DCBA【解析】 连接 ,AOBD ,根据燕尾定理 : : 1 : 2A B O B D OS S A F F D , : : 2 : 1A O B O DS S A E B E ,设1BEOS ,则其他图形面积，如图所标，所以 2 2 1 2 2 4B O D C A E O FSS . 【例 3】 ABCD 是边长为 1
14、2厘米的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 边的中点， AF 与 CE 交于 G ，则四边形AGCD 的面积是 _平方厘米 GFED CBAGFED CBA【解析】 连接 AC 、 GB ，设 1A GCS 份，根据燕尾定理得 1AGBS 份， 1BGCS 份，则 1 1 1 2 6S 正 方 形 （ ）份， 3 1 4ADCGS 份，所以 221 2 6 4 9 6 ( c m )A D C GS 【例 4】 如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是 _平方厘米 HGFEDCBAHGFEDCBA【
15、解析】 连接 BH ,根据沙漏模型得 : 1 : 2BG GD ,设 1BHCS 份，根据燕尾定理 2CHDS 份， 2BHDS 份，因此 1 2 2 ) 2 1 0S 正 方 形 （份， 1 2 72 3 6BFH GS ，所以 71 2 0 1 0 1 46B F H GS (平方厘米 ). 【例 5】 如图所示，在 ABC 中， : 3 :1BE EC ， D 是 AE 的中点，那么 :AF FC page 6 of 17 FEDCBAFEDCBA【解析】 连接 CD 由于 : 1 : 1A B D B E DSS ， : 3 : 4B E D B C DSS ， 所以 : 3 : 4A
16、 B D B C DSS ， 根据燕尾定理， : : 3 : 4A B D B C DA F F C S S 【巩固】 在 ABC 中， : 3 : 2BD DC ， : 3 :1AE EC ，求 :OB OE ？ AB CDEOAB CDEO【解析】 连接 OC 因为 : 3 : 2BD DC ，根据燕尾定理， : : 3 : 2A O B A O CS S B D B C ，即 32AOB AOCSS； 又 : 3 :1AE EC ，所以 43AOC AOESS 则 3 3 4 22 2 3A O B A O C A O E A O ES S S S ， 所以 : : 2 : 1A O B
17、 A O EO B O E S S 【巩固】 在 ABC 中， : 2 :1BD DC ， : 1: 3AE EC ，求 :OB OE ？ AB CDEO【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比 而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC 连接 OC AB CDEO因为 : 2 :1BD DC ，根据燕尾定理， : : 2 : 1A O B A O CS S B D B C ，即 2AOB AOCSS； 又 : 1: 3
18、AE EC ，所以 4AOC AOESS 则 2 2 4 8A O B A O C A O E A O ES S S S ， 所以 : : 8 : 1A O B A O EO B O E S S 【例 6】 （ 2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形 ABCD 是矩形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 上的点，且page 7 of 17 13AE AB ， 14CF BC ， AF 与 CE 相交于 G ，若矩形 ABCD 的面积为 120 ，则 AEG 与 CGF 的面积之和为 AB CDEFGHAB CDEFGAB CDEFG【解析】 (法 1)如图， 过 F 做 CE 的平行线
19、交 AB 于 H ，则 : : 1 : 3E H H B C F F B， 所以 1 22AE EB EH， : : 2A G G F A E E H，即 2AG GF ， 所以 1 2 2 3 1 103 3 9 4 2A E G A B F A B C DS S S 且 2 2 3 13 3 4 2E G H F E C E C ，故 CG GE ， 则 1152C G F A E GSS 所以两三角形面积之和为 10 5 15 (法 2)如上右图，连接 AC 、 BG 根据燕尾定理， : : 3 : 1A B G A C GS S B F C F ， : : 2 : 1B C G A C
20、 GS S B E A E ， 而 1 602A B C A B C DSS ， 所以 33 2 1ABGS ， 1 6 0 3 02ABCS ， 23 2 1BCGS ， 1 6 0 2 03ABCS ， 则 1 103A E G A B GSS， 1 54C F G B C GSS， 所以两个三角形的面积之和为 15 【例 7】 如右图，三角 形 ABC 中， : 4 : 9BD DC ， : 4 : 3CE EA ，求 :AF FB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 : : 4 : 9 1 2 : 2 7A O B A O CS S B D C D : : 3 : 4 1 2
21、: 1 6A O B B O CS S A E C E （都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 : 2 7 : 1 6 :A O C B O CS S A F F B 【点评】 本题关键是把 AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中， : 3 : 4BD DC ， : 5 : 6AE CE ，求 :AF FB . OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 : : 3 : 4 1 5 : 2 0A O B A O CS S B D C D :
22、: 5 : 6 1 5 : 1 8A O B B O CS S A E C E page 8 of 17 （都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 : 2 0 : 1 8 1 0 : 9 :A O C B O CS S A F F B 【巩固】如图， : 2 : 3BD DC , : 5 : 3AE CE ,则 :AF BF GF ED CBA【解析】 根据燕尾定理有 : 2 : 3 1 0 : 1 5A B G A C GSS , : 5 : 3 1 0 : 6A B G B C GSS ,所以: 1 5 : 6 5 : 2 :A C G B C GS S A F B F 【巩
23、固】 如右图，三角形 ABC 中， : 2 : 3BD DC ， : 5 : 4EA CE ，求 :AF FB . OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 : : 2 : 3 1 0 : 1 5A O B A O CS S B D C D : : 5 : 4 1 0 : 8A O B B O CS S A E C E （都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 : 1 5 : 8 :A O C B O CS S A F F B 【点评】 本题关键是把 AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的
24、巨大力量！ 【例 8】 (2008 年“学而思杯”六年级数学 试题 )如右图，三角形 ABC 中， : : : 3 : 2A F F B B D D C C E A E ，且三角形 ABC 的面积是 1 ，则三角形 ABE 的面积为 _，三角形 AGE 的面积为 _，三角形 GHI 的面积为 _ IHGFED CBAIHGFED CBA【分析】 连接 AH 、 BI 、 CG 由于 : 3 : 2CE AE ，所以 25AE AC，故 2255A B E A B CSS； 根据燕尾定理， : : 2 : 3A C G A B GS S C D B D ， : : 3 : 2B C G A B
25、GS S C E E A ，所以 : : 4 : 6 : 9A C G A B G B C GS S S ，则 419ACGS ， 919BCGS ； 那么 2 2 4 85 5 1 9 9 5A G E A G CSS ； 同样分析可得 919ACHS ，则 : : 4 : 9A C G A C HE G E H S S， : : 4 : 1 9A C G A C BE G E B S S，所以: : 4 : 5 : 1 0E G G H H B ，同样分析可得 : : 1 0 : 5 : 4A G G I ID ， 所以 5 5 2 11 0 1 0 5 5B IE B A ESS ， 5
26、 5 1 11 9 1 9 5 1 9G H I B IESS page 9 of 17 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中， : : : 3 : 2A F F B B D D C C E A E ，且三角形 GHI 的面积是 1 ，求三角形ABC 的面积 IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG，AGCS 6份 根据燕尾定理， : : 3 : 2 6 : 4A G C B G CS S A F F B ， : : 3 : 2 9 : 6A B G A G CS S B D D C 得 4BGCS (份 )， 9ABGS (份 )， 则 19ABCS (份 )，因此 61
27、9AGCABCSS , 同理连接 AI、 CH 得 619ABHABCSS , 619BICABCSS , 所以 1 9 6 6 6 11 9 1 9GHIABCSS 三角形 GHI的面积是 1，所以 三角形 ABC 的面积是 19 【巩固】 (2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级 )如图， ABC 中 2BD DA ， 2CE EB ，2AF FC ，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍 AB CDEFGH IIHGFEDCBA【分析】 如图，连接 AI 根据燕尾定理， : : 2 : 1B C I A C IS S B D A D ， : : 1 : 2B C I A
28、B IS S C F A F ， 所以， : : 1 : 2 : 4A C I B C I A B ISSS ， 那么， 221 2 4 7B C I A B C A B CS S S 同理可知 ACG 和 ABH 的面积也都等于 ABC 面积的 27，所以阴影三角形的面积等于 ABC 面积的 211377 ，所以 ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍 【巩固】 如图在 ABC 中， 12D C E A F BD B E C F A ,求 GHIABC 的 面 积 的 面 积的值 IHGFED CBAIHGFED CBApage 10 of 17 【解析】 连接 BG,设BGCS 1 份，
29、根据燕尾定理 : : 2 : 1A G C B G CS S A F F B , : : 2 : 1A B G A G CS S B D D C ,得 2AGCS (份 )， 4ABGS (份 ),则 7ABCS (份 )，因此 27AGCABCSS ,同理连接 AI、 CH 得27ABHABCSS , 27BICABCSS , 所以 7 2 2 2 177GHIABCSS 【点评】 如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的， 这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即 再 重复一次解题思路， 因此我们 有对称法 作 辅助线 . 【
30、巩固】 如图在 ABC 中， 13D C E A F BD B E C F A ,求 GHIABC 的 面 积 的 面 积的值 IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG,设BGCS 1 份，根据燕尾定理 : : 3 : 1A G C B G CS S A F F B , : : 3 : 1A B G A G CS S B D D C ,得 3AGCS (份 )， 9ABGS (份 ),则 13ABCS (份 )，因此 313AGCABCSS ,同理连接 AI、 CH 得13ABHABCSS , 313BICABCSS , 所以 1 3 3 3 3 41 3 1 3GHIAB
31、CSS 【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : : : 4 : 3A F F B B D D C C E A E ，且三角形 ABC 的面积是 74 ，求角形 GHI 的面积 IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG，AGCS 12 份 根据燕尾定理， : : 4 : 3 1 2 : 9A G C B G CS S A F F B ， : : 4 : 3 1 6 : 1 2A B G A G CS S B D D C 得 9BGCS (份 )， 16ABGS (份 )， 则 9 1 2 1 6 3 7ABCS (份 )，因此 1237AGCABCSS , 同理连接 AI、
32、 CH 得 1237ABHABCSS , 1237BICABCSS , 所以 3 7 1 2 1 2 1 2 13 7 3 7GHIABCSS 三角形 ABC 的面积是 74 ,所以 三角形 GHI 的面积是 174 237page 11 of 17 【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是 3 ， 7 ， 7 ，则阴影四边形的面积是多少？ 773773 FEDCBAx+ 3x773 FEDCBA【解析】 方法一： 遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算 . 再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形
33、设三角形为 ABC ， BE 和 CD 交于 F ，则 BF FE ，再连结 DE 所以三角形 DEF 的面积为 3.设三角形 ADE 的面积为 x ， 则 : 3 3 : 1 0 : 1 0x A D D B x ，所以 15x ，四边形的面积为 18 方法二：设ADFSx，根据燕尾定理 :A B F B F C A F E E F CS S S S ,得到 3AEFSx，再根据向右下飞的燕子，有 ( 3 7 ) : 7 : 3xx ，解得 7.5x 四边形的面积为 7.5 7.5 3 18 【巩固】 右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面
34、积是 4321【解析】 方法一： 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解 .我们发现右图三角形中存在一个比例关系： 2 : 1 3 : 4S 阴 影 ，解得 2S 阴 影 . 方法二： 回顾下燕尾定理， 有 2 : 4 1 : 3S 阴 影（ ）， 解得 2S 阴 影. 【例 10】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少 ? 35304084OFED CBA【解析】 设BOFSx， 由题意知 : 4 : 3BD DC 根据燕尾定理
35、 ,得 : : 4 : 3A B O A C O B D O C D OS S S S ,所以 33( 8 4 ) 6 344A C OS x x ， 再根据 :A B O B C O A O E C O ES S S S ，列方程 3( 8 4 ) : ( 4 0 3 0 ) ( 6 3 3 5 ) : 3 54xx 解得 56x : 3 5 ( 5 6 8 4 ) : ( 4 0 3 0 )A O ES ,所以 70AOES 所以三角形 ABC 的面积是 8 4 4 0 3 0 3 5 5 6 7 0 3 1 5 【例 11】 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米， D 为 AB 中点
36、， E 为 AC 中点， F 为 BC 中点，求阴影部分的面积 page 12 of 17 FEDCBANMFEDCBA【解析】 令 BE 与 CD 的交点为 M， CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM， BN 在 ABC 中， 根据燕尾定理， : : 1 : 1A B M B C MS S A E C E , : : 1 : 1A M B C MS S A D B D , 所以 13A B M A C M B C N A B CS S S S 由于 1122A E M A M C A B MS S S S，所以 : 2 :1BM ME 在 EBC 中， 根据燕尾定理， : : 1 : 1
37、B E N C E NS S B F C F : : 1 : 2C E N C B NS S M E M B 设 1CENS (份 )， 则 1BENS (份 )， 2BCNS (份 )， 4BCES (份 )， 所以 1124B C N B C E A B CS S S , 1148B N E B C E A B CS S S ， 因为 : 2 :1BM ME ,F 为 BC 中点 , 所以 2 2 1 13 3 8 1 2B M N B N E A B C A B CS S S S , 1 1 1 12 2 4 8B F N B N C A B CS S S , 所以 1 1 5 5 1
38、5 3 . 1 2 51 2 8 2 4 2 4A B C A B CS S S 阴 影(平方厘米 ) 【例 12】 如右图， ABC 中， G 是 AC 的中点， D 、 E 、 F 是 BC 边上的四等分点， AD 与 BG 交于 M ，AF 与 BG 交于 N ，已知 ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米 ， 则 ABC 的面积是多少平方厘米？ NMGAB CD E FNMGAB CD E F【解析】 连接 CM 、 CN 根据燕尾定理， : : 1 : 1A B M C B MS S A G G C ， : : 1 : 3A B M A C MS S B D C
39、 D ，所以 15ABM ABCSS ； 再根据燕尾定理， : : 1 : 1A B N C B NS S A G G C ，所以 : : 4 : 3A B N F B N C B N F B NS S S S ，所以: 4 : 3AN NF ，那么 1 4 22 4 3 7A N GAFCSS ，所以 2 5 1 517 7 4 2 8F C G N A F C A B C A B CS S S S 根据题意，有 15 7 . 25 2 8A B C A B CSS ，可得 336ABCS (平方厘 米 ) 【巩固】 (2007 年四中分班考试题 )如图， ABC 中，点 D 是边 AC 的
40、中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，若 ABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是 _ FAB CDEMNFAB CDEMNpage 13 of 17 【解析】 由于 点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，如果能求出 BN 、 NM 、 MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形 CDMF 的面积 连接 CM 、 CN 根据燕尾定理， : : 2 : 1A B M A C MS S B F C F ，而 2ACM ADMSS，所以 24A B M A C M A D MS S S ，那么 4BM DM ，即 45
41、BM BD 那么 4 2 1 45 3 2 1 5B M F B C DB M B FSSB D B C ， 1 4 72 1 5 3 0C D M FS 四 边 形 另解：得出 24A B M A C M A D MS S S 后，可得 1 1 1 15 5 2 1 0A D M A B DSS ， 则 1 1 73 1 0 3 0A C F A D MC D M FS S S 四 边 形 【例 13】 如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， BD DE EC， CF FG GA，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少 ? GFED CBANMQPGFED CBA
42、【解析】 设 BG 与 AD 交于点 P， BG 与 AE 交于点 Q， BF 与 AD 交于点 M， BF 与 AE 交于点 N 连接 CP，CQ， CM， CN 根据燕尾定理， : : 1 : 2A B P C B PS S A G G C ， : : 1 : 2A B P A C PS S B D C D ，设 1ABPS (份 )，则1 2 2 5ABCS (份 )，所以 15ABPS 同理可得， 27ABQS , 12ABNS ,而 13ABGS ，所以 2 1 37 5 3 5APQS ， 1 2 13 7 2 1A Q GS 同理， 335BPMS 121BDMS ,所以 1 2
43、 3 92 7 3 5 7 0P Q M NS 四 边 形，1 3 9 53 3 5 7 0 4 2M N E DS 四 边 形 , 1 1 5 13 2 1 4 2 6N F C ES 四 边 形 , 1 1 1 53 2 1 6 4 2G F N QS 四 边 形 【巩固】 如图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么 四边形 JKIH 的面积是多少？ KJIHA BCDEFGKJIHA BCDEFG【解析】 连接 CK 、 CI 、 CJ 根据燕尾定理， : : 1 : 2A C K A B KS S C D B D
44、， : : 1 : 2A B K C B KS S A G C G ， 所以 : : 1 : 2 : 4A C K A B K C B KS S S ，那么 111 2 4 7A C KS ， 113 2 1A G K A C KSS 类似 分析可得 215AGIS page 14 of 17 又 : : 2 : 1A B J C B JS S A F C F ， : : 2 : 1A B J A C JS S B D C D ，可得 14ACJS 那么， 1 1 1 74 2 1 8 4CGKJS 根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 1784，那么 四边形 JKIH 周围的图形的面积之和为1 7 2 1 6 122 8 4 1 5 3 7 0C G K J A G I A B ES S S
