1、 page 1 of 30 模型 一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积 底 高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大 (小 )，三角形面积也就越大 (小 )； 如果三角形的高不变，底越大 (小 )，三角形面积也就越大 (小 )； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要 发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 13，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同
2、时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它 们的高之比； 如图 12:S S a bbaS2S1DCBA夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCDSS ； 反之，如果ACD BCDSS ，则可知直线 AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )； 三角形面积等于与它等底等高的平 行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两
3、个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 三角形等高模型与鸟头模型 page 2 of 30 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成 ： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形 ；6 个面积相等的三角形 。 【解析】 如下 图， D、 E 是 BC 的三等分点， F、 G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： CEDBAFCDBAGD CBA 如下图，答案不唯一，以下仅供参考 ： 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、 C 和 D 在同一条直线上 。 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？
4、求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、 BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A点向 BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等 。 于是：三角形 ABD 的面积 12高 26 高 三角形 ABC 的面积 12 4 （ ） 高 28 高 三角形 ADC 的面积 4高 22 高 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 43倍； 三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍 。 【例 3】 如 右 图， ABFE 和 CDEF 都是 矩形， AB 的长是 4 厘米， B
5、C 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米 。 A BCDE F【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即 4 3 2 6 (平方厘米 )。 【巩固】 (2009 年四中小升初入学测试题 )如图 所示 ，平行四边形的面积是 50 平方厘米， 则 阴影部分的面积是 平方厘米 。 CDBApage 3 of 30 【解析】 根据面积比例模 型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25 平方厘米 。 【巩固】 如下图，长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 AB
6、CD 的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是 。 F ED CBA【解析】 根据面积 比例模型可知 阴影 部分 面积 等于 长方形面积 的 一半 ，为 1 2 0 1 2 1 2 02 。 【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E 、 F 、 G 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积 。 HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 。 连接 BH 、 CH 。 AE EB ， AEH BEHSS 同理，BFH CFHSS ， S =SCGH DGH， 11 5 6 2
7、822A B C DSS 阴 影 长 方 形(平方厘米 ) 【巩固】 图中的 E 、 F 、 G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12 ，那么阴影部分的面积是 。 EDGCFBA654 321HABF CGDE【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3 个边就都被分成了相等的三段 。 把 H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9 个形状各不相同的三角形 。 这 9 个三角形的底边分别是在正方形的 3 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一 。 阴影部分被分割成了 3 个三角形，右边三角形的面积和第 1 第 2 个三角形相等：中间三角
8、形的面积和第 3 第 4 个三角形相等；左边三角形的面积和第 5 个第 6 个三角形相等 。 因此这 3 个阴影三角形的面积分别是 ABH 、 BCH 和 CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一 。 正方形的面积是 144 ，阴影部分的面积就是 48 。 page 4 of 30 【例 5】 长方形 ABCD 的面积为 36 2cm ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一 点，问阴影部分面积是多少 ？ HGFEDCBA【解析】 解法一 ：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图： HGFEDCBA可得： 12EHB AHBSS、 12
9、FHB CHBSS、 12DHG DHCSS，而 36A B C D A H B C H B C H DS S S S 即 11( ) 3 6 1 822E H B B H F D H G A H B C H B C H DS S S S S S ； 而E H B B H F D H G E B FS S S S S 阴 影， 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 6 4 . 52 2 2 2 8EBFS B E B F A B B C 。 所以阴影部分的面积是： 1 8 1 8 4 . 5 1 3 . 5EBFSS 阴 影解法二 ：特殊点法 。 找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，
10、那么图形就可变成右图： GAB CDEF(H )这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有： 1 1 1 1 1 1 13 6 3 6 3 6 3 6 1 3 . 52 2 2 2 2 2 2A B C D A E D B E F C F DS S S S S 阴 影。 【例 6】 长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一 点，问阴影部分面积是多少 ？ HGFEDCBApage 5 of 30 ( H )GFEDCBAHGFEDCBA【解析】 （ 法 1）特殊点法 。 由于 H 为 AD 边上任意一点， 找 H 的特殊点，把
11、 H 点与 A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD面 积的 18和 14，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 1 38 4 8，为 336 13.58。 （法 2）寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如右上图 。 可得： 12EHB AHBSS、 12FHB CHBSS、 12DHG DHCSS，而 36A B C D A H B C H B C H DS S S S ， 即 11( ) 3 6 1 822E H B B H F D H G A H B C H B C H DS S S S S
12、 S ； 而E H B B H F D H G E B FS S S S S 阴 影， 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 6 4 . 52 2 2 2 8EBFS B E B F A B B C 。 所以阴影部分的面积是： 1 8 1 8 4 . 5 1 3 . 5EBFSS 阴 影。 【巩固】 在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接 ,求 阴影 部分面积 。 PDCBAAB CD(P)PDCBA【解析】 （法 1）特殊点法 。 由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影
13、部分变为如上中图所示，图中 的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 14和 16，所以阴影部分的面积为2 116 ( ) 1 546 平方厘米 。 （法 2）连接 PA 、 PC 。 由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于 正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 16，所以阴影部分的面积为2 116 ( ) 1 546 平方厘米 。 【例 7】 如右图， E 在 AD 上， AD 垂直 BC， 12AD 厘米， 3DE 厘米 求三角形 ABC 的面积是三角形 EB
14、C面积的几倍？ ED CBA【解析】 因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时， AD 是三角形 ABC 的高， EDpage 6 of 30 是三角形 EBC 的高， 于是：三角形 ABC 的面积 1 2 2 6B C B C 三角形 EBC 的面积 3 2 1 .5B C B C 所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍 【例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC，连结 BE、 AE、 CF、 BF 那么与 BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？ FDECBA【解析】 AEC、 AFC、 ABF 【巩固】
15、 如图，在 ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连结 BE、 CE，那么与 ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ ED CBA【解析】 3 个， AEC、 BED、 DEC 【巩固】 如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ ODCBA【解析】 ABD 与 ACD， ABC 与 DBC， ABO 与 DCO 【例 9】 (第四届 ” 迎春杯 ”试题 )如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 3AE AB ， 2BD BC ，三角形 BDE 的面积是多少？ A B ECDDCEBA【解析】 连接 CE ， 3AE AB ， 2BE A
16、B ， 2BCE ACBSS又 2BD BC ， 2 4 4B D E B C E A B CS S S 【例 10】 (2008 年四中考题 )如右图， AD DB ， AE EF FC，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， ABC的面积是 平方厘米 FEDCBAFEDCBA【解析】 连接 CD 根据题意可知， DEF 的面积为 DAC 面积的 13， DAC 的面积为 ABC 面积的 12，所page 7 of 30 以 DEF 的面积为 ABC 面积的 1 1 12 3 6 而 DEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ABC 的面积为15 306 (平方厘米 ) 【巩固】 图中三角形 ABC
17、 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长 是 AE 长的 3 倍 ， EF 的长是 BF 长的 3 倍那么三角形 AEF 的面积是多少平方 厘米 ？ FEDCBA【解析】 ABD ， ABC 等高，所以面积的比为底的比，有 12ABDABCS BDS BC, 所以ABDS= 111 8 0 9 022ABCS (平方厘米 )同理有 1 9 0 3 03A B E A B DAESSAD (平方厘米 )，34A F E A B EFESSBE 30 22.5 (平方厘米 )即三角形 AEF 的面积是 22.5 平方厘米 【巩固】 如图，在长方形 ABCD 中， Y 是
18、BD 的中点， Z 是 DY 的中点，如果 24AB 厘米， 8BC 厘米，求三角形 ZCY 的面积 A BCDZ Y【解析】 Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点， 1122ZY DB ， 14ZCY DCBSS， 又 ABCD 是长方形， 1 1 1 244 4 2Z C Y D C B A B C DS S S (平方厘米 ) 【巩固】 如图，三角形 ABC 的面积是 24， D、 E 和 F 分别是 BC、 AC 和 AD 的中点 求 三角形 DEF 的面积 F ED CBA【解析】 三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半 24 2 12 ， 三角形 ADE 又是三
19、角形 ADC 面积的一半 12 2 6 三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积 6 2 3 【巩固】 如图，在三角形 ABC 中， 8BC 厘米，高是 6 厘米， E、 F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？ FECBA【解析】 F 是 AC 的中点 2ABC ABFSSpage 8 of 30 同理 2ABF BEFSS 4 8 6 2 4 6B E F A B CSS (平方厘米 ) 【例 11】 如图 ABCD 是一个长方形，点 E、 F 和 G 分别是它们所在边的中点 如果长方形的面积是 36个平方单位，求三
20、角形 EFG 的面积是多少个平方单位 FEGD CBA FEGD CBA 【解析】 如右图分割后可得， 2 4 3 6 4 9EFG D E F C A B C DS S S 矩 形 矩 形（平方单位） 【巩固】 (97 迎春杯决赛 )如图，长方形 ABCD 的面积是 1 ， M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且 2AN BN .那么，阴影部分的面积是多少？ ANBM DCCDMBNA【解析】 连接 BM ，因为 M 是中点所以 ABM 的面积为 14又因为 2AN BN ，所以 BDC 的面积为1 1 14 3 12 ，又因为 BDC 面积为 12 ，所以阴影部分的面积为： 1
21、1 51 12 2 12 . 【例 12】 如图，大 长 方形由面积是 12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分 的 面积 48 cm 224 cm 236 cm 212 cm 2MNDCBA12 cm 236 cm 224 cm 248 cm 2【解析】 如图，将大 长 方形的长的长度设为 1，则 1 2 11 2 3 6 4AB ， 2 4 12 4 4 8 3CD ， 所以 1 1 13 4 1 2MN ，阴影部分面积为211( 1 2 2 4 3 6 4 8 ) 5 ( c m )2 1 2 【例 13】 如图，三角形 ABC
22、 中， 2DC BD ， 3CE AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形 ABC的面积是多少？ ED CBA【解析】 3CE AE ， 4AC AE ， 4ADC ADESS； 又 2DC BD ， 1.5BC DC ， 1 . 5 6 1 2 0A B C A D C A D ES S S (平方厘米 ) page 9 of 30 【例 14】 (2009 年第七届 ” 希望杯 ” 二试六年级 )如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面积分别是 89， 28， 26 那么三角形 DBE 的面积是 EDCBA【解析】 根据题意可
23、知， 8 9 2 8 1 1 7A D C A D E D C ES S S ， 所以 : : 2 6 : 1 1 7 2 : 9B D C A D CB D A D S S ， 那么 : : 2 : 9D B E A D ES S B D A D ， 故 2 2 2 78 9 ( 9 0 1 ) 2 0 1 99 9 9 9D B ES 【例 15】 (第四届小数报数学竞赛 )如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分三角形BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米求梯形 ABCD 的面积 DCB
24、AEhAB CD【解析】 如右图，作 AB的平行线 DE三角形 BDE的面积与三角形 ABD 的面积相等，三角形 DEC 的面积就是三角形 BDC与三角形 ABD 的面积差 (10 平方分米 )从而，可求出梯形高 (三角形 DEC 的高 )是：2 10 5 4 (分米 )，梯形面积是： 15 4 2 30 (平方分米 ) 【例 16】 图中 AOB 的面积为 215cm ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积 OCBDA【解析】 在 ABD 中，因为 215cmAOBS ，且 3OB OD ，所以有 23 5 c mA O D A O BSS 因为 ABD 和 AC
25、D 等底等高，所以有ABD ACDSS 从而 215cmOCDS ，在 BCD 中， 23 4 5 c mB O C O C DSS，所以梯形面积： 21 5 5 1 5 4 5 8 0 c m （ ） 【例 17】 如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 DCBAAAB CD【解析】 本题有两点要求， 一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A移到 CB的延长线上的 A处， ABD 与 ABD 面积相等，从而 ADC面积与原四边形 ABCD 面积也相等这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形 ADC问题是 A
26、位置的选择是依据三角形等积 变形原则过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB的延长线交于 A点 具体做法： 连接 BD； page 10 of 30 过 A作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A 连接 AD，则 ACD与四边形 ABCD 等积 【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是 221cm 问：长方形的面积是多少平方厘米？ 红绿黄红【解析】 黄色三角形与 绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积
27、占长方形面积的 15% ，所以黄色三角形面积占长方形面积的 5 0 % 1 5 % 3 5 % 已知黄色三角形面积是 221cm ，所以长方形面积等于 21 35% 60（ 2cm ） 【例 19】 O 是 长 方形 ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是 25cm ， OAB 的面积 是 22cm ，求 OBD 的 面积是多少？ PODCBA【解析】 由于 ABCD 是长方形，所以 12A O D B O C A B C DS S S，而 12ABD ABCDSS ，所以A O D B O C A B DS S S ，则B O C O A B O B DS S S ，所以 25 2 3 c
28、 mO B D B O C O A BS S S 【例 20】 如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若 PBD 的面积为 8 平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积 大多少平方分米 ？ AB CDEFGHPAB CDEFGHP【解析】 根据差不变原理，要求 平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平 行四边形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差 如右上图，连接 CP 、 AP 由于 12B C P A D P A B P B D P A D P A B C DS S S S S
29、 S ，所以B C P A B P B D PS S S 而 12BCP BCFESS ， 12ABP ABHGSS ，所 以 2 2 1 6B C F E A B H G B C P A B P B D PS S S S S (平方分米 ) 【例 21】 如右图，正方形 ABCD 的面积是 20 ，正三角形 BPC 的面积是 15 ，求阴影 BPD 的面积 page 11 of 30 PDCBAOAB CDP【解析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO 如下图 所示， 可得 /PO DC ，所以 DPO 与 CPO 面积相等 (同底等高 )，所以有： B P O C P O B
30、P O P D O B P DS S S S S ， 因为 11 2 0 544B O C A B C DSS ， 所以 1 5 5 1 0BPDS 【巩固】 如右图，正方形 ABCD 的面积是 12，正三角形 BPC 的面积是 5 ，求阴影 BPD 的面积 PDCBAOAB CDP【解析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO 如右上 图 所示， 可得 /PO DC ，所以 DPO 与 CPO 面积相等 (同底等高 )，所以有 : B P O C P O B P O P D O B P DS S S S S ， 因为 1 34B O C A B C DSS ，所以 5 3 2BPD
31、S 【例 22】 在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰 AOB 的面积为 16，等腰 DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影 AOC 的面积是多少？ OD CBA【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去 DOC 的面积 (长方形面积的 18% )，再减去 AOD 的面积，即可求出 AOC 的面积 根据模型可知 12C O D A O B A B C DS S S，所以 11 6 1 8 % 5 02A B C DS （ ）， 又 AOD 与 BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 AOD 的面积等于长方形面积的 14， 所以 1 2 5 % 1 8 %
32、2A O C A C D A O D C O D A B C D A B C D A B C DS S S S S S S 2 5 1 2.5 9 3.5 【例 23】 （ 2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形 ABCD 中， E 、 F分别是其两腰 AB 、 CD 的中点， G 是 EF 上的任意一点，已知 ADG 的面积为 215cm ，而 BCG 的面积恰好是梯形 ABCD 面积的 720，则梯形 ABCD 的面积是 2cm page 12 of 30 AB CDE FGAB CDE FG【解析】 如果可以求出 ABG 与 CDG 的面积之和与梯形 AB
33、CD 面积的比，那么就可以知道 ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形 ABCD 的面积 如图，连接 CE 、 DE 则AEG DEGSS，BEG CEGSS，于是A B G C D G C D ES S S 要求 CDE 与梯形 ABCD 的面积之比，可以把梯形 ABCD 绕 F 点旋转 180 ，变成一个平行四边形 如下图所示： 从中容易看出 CDE 的面积为梯形 ABCD 的面积的一半 (也可以根据 12BEC ABCSS，12A E D A F D A D CS S S ， 1 1 12 2 2B E C A E D A B C A D C A B C DS S
34、S S S 得来 ) 那么，根据题意可知 ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的 1 7 312 20 20 ，所以梯形 ABCD 的面积是231 5 1 0 0 c m20 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的 中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论 本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设 G 与 E 重合，则 CDE的面积占梯形面积的一半，那么 ADG 与 BCG 合起来占一半 【例 24】 如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 GFED CBAGFED CBA【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等
35、高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接 BE (我们通过 ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起 ) 在平行四边形 ABCD 中， 12ABES A B A B 边上的高， 12ABE ABCDSS 同理， 12ABE AEGFSS，平行四边形 ABCD 与 AEGF 面积相等 【巩固】 如 图所示，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ page 13 of 30 A BG CEFDA BG CEFD【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
36、(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接 AG (我们通过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起 ) 在正方形 ABCD 中，G 12ABS A B A B 边上的高， 12ABG ABCDSS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ) 同理， 12ABG EFGBSS 正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等 长方形的宽 8 8 10 6.4 (厘米 ) 【例 25】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6， AE 1.5， CF 2 长方形 EFGH 的面积为 HGFEDCBAABCDEFGH【解析】 连接
37、 DE， DF， 则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍 三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积 ， 6 6 1 . 5 6 2 2 6 2 4 . 5 4 2 1 6 . 5D E FS ,所以 长方形 EFGH 面积为 33 【例 26】 如图， ABCD 为平行四边形， EF 平行 AC，如果 ADE 的面 积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积 A E BFCDD CFBEA 【解析】 连结 AF、 CE ADE ACESS；CDF ACFSS； 又 AC与 EF 平行，ACE ACFSS 4AD E C D FSS(平方厘米 ) 【巩固】 如右
38、图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 1ADES ，求 BEF 的面积 page 14 of 30 ABCDEFABCDEF【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等 (或 夹在一组平行线之间的三角形面积相等 )和等量代换的思想 连接 AC AB CD ，ADE ACESS 同理 AD BC ，ACF ABFSS 又A C F A C E A E FS S S ，A B F B E F A E FS S S ， ACE BEFSS ，即 1BEF AD ESS 【例 27】 图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4
39、厘米，则图中阴影部分三角形的面积是 多少 平方厘米 【解析】 4 4 2 8 【例 28】 如图，有三个正方形的顶点 D 、 G 、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为 10厘米，求阴影部分的面积 KOQPHG FED CBAKOQPHG FED CBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化 如右图所示，连接 FK 、 GE 、 BD ，则 / / / /BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGESS，KGE FGESS，所以阴影部
40、分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为 210 100 平方厘米 【巩固】 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积 G 4ABCDEFG 4ABCDEF【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形 的边长没关系连 接AD (见右上图 )，可以看出，三角形 ABD 与三角形 ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等因为三角形 AGD 是三角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不 变性质，剩下的两个部分，即三角形 ABG 与三角形 GCD 面积仍然相等根
41、据等量代换，求三角形 ABC 的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于 4 4 2 8 【巩固】 (2008 年西城实验考题 )如图， ABCD 与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘米，图中阴影部分的面积为 page 15 of 30 A BCDEFGHA BCDEFGH【解析】 如图，连接 AF ，比较 ABF 与 ADF ，由于 AB AD ， FG FE ，即 ABF 与 ADF 的底与高分别相等，所以 ABF 与 ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与 ABH 的面积相等， 为 6 平方厘米 【巩固】 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD
42、边长为 10 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ DG FHECBAAB C EHFGD【解析】 方法一： 三角形 BEF 的面积 2BE EF ， 梯形 EFDC 的面积 22E F C D C E B E E F （ ） 三角形 BEF 的面积， 而四边形 CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形 DHF 的面积 三角形 BCH 的面积， 进而可得，阴影面积 三角形 BDF 的面积 三角形 BCD 的面积 10 10 2 50 (平方厘米 ) 方法二： 连接 CF，那么 CF 平行 BD ， 所以，阴影面积 三角形 BDF 的面积 三角形 BCD 的面积 50 (平方厘米 ) 【巩固】
43、(人大附中考题 )已知正方形 ABCD 边长为 10，正方形 BEFG 边长为 6，求阴影部分的面积 J IHGAB CDEFJ IHGB CDEF【解析】 如果注意到 DF 为一个正方形的对角线 (或者说一个等腰直角三角形的斜边 )，那么容易想到 DF 与CI 是平行的 所以可以连接 CI 、 CF ，如上图 由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积 与 DFC 的面积相等 而 DFC 的面积为 110 4 202 ，所以 DFI 的面积也为 20 【例 29】 (2008 年 ” 华杯赛 ” 决赛 )右 图中， ABCD 和 CGEF 是两个正方形， AG 和 CF 相交于 H ，
44、已知 CH等于 CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积 HGF EDCBAHGF EDCBA【解析】 连接 AC 、 GF ， 由于 AC 与 GF 平行， 可知四边形 ACGF 构成一个梯形 page 16 of 30 由于 HCG 面积为 6 平方厘米，且 CH 等于 CF 的三分之一，所以 CH 等于 FH 的 12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知 FHG 的面积为 12 平方厘米， AHF 的面积为 6 平方厘米， AHC 的面积为 3 平方厘米 那么正方形 CGEF 的面积为 6 1 2 2 3 6 平方厘米，所以其边长为 6
45、 厘米 又 AFC 的面积为 6 3 9 平方厘米，所以 9 2 6 3AD (厘米 )，即正方形 ABCD 的边长为 3 厘米 那么，五边形 ABGEF 的面积为：2 13 6 9 3 4 9 .52 (平方厘米 ) 【例 30】 (第八届小 数报数学竞赛决 赛 试题 )如下图， E 、 F 分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的点， DF FC ，并且甲、乙、丙 3 个三角形面积相等已知梯形 ABCD 的面积是 32 平方厘米 求图中阴影部分的面积 AB CDEF甲乙丙【解析】 因为乙、丙 两个三角形 面积相等，底 DF FC 所以 A 到 CD 的距离与 E 到 CD 的距离相等，即 AE与 CD 平行，四边形 ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积 平行四边形 ADCE 的面积的 12，所以阴影部分的面积 乙的面积 2 设甲、乙、丙的面积分别为 1 份，则阴影面积为 2 份，梯形的面积为 5 份， 从而阴影部分的面积 3 2 5 2 1 2 .8 (平方厘米 ) 【例 31】 如图，已知长方形 ADEF 的面积 16 ，三角形 A
