1、4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 1 of 17 模型三 蝴蝶模型 （ 任意四边形 模型 ） 任意四边形中的比例关系 (“ 蝴蝶定理 ” )： S 4S 3S 2S 1ODCBA1 2 4 3:S S S S或者1 3 2 4S S S S 1 2 4 3:A O O C S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 。 通过 构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 ；另一方面， 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题 )如图，某公园的外 轮廓是四边形 ABCD，被对角线 A
2、C、 BD 分成四个部分， AOB 面积为 1 平方千米， BOC 面积为 2 平方千米 ， COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是6 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得 3 1 2 1 . 5A O DS 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1 .5 7 .5 平方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 【巩固】 如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：三角形 BGC 的面积； :AG GC ？ ABCDG 321【解析】 根据蝴蝶定理， 1 2
3、 3BGCS ，那么 6BGCS ； 根据蝴蝶定理， : 1 2 : 3 6 1 : 3A G G C (？ ) 【例 2】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示 )。 如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的任意四边形、 梯形与相似模 型 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 2 of 17 面积的 13，且 2AO ， 3DO ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _倍 。 AB CDOHGAB CDO【解析】 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种 ” 不良四边形 ” ，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠
4、拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形 。 看到题目中给出条件 : 1 : 3ABD BC DSS ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法 。 又观察题目中给出的已知条 件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个 ” 不良四边形 ” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比 。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等 于底边之比，得出结果 。 请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 。 解法一： : : 1 : 3A B D B D
5、 CA O O C S S， 2 3 6OC ， : 6 : 3 2 : 1O C O D 解法二：作 AH BD 于 H ， CG BD 于 G 13ABD BCDSS， 13AH CG， 13AOD DOCSS， 13AO CO， 2 3 6OC ， : 6 : 3 2 : 1O C O D 【例 3】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面积依次是 2、4、 4 和 6。 求：求 OCF 的面积；求 GCE 的面积 。 OGFEDCBA【解析】 根据题意可知， BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ，那么 BCO 和 CDO
6、 的面积都是 16 2 8 ，所以 OCF 的面积为 8 4 4 ； 由于 BCO 的面积为 8， BOE 的面积为 6，所以 OCE 的面积为 8 6 2 ， 根据蝴蝶定理， : : 2 : 4 1 : 2C O E C O FE G F G S S ， 所以 : : 1 : 2G C E G C FS S E G F G ， 那么 1 1 221 2 3 3G C E C E FSS 【例 4】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷 。 那么最大的一个 三角形的面积是多少公顷 ？ 4-2-3 任
7、意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 3 of 17 76 76EDCBA【解析】 在 ABE ， CDE 中有 AEB CED ，所以 ABE ， CDE 的面积比为 ()AE EB : ( )CE DE 。 同理有 ADE ， BCE 的面积比为 ( ) : ( )A E D E B E E C。 所以有ABESCDES=ADESBCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积 。 即 6ABES = 7ADES ，所以有 ABE 与 ADE 的面积比为 7:6 ，ABES= 7 39
8、 2167公顷，ADES= 6 39 1867公顷 。 显然，最大的三角形的面积为 21 公顷 。 【例 5】 (2008 年清华附中入学测试题 )如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形 的面积为 。 CABDOCABD【解析】 连接 AD 、 CD 、 BC 。 则可根据格点面积公式，可以得到 ABC 的面积 为： 41 1 22 ， ACD 的面积 为： 33 1 3.52 ，ABD 的面积为： 42 1 32 所以 : : 2 : 3 . 5 4 : 7A B C A C DB O O D S S ，所以 4 4 1 234 7 1 1 1 1A B O A B DSS 【巩固
9、】 如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积 。 ABCDE【解析】 因为 : 2 : 5BD CE ，且 BD CE ，所以 : 2 : 5DA AC ， 525ABCS ， 5 1 0277D BCS 【例 6】 (2007 年人大附中考题 )如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， 2BE EC ， CF FD ，求三角形 AEG的面积 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 4 of 17 AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 EF 因为 2BE EC ， CF FD ，所以 1 1 1 1()2 3 2 1 2D E F A B C D
10、A B C DS S S 因为 12AED ABCDSS ，根据 蝴蝶 定理， 11: : 6 : 12 1 2A G G F ， 所以 6 6 1 367 7 4 1 4A G D G D F A D F A B C D A B C DS S S S S 所以 1 3 2 2 2 1 4 7 7A G E A E D A G D A B C D A B C D A B C DS S S S S S ， 即 三角形 AEG 的面积是 27 【例 7】 如图，长方形 ABCD 中， : 2 : 3BE EC ， : 1 : 2DF FC ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长方形 ABC
11、D 的面积 AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 AE ， FE 因为 : 2 : 3BE EC ， : 1 : 2DF FC ，所以 3 1 1 1()5 3 2 1 0D E F A B C D A B C DS S S 长 方 形 长 方 形 因为 12AED A B C DSS 长 方 形， 11: : 5 : 12 1 0A G G F ，所以 5 1 0A G D G D FSS平方厘米，所以 12AFDS 平方厘米因为 16AFD A B C DSS 长 方 形，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米 【例 8】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米
12、， E 为 AD 中点， F 为 CE 中点， G 为 BF 中点，求三角形 BDG 的面积 AB CDEFGOAB CDEFG【解析】 设 BD 与 CE 的交点为 O ，连接 BE 、 DF 由蝴蝶定理可知 :B E D B C DE O O C S S，而 14BED ABCDSS， 12BCD ABCDSS， 所以 : : 1 : 2B E D B C DE O O C S S，故 13EO EC 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 5 of 17 由于 F 为 CE 中点， 所以 12EF EC，故 : 2 : 3EO EF ， : 1: 2FO EO 由蝴蝶定
13、理可知 : : 1 : 2B F D B E DS S F O E O，所以 1128B F D B E D A B C DS S S， 那么 1 1 1 1 0 1 0 6 . 2 52 1 6 1 6B G D B F D A B C DS S S （平方厘米） 【例 9】 如图，在 ABC 中， 已知 M 、 N 分别在边 AC 、 BC 上， BM 与 AN 相交于 O ,若 AOM 、 ABO 和BON 的面积分别是 3、 2、 1，则 MNC 的面积是 NMOCBA【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 1 322A O M B O N
14、M O N A O BSSS S 设MONSx ，根据共边定理我们可以得 ANM ABMMNC MBCS SSS ， 33 322312x x ，解得 22.5x 【例 10】 (2009 年迎春杯初赛六年级 )正六边形1 2 3 4 5 6A A A A A A的面积是 2009 平方厘米，1 2 3 4 5 6B B B B B B分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 B 6B 5B 4B 3B 2B 1A 6A 5 A 4A 3A 2A 1OB6B 5B 4B 3B 2B 1A 6A 5 A 4A 3A 2A 1【解析】 如图，设62BA与13BA的交点为 O
15、，则图中空白部分由 6 个与23AOA一样大小的三角形组成，只要求出了23AOA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积 连接63AA、61BB、63BA 设1 1 6ABB的面积为 ” 1“ ，则1 2 6B A B面积为 ” 1“ ，1 2 6AAB面积为 ” 2“ ，那么6 3 6AAB面积为1 2 6AAB的 2 倍，为 ” 4 “ ，梯形1 2 3 6AAAA的面积为 2 2 4 2 12 ，2 6 3ABA的面积为 ” 6 “ ，1 2 3BAA的面积为 2 根据蝴蝶定理，1 2 6 3 2 613 : 1 : 6B A B A A BB O A O S S ，故2 3
16、616A OAS ，1 2 3127B A AS ， 所以23 1 2 3 612: : 1 2 : 1 : 77A O A A A A ASS 梯 形 ，即 23AOA 的面积为梯形 1 2 3 6AAAA 面积的 17 ，故为六边形1 2 3 4 5 6A A A A A A面积的 114，那么空白部分的面积为正六边形面积的 13614 7，所以阴影部分面积为4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 6 of 17 32 0 0 9 1 1 1 4 87 (平方厘米 ) 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 7 of 17 板块 二 梯形模型的应 用 梯
17、形中比例关系 (“ 梯形蝴蝶定理 ” )： AB CDObaS 3S 2S 1S 4 2213:S S a b 221 3 2 4: : : : : :S S S S a b a b a b； S 的对应份数为 2ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上 、 下底之间关系互相转 换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果 (具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 ) 【例 11】 如图，2 2S ，3 4S，求梯形的面积 S 4S 3S 2S 1【解析】 设1S为 2a 份，3S为 2b 份，根据梯形蝴蝶定理， 23 4Sb，所以 2b ；又因
18、为2 2S a b ，所以1a ；那么 21 1Sa， 4 2S a b ，所以梯形面积 1 2 3 4 1 2 4 2 9S S S S S ，或者根据梯形蝴蝶定理， 221 2 9S a b 【巩固】 (2006 年南京智力数学冬令营 )如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ，对角线 AC ， BD 交于 O ，已知 AOB 与 BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 _平方厘米 3525OA BCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理， 2: : 2 5 : 3 5A O B B O CS S a a b，可得 : 5:7ab ，再根据梯形蝴
19、蝶定理，2 2 2 2: : 5 : 7 2 5 : 4 9A O B D O CS S a b ，所以 49DOCS (平方厘米 )那么 梯形 ABCD 的面积为2 5 3 5 3 5 4 9 1 4 4 (平方厘米 ) 【例 12】 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 23，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 8 of 17 OAB CD【解析】 根据梯形蝴蝶定理， 2: : 2 : 3A O B B O CS S a b b，可
20、以求出 : 2:3ab ， 再根据梯形蝴蝶定理， 2 2 2 2: : 2 : 3 4 : 9A O D B O CS S a b 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论 【例 13】 (第十届华杯赛 )如下图，四 边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 1AO ，并且35ABDC B D 三 角 形 的 面 积三 角 形 的 面 积，那么 OC 的长是多少？ ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理， A B D A OC B D C O三 角 形 的 面 积三 角 形
21、的 面 积，所以 35AOCO，又 1AO ，所以 53CO 【例 14】 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 29cm ，问三角形 AOD 的面积是多少？ AB CDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理， : 1 : 1 .5 2 : 3ab， 2 2 2 2: : 2 : 3 4 : 9A O D B O CS S a b ， 所以 24 cmAODS 【巩固】 如图，梯形 ABCD 中， AOB 、 COD 的面积分别为 1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积 OD CBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理， 22: : 4 : 9A O B A C O DS S a b，
22、所以 : 2:3ab ， 2: : : 3 : 2A O D A O BS S a b a b a ， 31 . 2 1 . 82A O D C O BSS ， 1 . 2 1 . 8 1 . 8 2 . 7 7 . 5A B C DS 梯 形 【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是 11，三角形 BCH的面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 9 of 17 HGFED CBAHGFED CBA【解析】 如图，连结 EF，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们
23、可以得到三角形 EFG 的面积等于三角形 ADG的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积，所以四边形 EGFH的面积是 11 23 34 【巩固】 (人大附中入学测试题 )如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面 积比为 4 比 5，四边形 2的面积为 36，则三角形 1 的面积为 _ 321321【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于 三角形 1 和 三角形 3，所以 1 的面积就是 436 1645， 3 的面积就是 536 2045 【例 16】 如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边
24、上的中点求图中阴影部分的面积 GM DCBA【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以 : 1 : 2AM BC ，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22: : : 1 : 1 2 : 1 2 : 2 1 : 2 : 2 : 4A M G A B G M C G B C GS S S S （ ） （ ）， 设 1AGMS 份，则 1 2 3M CDS 份，所以正方形的面积 为 1 2 2 4 3 1 2 份， 2 2 4S 阴 影份，所以 : 1 : 3SS 阴 影 正 方 形， 所以 1S 阴 影平方厘米 【巩固】 在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于
25、 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米 AB CDEF【解析】 连接 DE ， 根据题意 可知 : 1: 2BE AD ， 根据蝴蝶定理得 21 2 9S 梯 形 （ ）(平方厘米 )， 3ECDS (平方厘米 )， 那么 12ABCDS (平方厘米 ) 【例 17】 如图面积为 12平方厘米的正方形 ABCD 中 ， ,EF是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 10 of 17 OFED CBA【解析】 因为 ,EF是 DC 边上的三等分点，所以 : 1: 3EF AB ， 设
26、1OEFS 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AO E O FBSS 份 ， 9AOBS 份 ， (1 3 )A D E B C FSS 份 ， 因此正方形的面积为 24 4 (1 3 ) 2 4 份， 6S 阴 影，所以 : 6 : 2 4 1 : 4SS 阴 影 正 方 形， 所以 3S 阴 影平方厘米 【例 18】 如图，在长方形 ABCD 中， 6AB 厘米， 2AD 厘米， AE EF FB，求阴影部分的面积 BCADE FOBCADE FO【解析】 方法一：如图，连接 DE ， DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形 AED 的面积为2 6 3 2 2 平方厘米 由于 : 1:
27、 3EF DC ，根据梯形蝴蝶定理， : 3 : 1D EO EFOSS，所以 34DEO DEFSS，而 2DEF ADESS平方厘米 ，所以 3 2 1 .54D EOS 平方厘米 ，阴影部分的面 积为 2 1.5 3.5 平方厘米 方法二：如图，连接 DE ， FC ， 由于 : 1: 3EF DC ，设 1OEFS 份，根据梯形蝴蝶定理， 3OEDS 份 ， 2(1 3 ) 1 6E F C DS 梯 形份 ， 1 3 4A D E B C FSS 份 ， 因此 4 1 6 4 2 4A B C DS 长 方 形份 ，4 3 7S 阴 影 份，而 6 2 1 2A B C DS 长 方
28、 形 平方厘米 ， 所以 3.5S 阴 影 平方厘米 【例 19】 (2008 年 ” 奥数网杯 ” 六年级试题 )已知 ABCD 是平行四边形， : 3 : 2BC CE ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米则阴影部分 的面积是 平方厘米 OEAB CDOEAB CD【解析】 连接 AC 由于 ABCD 是平行四边形， : 3 : 2BC CE ，所以 : 2 : 3CE AD ， 根据梯形蝴蝶定理， 22: : : 2 : 2 3 : 2 3 : 3 4 : 6 : 6 : 9C O E A O C D O E A O DS S S S ，所以 6AOCS (平方厘米 )， 9AODS
29、 (平方厘米 )，又 6 9 1 5A B C A C DSS (平方厘米 )，阴影部分面积为 6 15 21 (平方厘米 ) 【巩固】 右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 (单位：平方厘米 )，阴影部分的面积是 平方厘米 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 11 of 17 21AB CDE9421AB CDEO94【分析】 连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么OCD OAESS 根据蝴蝶定理， 4 9 3 6O C D O A E O C E O A DS S S S ，故 2 36OCDS
30、 ， 所以 6OCDS (平方厘米 ) 【巩固】 (2008 年三帆中学考题 )右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 (单位：平方厘米 )，阴影部分的面积是 平方厘米 1682AB CDEO1682AB CDE【解析】 连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么OCD OAESS 根据蝴蝶定理， 2 8 1 6O C D O A E O C E O A DS S S S ，故 2 16OCDS ，所以 4OCDS (平方厘米 ) 另解：在 平行四边形 ABED 中， 11 1 6 8 1 222A D E A B E DSS
31、 (平方厘米 )， 所以 1 2 8 4A O E A D E A O DS S S (平方厘米 )， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 8 2 4 4 (平方厘米 ) 【例 20】 如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 5 平方厘米， CED 的面积是10 平方厘米问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？ FAB CDE 105FAB CDE 105【分析】 连接 BF ，根据梯形 模型 ，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积也是 10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为 10 10 5 20 (平方厘
32、米 )，所以长方形的面积为 2 0 1 0 2 6 0 (平方厘米 )四边形 ABEF 的面积为 6 0 5 1 0 2 0 2 5 (平方厘米 ) 【巩固】 如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 4 平方厘米， CED 的面积是 6 平方厘米问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？ 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 12 of 17 64AB CDEF64AB CDEF【解析】 (法 1)连接 BF ，根据 面积比例 模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积也是 6 平方厘米，
33、再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为 6 6 4 9 (平方厘米 )，所以长方形的面积为 9 6 2 30 (平方厘米 )四边形 ABEF 的面积为 3 0 4 6 9 1 1 (平方厘米 ) (法 2)由题意可知， 4263EFEC，根据相似三角形性质， 23ED EFEB EC，所以三角形 BCE 的面积为：2693(平方厘米 )则三角形 CBD 面积为 15 平方厘米，长方形面积为 15 2 30 (平方厘米 )四边形 ABEF 的面积为 3 0 4 6 9 1 1 (平方厘米 ) 【巩固】 (98 迎春 杯初赛 )如图， ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 54 ，
34、OD 的长是 16 ， OB 的长是 9 .那么四边形 OECD 的面积是多少？ EODCBA【解析】 因为连接 ED 知道 ABO 和 EDO 的面积相等即为 54 ，又因为 16 9OD OB = ,所以 AOD 的面积为 54 9 16 96 ，根据四边形的对角线性质知道： BEO 的面积为： 5 4 5 4 9 6 3 0 .3 7 5 ，所以四边形 OECD 的面积为： 5 4 9 6 3 0 . 3 7 5 1 1 9 . 6 2 5 (平方 厘米 ). 【例 21】 (2007 年 ” 迎春杯 ” 高年级初赛 )如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3
35、块的面积分别为 2、 5、 8 平方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为 _平方厘米 ?852OA BCDE F?852OA BCDE F【解析】 连接 DE 、 CF 四边形 EDCF 为梯形，所以EOD FOCSS ，又根据蝴蝶定 理，E O D F O C E O F C O DS S S S ， 所以 2 8 1 6E O D F O C E O F C O DS S S ，所以 4EODS (平方厘米 )，4 8 1 2ECDS (平方厘米 ) 那么长方形 ABCD 的面积为 12 2 24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积为 24 5 2 8 9 (平方厘米 ) 【例 22
36、】 (98 迎春 杯初赛 )如图，长方形 ABCD 中， AOB 是直角三角形且面积为 54， OD 的长是 16， OB的长是 9那么四边形 OECD 的面积是 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 13 of 17 AB CDEOAB CDEO【解析】 解法一：连接 DE ，依题意 11 9 5 422A O BS B O A O A O ，所以 12AO ， 则 11 1 6 1 2 9 622A O DS D O A O 又因为 15 4 1 62A O B D O ES S O E ，所以 364OE， 得 1 1 3 39 6 3 02 2 4 8B O ES
37、B O E O ， 所以 355 4 9 6 3 0 1 1 988O E C D B D C B O E A B D B O ES S S S S 解法二：由于 : : 1 6 : 9A O D A O BS S O D O B，所以 165 4 9 69A O DS ，而 54D O E AO BSS，根据蝴蝶定理，B O E A O D A O B D O ES S S S ，所以 35 4 5 4 9 6 3 08B O ES ， 所以 355 4 9 6 3 0 1 1 988O E C D B D C B O E A B D B O ES S S S S 【例 23】 如图， AB
38、C 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点已知正方形DEFG 的面积 48， : 1: 3AK KB ，则 BKD 的面积是多少？ KGFEDCBAMKGFEDCBA【解析】 由于 DEFG 是正方形， 所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形 在梯形 ADBC 中， BDK 和ACK 的面积是相等的 而 : 1: 3AK KB ，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的 111 3 4，那么 BDK的面积也是 ABC 面积的 14 由于 ABC 是等腰直角三角形， 如果过 A 作 BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是 BC 的中点，而且
39、AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于 正方形 DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与 正方形 DEFG 的面积相等，为 48 那么 BDK 的面积为 148 124 【例 24】 如图所示， ABCD 是梯形， ADE 面积是 1.8 ， ABF 的面积是 9， BCF 的面积是 27那么阴影 AEC 面积是多少？ FEDCBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到A F B D F C A F D B F CS S S S ， 而AFB DFCSS(等积变换 )，所以可得4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 14 of 17 99 327A F B C
40、 D FAFDBFCSSS S ， 并且 3 1 . 8 1 . 2A E F A D F A E DS S S ， 而 : : 9 : 2 7 1 : 3A F B B F CS S A F F C ， 所以阴影 AEC 的面积是： 4 1 . 2 4 4 . 8A E C A E FSS 【例 25】 如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？ 22412241【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质， 和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八 份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 88618 3 【例 26】 如图，已知 D 是 BC 中点，
41、 E 是 CD 的中点， F 是 AC 的中点三角形 ABC 由 这 6 部分组成，其中 比 多 6 平方厘米那么三角形 ABC 的面积 是多少平方厘米 ？ BFED CA【解析】 因为 E 是 DC 中点， F 为 AC 中点，有 2AD FE 且 平行于 AD ，则四边形 ADEF 为梯形在梯形ADEF 中有 =， =，： = 2AD ： 2FE =4又已知 - =6，所以 =6 (4 1) 2 ， = 48 ，所以 = =16，而 =，所以 = =4，梯形 ADEF 的面积为、四块图形的面积和，为 8 4 4 2 18 有 CEF 与 ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即
42、为 1:4所以 ADC 面积为梯形 ADEF 面积的 44-1=43，即为 418 243因为 D 是 BC 中点，所以 ABD 与 ADC 的面积相等，而 ABC 的面积为 ABD 、 ADC 的面积和，即为 24 24 48 平方厘米三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米 【例 27】 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形 成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解 ，也 可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况
43、解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如 右 图所示，图中四个空白三角形的高均为 1.5 ，因此空白处的总面积为 6 1 . 5 2 4 2 2 2 2 ，阴影部分的面积为 6 6 22 14 解法二：连接两个正方形的对应顶点， 可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为 6，4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 15 of 17 上底、下底之比为 2:6 1:3 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为 221 : 1 3 : 1 3 : 3 1 : 3 : 3 : 9 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 916，阴影部分的面积占该梯形面积的 716，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 716，那么阴影部分的面积为227 ( 6 2 ) 1 416 【例 28】 如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别在 BC 与 CD 上，且 2CE BE ， 2CF DF ，连接 BF 、DE ，相交于点 G ，过 G 作 MN 、 PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG ，设正方形 MGQA 的面积为1S，正方形 PCNG 的面积为2S，则12
