1、 page 1 of 7 模型 二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做 共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 如图在 ABC 中， ,DE分别是 ,ABAC 上的点如图 (或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上 如图 2)， 则 : ( ) : ( )A B C A D ES S A B A C A D A E EDCBAEDCBA图 图 【例 1】 如图在 ABC 中， ,DE分别是 ,ABAC 上的点，且 : 2 : 5AD AB ， : 4 : 7AE AC ， 16ADES 平方厘米，求 ABC 的面积 EDC
2、BAEDCBA【解析】 连接 BE ， : : 2 : 5 ( 2 4 ) : ( 5 4 )A D E A B ES S A D A B ， : : 4 : 7 ( 4 5 ) : ( 7 5 )A B E A B CS S A E A C ，所以 : ( 2 4 ) : ( 7 5 )A D E A B CSS ， 设 8ADES 份，则 35ABCS 份 ， 16ADES 平方厘米 ， 所以 1 份是 2 平方厘米， 35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面积是 70 平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比
3、 【巩固】 如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那三角形等高模型与鸟头模型 page 2 of 7 么三角形 ABC 的面积是多少？ EDCBAAB CD E【解析】 连接 BE 3EC AE 3ABC ABESS又 5AB AD 5 1 5A D E A B E A B CS S S ， 1 5 1 5A B C A D ESS 【巩固】 如图，三角形 ABC 被分成了甲 (阴影部分 )、乙两部分， 4BD DC， 3BE ， 6AE ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙甲ED CBAAB CDE甲乙【解析
4、】 连接 AD 3BE ， 6AE 3AB BE ， 3ABD BDESS又 4BD DC， 2ABC ABDSS， 6ABC BDESS， 5SS乙 甲 【例 2】 如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 : 5 : 2AB AD ， : 3 : 2AE EC ， 12ADES 平方厘米，求 ABC 的面积 EDCBAEDCBA【解析】 连接 BE ， : : 2 : 5 ( 2 3 ) : ( 5 3 )A D E A B ES S A D A B : : 3 : ( 3 2 ) ( 3 5 ) : ( 3 2 ) 5A B E A B CS S A E A
5、 C ， 所以 : ( 3 2 ) : 5 ( 3 2 ) 6 : 2 5A D E A B CSS ， 设 6ADES 份，则 25ABCS 份 ， 12ADES 平方厘米 ， 所以 1 份是 2 平方厘米， 25 份就是 50 平方厘米， ABC 的面积是 50 平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， E为 AB的中点， 2AF CF ，三角形 AFE(图中阴影部分 )的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米 ？ EFD CBA 【解析】 连接 FB
6、 三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2page 3 of 7 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的 3 2 6（ ） 倍因此，平行四边形的面积为8 6 48 (平方厘米 ) 【例 4】 已知 DEF 的面积为 7 平方厘米 ， , 2 , 3B E C E A D B D C F A F ， 求 ABC 的面积 FEDCBA【解析】 : ( ) : ( ) ( 1 1 ) : ( 2 3 ) 1 : 6
7、B D E A B CS S B D B E B A B C ，: ( ) : ( ) ( 1 3 ) : ( 2 4 ) 3 : 8C E F A B CS S C E C F C B C A : ( ) : ( ) ( 2 1 ) : ( 3 4 ) 1 : 6A D F A B CS S A D A F A B A C 设 24ABCS 份，则 4BDES 份， 4ADFS 份， 9CEFS 份， 2 4 4 4 9 7D E FS 份，恰好是平方厘米，所以 24ABCS 平方厘米 【例 5】 如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 : 2 : 5AB BE ， : 3 :
8、2BC CD ，三角形 BDE 的面积是多少？ A B ECDDCEBA【解析】 由于 180A B C D B E ，所以可以用共角定理，设 2AB 份， 3BC 份，则 5BE 份， 3 2 5BD 份，由共角定理 : ( ) : ( ) ( 2 3 ) : ( 5 5 ) 6 : 2 5A B C B D ES S A B B C B E B D ，设6ABCS 份， 恰好是 3 平方厘米，所以 1 份是 0.5 平方厘米， 25 份就是 25 0.5 12.5 平方厘米， 三角形 BDE 的面积是 12.5 平方厘米 【例 6】 (2007 年 ” 走美 ” 五年级初赛试题 )如图所示
9、，正方形 ABCD 边长为 6 厘米， 13AE AC， 13CF BC三角形 DEF 的面积为 _平方厘米 FEDCBA【解析】 由题意知 13AE AC、 13CF BC，可得 23CE AC 根据”共角定理”可得， : ( ) : ( ) 1 2 : ( 3 3 ) 2 : 9C E F A B CS S C F C E C B A C ；而 6 6 2 1 8ABCS ；所以 4CEFS ；同理得， : 2 : 3C D E A C DSS ;， 1 8 3 2 1 2C D ES ， 6CDFS 故 4 1 2 6 1 0D E F C E F D E C D F CS S S S
10、(平方厘米 ) 【例 7】 如图，已知三角形 ABC 面积为 1 ，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ，使 2CE BC ；延长CA 至 F ，使 3AF AC ，求三角形 DEF 的面积 page 4 of 7 FEDCBAABCDEF【解析】 (法 1 )本题是性质的反复使用 连接 AE 、 CD 11ABCDBCSS ， 1ABCS ， S1DBC 同理可得其它，最后 三角形 DEF 的面积 18 (法 2 )用共角定理 在 ABC 和 CFE 中， ACB 与 FCE 互补， 1 1 14 2 8ABCF C ES A C B CS F C C E 又 1AB
11、CS ，所以 8FCES 同理可得 6ADFS ， 3BDES 所以 1 8 6 3 1 8D E F A B C F C E A D F B D ES S S S S 【例 8】 如图，平行四边形 ABCD ， BE AB ， 2CF CB ， 3GD DC ， 4HA AD ，平行四边形 ABCD 的面积是 2 ， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比 HGA BCDEFHGA BCDEF【解析】 连接 AC 、 BD 根据 共角定理 在 ABC 和 BFE 中， ABC 与 FBE 互补， 1 1 11 3 3ABCFBES A B B CS B E B F 又 1ABC
12、S ，所以 3FBES 同理可得 8GCFS ， 15DHGS ， 8AEHS 所以 8 8 1 5 + 3 + 2 3 6E F G H A E H C F G D H G B E F A B C DS S S S S S 所以 213 6 1 8ABCDEFGHSS 【例 9】 如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ， CB BF ， DC CG ， HD DA ，求四边形 ABCD的面积 HGFEDCBAA BCDE FGHpage 5 of 7 【解析】 连接 BD 由共角定理得 : ( ) : ( ) 1 : 2B C D C G FS S C D C B C
13、 G C F ，即 2CGF CDBSS 同理 : 1 : 2A B D A H ESS ，即 2AHE ABDSS 所以 2 ( ) 2A H E C G F C B D A D B A B C DS S S S S 四 边 形连接 AC ，同理可以得到 2D H G B E F A B C DS S S 四 边 形5A H E C G F H D G B E FE F G H A B C D A B C DS S S S S S S 四 边 形 四 边 形 四 边 形 所以 6 6 5 1 3 . 2A B C DS 四 边 形平方米 【例 10】 如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB
14、 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是 ABCDEFGHABCDEFGH【解析】 连接 AC 、 BD 由于 2BE AB ， 2BF BC ，于是 4BEF ABCSS，同理 4HDG ADCSS 于是 4 4 4B E F H D G A B C A D C A B C DS S S S S 再由于 3AE AB ， 3AH AD ，于是 9AEH ABDSS，同理 9CFG CBDSS 于是 9 9 9A E H C F G A B D C B D A B C DS S S S S 那
15、么 4 9 1 2 6 0E F G H B E F H D G A E H C F G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C DS S S S S S S S S S 【例 11】 如图，在 ABC 中，延长 AB 至 D ， 使 BD AB ，延长 BC 至 E ， 使 12CE BC， F 是 AC 的中点，若 ABC 的面积是 2 ，则 DEF 的面积是多少？ AB CDEF【解析】 在 ABC 和 CFE 中， ACB 与 FCE 互补， 2 2 41 1 1ABCF C ES A C B CS F C C E 又 2ABCS ，所以 0.5FC
16、ES 同理可得 2ADFS ， 3BDES 所以 2 0 . 5 3 2 3 . 5D E F A B C C E F D E B A D FS S S S S 【例 12】 如图， 1ABCS ， 5BC BD ， 4AC EC ， DG GS SE， AF FG 求FGSS SGFEDCBA【解析】 本题 题目本身很简单，但它把本讲 的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是 ” 当两个三角形有page 6 of 7 一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比 ” 的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3 种情况 最后求得FGSS的面积为 4 3
17、 2 1 1 15 4 3 2 2 1 0F G SS 【例 13】 如图所示，正方形 ABCD 边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG 的面积是多少平方厘米？ AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 AF 、 EG 因为21 8 1 64B C F C D ESS ，根据 ” 当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比 ” 8AEFS ， 8EFGS ，再根据 ” 当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比 ” ，得到 16BFCS ，
18、 32ABFES ，24ABFS ，所以 12ABGS 平方厘米 【例 14】 四个面积为 1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积 HGF EDCBA【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则 AGF 与 CEH 都是正三角形 假设正六边形的边长为为 a ，则 AGF 与 CEH 的边长都是 4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为4 2 1 7 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍而一个正六边形是由 6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 16，三角形 DEF 的面积为 496 由于 4FA a ， 3FB a ，所以 AFB 与三角形 DEF
19、 的面积之比为 4 3 127 7 49 同理可知 BDC 、 AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为 1249，所以 ABC 的面积占三角形 DEF 面积的 12 131349 49 ，所以 ABC 的面积的面积为 49 13 136 49 6 【 巩固 】 已知图中每个正六边形的面积 都 是 1， 则 图中虚线围成 的 五边形 ABCDE 的面积是 BDCEA【解析】 从图中可以看出， 虚线 AB 和虚线 CD 外的图形 都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线 BC 和虚线 DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正page 7 of 7 六边形的面积；虚线 AE 外 的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的 16，所以虚线外图形的面积等于 111 3 2 363 ， 所以五 边 形的面积是 1210 3 633
