1、 第 1 页（共 16 页） 2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1（ 5 分）（ 2018新课标 ） i（ 2+3i） =（ ） A 3 2i B 3+2i C 3 2i D 3+2i 2（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知集合 A=1， 3， 5， 7， B=2， 3， 4， 5，则 A B=（ ） A 3 B 5 C 3， 5 D 1， 2， 3， 4， 5， 7 3（ 5 分）（ 2018新课标 ）函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 4（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知向量 ，
2、满足 | |=1， = 1，则 （ 2 ） =（ ） A 4 B 3 C 2 D 0 5（ 5 分）（ 2018新课标 ）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ） A 0.6 B 0.5 C 0.4 D 0.3 6（ 5 分）（ 2018新课标 ）双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 7（ 5 分）（ 2018新课标 ）在 ABC 中， cos = ， BC=1， AC=5，则 AB=（ ） A 4 B C D 2 8（ 5 分）（ 2018新课
3、标 ）为计算 S=1 + + ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 第 2 页（共 16 页） A i=i+1 B i=i+2 C i=i+3 D i=i+4 9（ 5 分）（ 2018新课标 ）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为（ ） A B C D 10（ 5 分）（ 2018新课标 ）若 f（ x） =cosx sinx 在 0， a是减函数，则 a 的最大值是（ ） A B C D 11（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知 F1， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF
4、1 PF2，且 PF2F1=60，则 C 的离心率为（ ） A 1 B 2 C D 1 12（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知 f（ x）是定义域为（ ， + ）的奇函数，满足 f（ 1 x） =f（ 1+x），若 f（ 1）=2，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 50） =（ ） A 50 B 0 C 2 D 50 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13（ 5 分）（ 2018新课标 ）曲线 y=2lnx 在点（ 1， 0）处的切线方程为 14（ 5 分）（ 2018新课标 ）若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 15（
5、5 分）（ 2018新课标 ）已知 tan（ ） = ，则 tan= 16（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都第 3 页（共 16 页） 必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分）（ 2018新课标 ）记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，已知 a1= 7， S3= 15 （ 1）求 an的通项公
6、式； （ 2）求 Sn，并求 Sn 的最小值 18（ 12 分）（ 2018新课标 ）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与 时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 1， 2， ， 17）建立模型 ： = 30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1， 2， ， 7）建立模型 ： =99+17.5t （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值
7、； （ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（ 12 分）（ 2018新课标 ）如图，在三棱锥 P ABC 中， AB=BC=2 ， PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点 （ 1）证明： PO 平面 ABC； （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 20（ 12 分）（ 2018新课标 ）设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（ k 0）的直线 l 与 C 交于 A， B两点， |AB|=8 （ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 21（ 12 分
8、）（ 2018新课标 ）已知函数 f（ x） = x3 a（ x2+x+1） 第 4 页（共 16 页） （ 1）若 a=3，求 f（ x）的单调区间； （ 2）证明： f（ x）只有一个零点 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 22（ 10 分）（ 2018新课标 ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 l 的参数方程为 ，（ t 为参数） （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（ 1，
9、 2），求 l 的斜率 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 23（ 2018新课标 ）设函数 f（ x） =5 |x+a| |x 2| （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 0 的解集； （ 2）若 f（ x） 1，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标 ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 D； 2 C； 3 B； 4 B； 5 D； 6 A； 7 A； 8 B； 9 C； 10 C； 11 D； 12 C； 二、填
10、空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 y=2x 2； 14 9； 15 ； 16 8； 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1（ 5 分）（ 2018新课标 ） i（ 2+3i） =（ ） A 3 2i B 3+2i C 3 2i D 3+2i 【分析】 利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解 【解答】 解： i（ 2+3i） =2i+3i2= 3+2i 故选： D 2（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知集合 A=1， 3， 5， 7， B=2， 3， 4， 5，则 A B=（ ） A
11、 3 B 5 C 3， 5 D 1， 2， 3， 4， 5， 7 【分析】 利用交集定义直接求解 【解答】 解： 集合 A=1， 3， 5， 7， B=2， 3， 4， 5， A B=3， 5 故选： C 3（ 5 分）（ 2018新课标 ）函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】 判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可 【解答】 解：函数 f（ x） = = = f（ x）， 则函数 f（ x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A， 第 6 页（共 16 页） 当 x=1 时， f（ 1） =e 0，排除 D 当 x+ 时， f（ x） + ，
12、排除 C， 故选： B 4（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知向量 ， 满足 | |=1， = 1，则 （ 2 ） =（ ） A 4 B 3 C 2 D 0 【分析】 根据向量的数量积公式计算即可 【解答】 解：向量 ， 满足 | |=1， = 1，则 （ 2 ） =2 =2+1=3， 故选： B 5（ 5 分）（ 2018新课标 ）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ） A 0.6 B 0.5 C 0.4 D 0.3 【分析】 （适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中
13、全是女生的有 C32=3 种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设 2 名男生为 a， b， 3 名女生为 A， B， C，则任选 2 人的种数为 ab， aA， aB， aC， bA， bB， Bc，AB， AC， BC 共 10 种，其中全是女生为 AB， AC， BC 共 3 种，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 C32=3 种， 故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3， （适合文科生），设 2 名男生为 a， b， 3 名女生为 A， B， C， 则任选
14、 2 人的种数为 ab， aA， aB， aC， bA， bB， Bc， AB， AC， BC 共 10 种，其中全是女生为 AB， AC， BC 共 3种， 故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3， 故选： D 6（ 5 分）（ 2018新课标 ）双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【分析】 根据双曲线离心率的定义求出 a， c 的关系，结合双曲线 a， b， c 的关系进行求解即可 【解答】 解： 双曲线的离心率为 e= = ， 则 = = = = = ， 即双曲线的渐近线方程为 y= x
15、= x， 故选： A 第 7 页（共 16 页） 7（ 5 分）（ 2018新课标 ）在 ABC 中， cos = ， BC=1， AC=5，则 AB=（ ） A 4 B C D 2 【分析】 利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可 【解答】 解：在 ABC 中， cos = ， cosC=2 = ， BC=1， AC=5，则 AB= = = =4 故选： A 8（ 5 分）（ 2018新课标 ）为计算 S=1 + + ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A i=i+1 B i=i+2 C i=i+3 D i=i+4 【分析】 模拟程序框图的运行过程知该程
16、序运行后输出的 S=N T， 由此知空白处应填入的条件 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N T=（ 1 ） +（ ） +（ ）； 累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2 故选： B 9（ 5 分）（ 2018新课标 ）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为（ ） 第 8 页（共 16 页） A B C D 【分析】 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与 CD 所成角的正切值 【解答】
17、解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2， 则 A（ 2， 0， 0）， E（ 0， 2， 1）， D（ 0， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， =（ 2， 2， 1）， =（ 0， 2， 0）， 设异面直线 AE 与 CD 所成角为 ， 则 cos= = = ， sin= = ， tan= 异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 故选： C 10（ 5 分）（ 2018新课标 ）若 f（ x） =cosx sinx 在 0， a是减函数，则 a 的最大值是（ ） A B
18、C D 【分析】 利用两角和差的正弦公式化简 f（ x），由 +2k x +2k， k Z，得 +2k x +2k，k Z，取 k=0，得 f（ x）的一个减区间为 ， ，结合已知条件即可求出 a 的最大值 【解答】 解： f（ x） =cosx sinx=（ sinx cosx） = sin（ x ）， 由 +2k x +2k， k Z， 第 9 页（共 16 页） 得 +2k x +2k， k Z， 取 k=0，得 f（ x）的一个减区间为 ， ， 由 f（ x）在 0， a是减函数， 得 a 则 a 的最大值是 故选： C 11（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知 F1， F2 是椭圆
19、 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 PF2，且 PF2F1=60，则 C 的离心率为（ ） A 1 B 2 C D 1 【分析】 利用已知条件求出 P 的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可 【解答】 解： F1， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF1 PF2，且 PF2F1=60，可得椭圆的焦点坐标F2（ c， 0）， 所以 P（ c， c）可得： ，可得 ，可得 e4 8e2+4=0， e （ 0， 1）， 解得 e= 故选： D 12（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知 f（ x）是定义域为（ ， + ）的奇函数，满足 f（ 1 x
20、） =f（ 1+x），若 f（ 1）=2，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 50） =（ ） A 50 B 0 C 2 D 50 【分析】 根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可 【解答】 解： f（ x）是奇 函数，且 f（ 1 x） =f（ 1+x）， f（ 1 x） =f（ 1+x） = f（ x 1）， f（ 0） =0， 则 f（ x+2） = f（ x），则 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x）， 即函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数， 第 10 页（共 16 页） f（ 1） =2， f（ 2
21、） =f（ 0） =0， f（ 3） =f（ 1 2） =f（ 1） = f（ 1） = 2， f（ 4） =f（ 0） =0， 则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） =2+0 2+0=0， 则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 50） =12f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 49） +f（ 50） =f（ 1） +f（ 2） =2+0=2， 故选： C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13（ 5 分）（ 2018新课标 ）曲线 y=2lnx 在点（ 1， 0）处的切线方程为 y=2x 2 【分析】 欲
22、求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1 的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】 解： y=2lnx， y= ， 当 x=1 时， y=2 曲线 y=2lnx 在点（ 1， 0）处的切线方程为 y=2x 2 故答案为： y=2x 2 14（ 5 分）（ 2018新课标 ）若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 9 【分析】 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由 x， y 满足约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=x+y 为 y= x+z， 由图可知，当直线
23、y= x+z 过 A 时， z 取得最大值， 由 ，解得 A（ 5， 4）， 目标函数有最大值，为 z=9 故答案为： 9 第 11 页（共 16 页） 15（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知 tan（ ） = ，则 tan= 【分析】 根据三角函数的诱导公式以 及两角和差的正切公式进行计算即可 【解答】 解： tan（ ） = ， tan（ ） = ， 则 tan=tan（ + ） = = = = = ， 故答案为： 16（ 5 分）（ 2018新课标 ）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 8 【
24、分析】 利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高然后求解体积即可 【解答】 解：圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 互相垂直， SAB 的面积为 8，可得： ，解得 SA=4， SA 与圆锥底面所成角为 30可得圆锥的底面半径为： 2 ，圆锥的高为： 2， 则该圆锥的体积为： V= =8 故答案为： 8 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分）（ 2018新课标 ）记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和
25、，已知 a1= 7， S3= 15 （ 1）求 an的通项公式； （ 2）求 Sn，并求 Sn 的最小值 【分析】 （ 1）根据 a1= 7， S3= 15，可得 a1= 7， 3a1+3d= 15，求出等差数列 an的公差，然后求出 an 即可； （ 2）由 a1= 7， d=2， an=2n 9，得 Sn= = =n2 8n=（ n 4） 2 16，由此可求出 Sn 以第 12 页（共 16 页） 及 Sn 的最小值 【解答】 解：（ 1） 等差数列 an中， a1= 7， S3= 15， a1= 7， 3a1+3d= 15，解得 a1= 7， d=2， an= 7+2（ n 1） =2n
26、 9； （ 2） a1= 7， d=2， an=2n 9， Sn= = =n2 8n=（ n 4） 2 16， 当 n=4 时，前 n 项的和 Sn 取得最小值为 16 18（ 12 分）（ 2018新课标 ）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 1， 2， ， 17）建立模型 ： = 30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1， 2，
27、 ， 7）建立模型 ： =99+17.5t （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境 基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 【分析】 （ 1）根据模型 计算 t=19 时 的值，根据模型 计算 t=9 时 的值即可； （ 2）从总体数据和 2000 年到 2009 年间递增幅度以及 2010 年到 2016 年间递增的幅度比较， 即可得出模型 的预测值更可靠些 【解答】 解：（ 1）根据模型 ： = 30.4+13.5t， 计算 t=19 时， = 30.4+13.5 19=226.1； 利用这个模型，求出该地区 2018 年的环境基
28、础设施投资额的预测值是 226.1 亿元； 根据模型 ： =99+17.5t， 计算 t=9 时， =99+17.5 9=256.5； 利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元； （ 2）模型 得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从 2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些， 第 13 页（共 16 页） 从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型 的预测值更可靠些 19（ 12 分）（ 2018新课标 ）如图，在三棱锥 P ABC 中，
29、AB=BC=2 ， PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点 （ 1）证明： PO 平面 ABC； （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 【分析】 （ 1）证明：可得 AB2+BC2=AC2，即 ABC 是直角三角形， 又 POA POB POC，可得 POA= POB= POC=90，即可证明 PO 平面 ABC； （ 2）设点 C 到平面 POM 的距离为 d由 VP OMC=VC POM ，解得 d 即可 【解答】 （ 1）证明： AB=BC=2 ， AC=4， AB2+BC2=AC2，即 ABC 是直角三角形， 又 O 为 AC
30、 的中点， OA=OB=OC， PA=PB=PC， POA POB POC， POA= POB= POC=90， PO AC， PO OB， OB AC=0， PO 平面 ABC； （ 2）解：由（ 1）得 PO 平面 ABC， PO= ， 在 COM 中， OM= = S = = ， S COM= = 设点 C 到平面 POM 的距离为 d由 VP OMC=VC POM ， 解得 d= ， 点 C 到平面 POM 的距离为 20（ 12 分）（ 2018新课标 ）设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（ k 0） 的直线 l 与 C 交于 A， B两点， |AB|=8
31、 （ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【分析】 （ 1）方法一：设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得 k 的值，即可求第 14 页（共 16 页） 得直线 l 的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式 |AB|= ，求得直线 AB 的倾斜角，即可求得直线 l 的斜率，求得直线 l的方程； （ 2）根据过 A， B 分别向准线 l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程 【解答】 解：（ 1）方法一：抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F（ 1， 0），当直线的斜率不存在时
32、， |AB|=4，不满足； 设直线 AB 的方程为： y=k（ x 1），设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则 ，整理得： k2x2 2（ k2+2） x+k2=0，则 x1+x2= ， x1x2=1， 由 |AB|=x1+x2+p= +2=8，解得： k2=1，则 k=1， 直线 l 的方程 y=x 1； 方法二：抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F（ 1， 0），设直线 AB 的倾斜角为 ，由抛物线的弦长公式|AB|= = =8，解得： sin2= ， = ，则直线的斜率 k=1， 直线 l 的方程 y=x 1； （ 2）过 A， B 分别向准线 x= 1 作垂线，垂足
33、分别为 A1， B1，设 AB 的中点为 D，过 D 作 DD1 准线 l，垂足为 D，则 |DD1|= （ |AA1|+|BB1|） 由抛物线的定义可知： |AA1|=|AF|， |BB1|=|BF|，则 r=|DD1|=4， 以 AB 为直径的圆与 x= 1 相切，且该圆的圆心为 AB 的中点 D， 由（ 1）可知： x1+x2=6， y1+y2=x1+x2 2=4， 则 D（ 3， 2）， 过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程（ x 3） 2+（ y 2） 2=16 第 15 页（共 16 页） 21（ 12 分）（ 2018新课标 ）已 知函数 f（ x） = x3 a（ x
34、2+x+1） （ 1）若 a=3，求 f（ x）的单调区间； （ 2）证明： f（ x）只有一个零点 【分析】 （ 1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果 （ 2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性 【解答】 解：（ 1）当 a=3 时， f（ x） = x3 a（ x2+x+1）， 所以 f（ x） =x2 6x 3 时，令 f（ x） =0 解得 x=3 ， 当 x （ ， 3 2 ）， x （ 3+2 ， + ）时， f（ x） 0，函数是增函数， 当 x （ 3 2 时， f（ x） 0，函数是单调递减， 综上， f（ x）在（ ， 3 2
35、 ），（ 3+2 ， + ），上是增函数，在（ 3 2 上递减 （ 2）证明：因为 x2+x+1=（ x+ ） 2+ ， 所以 f（ x） =0 等价于 ， 令 ， 则 ，所以 g（ x）在 R 上是增函数； 取 x=max9a， 1，则有 = ， 取 x=min9a， 1，则有 = ， 所以 g（ x）在（ min9a， 1， max9a， 1）上有一个零点，由单调性则可知， f（ x）只有一个零点 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按 所做的第一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 22（ 10 分）（ 2018新课标
36、）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 l 的参数方程为 ，（ t 为参数） （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（ 1， 2），求 l 的斜率 【分析】 （ 1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化 （ 2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果 【解答】 解：（ 1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）， 转换为直角坐标方程为： 第 16 页（共 16 页） 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） 转换为直角坐标方程为： sinx cosy+2cos sin=0
37、 （ 2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： + =1 整理得：（ 4cos2+sin2） t2+（ 8cos+4sin） t 8=0， 则： ， 由于（ 1， 2）为中点坐标， 所以： ， 则： 8cos+4sin=0， 解得： tan= 2， 即：直线 l 的斜率为 2 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 23（ 2018新课标 ）设函数 f（ x） =5 |x+a| |x 2| （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 0 的解集； （ 2）若 f（ x） 1，求 a 的取值范围 【分析】 （ 1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （ 2）由题意可得 |x+a|
38、+|x 2| 4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =5 |x+1| |x 2|= 当 x 1 时， f（ x） =2x+4 0，解得 2 x 1， 当 1 x 2 时， f（ x） =2 0 恒成立，即 1 x 2， 当 x 2 时， f（ x） = 2x+6 0，解得 2 x 3， 综上所述不等式 f（ x） 0 的解集为 2， 3， （ 2） f（ x） 1， 5 |x+a| |x 2| 1， |x+a|+|x 2| 4， |x+a|+|x 2|=|x+a|+|2 x| |x+a+2 x|=|a+2|， |a+2| 4， 解得 a 6 或 a 2， 故 a 的取值范围（ ， 6 2， + ）
