1、1上 下第七章 多元微分学 空间曲面与曲线多元复合函数及隐函数求导法则多元函数的极值和最优化问题多元函数的极值和最优化问题偏微商与全微分多元函数的基本概念2上 下教学目的 :本章重点:本章难点:偏导数与全微分的概念，多元复合函数求导法则，多元函数极值求法 .二元复合函数微分法，多元函数的极值与求法 . 3上 下7.2 多元函数的基本概念目的要求 : 掌握 多元函数的基本概念 ，极限与连续重 点 : 多元函数的基本概念难 点 : 极限与 连续4上 下（ 1）邻域一、多元函数的概念7.2 多元函数不包含点 (x0 ， y0)的 邻域称为 空心邻域 。称为点 p0(x0 ， y0)的 邻域 ，5上
2、下开区域 : 内部点组成的点集例如，例如，（ 2）区域6上 下定义 设有两个非空集合 D、 R， 称映射在 R内有唯一的值 z与之对应 .当 (x， y)D时 ,（ 3）二元函数的定义为变量 x， y的 函数 , 如果7上 下8上 下（ 4） 二元函数 的图形（如下页图）9上 下二元函数的图形通常是一张曲面 .10上 下例如 ,图形如右图 .例如 ,左图球面 .单值分支 :11上 下用平面 z=C去截曲面 z=f（ x， y），补充 等高线，等产量线在 xOy面（ z=0） 上的投影曲线L： f（ x， y） =C称为函数 z=f（ x， y）的 等高线 。所得空间曲线 ：Zxy例如函数 z=
3、2x2+3y2 的等高线为2x2+3y2=C,它是一族椭圆。12上 下在经济管理中 f（ K， L） =C的经济意义就是指 等产量线 。v 例如生产函数LKQ等产量线这是因为这条线上每一点所代表的 两种要素之间各种数量的组合 所产生的产量是相等的。是等产量线。13上 下二、二元函数的极限与连续定义 设函数 f(x,y)在 M0(x0,y0)的空心邻域内有定义， A为一常数。当 M(x,y)以 任何方式 无限逼近 M0时，函数 f (x,y)无限逼近常数 A，则称 A为 f(x,y)当 M(x,y)无限逼近 M0时的极限 ，记为1. 二元函数的极限14上 下二元函数的极限精确定义15上 下说明：
4、（ 1）定义中 的方式是任意的；（ 2）二元函数的极限也叫二重极限（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似16上 下解 :(1) 是有界量2 两点要求 :(1)会求二重极限 ;(2)会证明二重极限不存在 .例 1. 求下列极限是无穷小量 ;补充：17上 下解 :(2)例 1. 求下列极限18上 下解 :(3)所以 ,由夹逼准则 ,得原极限 =0.例 1. 求下列极限19上 下解 (4). 令证：取 =所以 , 原极限 =0.20上 下例 2 求极限 解其中21上 下确定极限 不存在 的方法：22上 下 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解 : 设 P(x , y) 沿直线 y = k x
5、趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限 .则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例 3. 讨论函数函数利用极坐标变换 ,也可以证明极限不存在 (极限与 有关 )23上 下则称函数 f（ x， y） 在点（ x0， y0） 处 连续。定义 若如 f(x， y)在区域 D内每一点连续，则称 f(x， y)在 D内连续，并称 f(x， y)为 区域 D内的连续函数 。2. 二元函数的连续24上 下例 4 讨论函数在 (0,0)的连续性解 取其值随 k的不同而变化， 极限不存在 故函数在 (0,0)处不连续补充：25上 下1.
6、连续函数的和，差，积，商（分母不为 0）仍是连续函数；2. 二元初等函数在定义域内都是连续函数 .3. 有界闭区域上的连续函数一定有最大值与最小值；4. 有界闭区域上连续函数也有介值定理等。二元连续函数也有与一元连续函数相同的性质，26上 下闭区域上连续函数的性质在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（ 1）最大值和最小值定理（ 2）介值定理27上 下例 5解补充：28上 下由二元函数的连续性可得下面的结论：若 f(x,y)在点（ x0,y0)连续 ， 则一元函数 f(x,y0)在 x=x0处连续；一元函数 f(x0,y)在 y=y0处连续 。反之不成立 .29上 下有界闭区域；无界开区域例如，补充30上 下练 习 题
